專題02軸對稱圖形

專題02軸對稱圖形【考點1生活中的軸對稱現(xiàn)象】【考點2軸對稱圖形】【考點3鏡面對稱】【考點4軸對稱的性質(zhì)】【考點5作圖軸對稱變換】【考點6剪紙問題】【考點7翻折變換(折疊問題)】【考點8利用軸對稱設(shè)計圖案】【考點9角平分線的性質(zhì)】【考點10線段垂直平分線的性質(zhì)】【考點11等腰三角形的性質(zhì)】【考點12等腰三角形的判定】【考點13等腰三角形的判定與性質(zhì)】【考點14等邊三角形的性質(zhì)】【考點15等邊三角形的判定】【考點16等邊三角形的判定與性質(zhì)】【考點17含30度角的直角三角形】【考點18直角三角形斜邊上的中線】知識點1：軸對稱圖形⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線稱為它的對稱軸.知識點2：軸對稱性質(zhì)對稱的性質(zhì)：①兩個圖形關(guān)于某一條直線對稱，對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點連線段的垂直平分線.②關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形.知識點3：畫軸對稱圖形（1）過已知點A作對稱軸l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA'，使OA'=OA，則點A'是點A的對稱點；（2）同理分別作出其它關(guān)鍵點的對稱點；（3）將所作的對稱點依次相連，得到軸對稱圖形.知識點4：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線知識點5：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.知識點6：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上知識點7：角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。∴PD=PE。知識點8：角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。幾何表示：∵點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點，且該點到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是該三角形三條角平分線的交點。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點，這條角平分線把三角形分成兩個小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比?！逜D是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC知識點9：等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點10：等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．知識點11：等邊三角形的概念與性質(zhì)1.等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°知識點12：等邊三角形的判定（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點13：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.知識點14直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半考點剖析【考點1生活中的軸對稱現(xiàn)象】1．（2022秋?道里區(qū)校級期末）視力表中的字母“E”有各種不同的擺放形式，下面各種組合中的兩個字母“E”不能關(guān)于某條直線成軸對稱的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：B，C，D選項中，兩個字母“E”關(guān)于某條直線成軸對稱，而A選項中，兩個字母“E”不能沿著直線翻折互相重合．故選：A．2．（2022秋?開封期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝25°，擊打白球，反彈后將黑球撞入袋中，∠1＝65°．【答案】65°．【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，∴∠2＝65°．∵∠1＝∠2，∴∠1＝65°．故答案為：65°．【考點2軸對稱圖形】3．（2023秋?贛州期中）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，亞運精神提倡奮力拼搏、健康向上，下面與運動相關(guān)的圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．【考點3鏡面對稱】4．（2023秋?太和縣期中）墻上有一面鏡子，鏡子對面的墻上有一個數(shù)字式電子鐘．如果在鏡子里看到該電子鐘的時間顯示如圖所示，那么它的實際時間是（）A．02：21 B．05：51 C．02：51 D．05：21【答案】C【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意作對稱圖，故選：C．5．（2023春?鎮(zhèn)平縣期末）小明同學(xué)照鏡子，如圖所示鏡子里哪個是他的像？（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由鏡面對稱的性質(zhì)，連接對應(yīng)點的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即可得出只有B與原圖形成鏡面對稱．故選：C．6．（2023秋?姜堰區(qū)校級月考）從鏡子中看到汽車正面的車輛的號碼如圖所示，則該汽車的號碼是B6395．【答案】B6395．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“B6395”成軸對稱，則該汽車的號碼是B6395，故答案為：B6395．【考點4軸對稱的性質(zhì)】7．（2023秋?禮縣期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，若∠A＝65°，∠C′＝38°，則∠B的度數(shù)為（）A．77° B．38° C．74° D．68°【答案】A【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∴∠C＝∠C′＝38°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣38°＝77°．故選：A．8．（2023春?鄆城縣期末）如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直線BC和B′C′的交點不一定在l上，正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∴①△ABC≌△A′B′C′，正確；②∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′，即∠BAC′＝∠B′AC，正確；③l垂直平分CC′，正確；④應(yīng)為：直線BC和B′C′的交點一定在l上，故本小題錯誤．綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個．故選：B．9．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，點P在∠MON的內(nèi)部，點P關(guān)于OM，ON的對稱點分別為A，B，連接AB交OM于點C，交ON于點D，連接PC、PD，若∠MON＝40°，則∠CPD的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】D【解答】解：根據(jù)題意可得：，∵∠MON＝40°，∠DOC+∠ODC+∠OCD＝180°，∴∠ODC+∠OCD＝180°﹣40°＝140°，∵∠ODC＝∠BDN，∠OCD＝∠ACM，∴∠BDN+∠ACM＝140°，∴∠BDP+∠ACP＝280°，∵∠BDP+∠PDC＝180°，∠ACP+∠PCD＝180°，∴∠PDC+∠PCD＝360°﹣280°＝80°，∵∠PDC+∠PCD+∠CPD＝180°，∴∠CPD＝100°，故選：D．【考點5作圖軸對稱變換】10．（2023秋?蘄春縣期中）如圖是由兩個陰影的小正方形組成的圖形，請你在空白網(wǎng)格中補畫一個陰影的小正方形，使補畫后的三個陰影圖形為軸對稱圖形，共有5種畫法．【答案】5．【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形可作如圖所示：共有5種畫法，故答案為：5．11．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形．圖中的△ABC為格點三角形，在圖中最多能畫出6個格點三角形與△ABC成軸對稱．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，最多能畫出6個格點三角形與△ABC成軸對稱．故答案為：6．12．（2023秋?確山縣期中）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（2，3）．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在圖中，若B2（﹣6，2）與點B關(guān)于一條直線成軸對稱，此時C點關(guān)于直線的對稱點C2的坐標為（﹣4，3）；（3）求△A1B1C1的面積．【答案】（1）見解析；（2）（﹣4，3）；（3）△A1B1C1的面積為．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；．（2）∵B2（﹣6，2）與點B（4，2）關(guān)于一條直線成軸對稱，∴對稱軸為直線，此時C（2，3）點關(guān)于直線的對稱點C2的坐標為（﹣4，3），故答案為：（﹣4，3）；（3）△A1B1C1的面積為．【考點6剪紙問題】13．（2023春?淅川縣期末）一張正方形紙片經(jīng)過兩次對折，并在如圖所示的位置上剪去一個小正方形，打開后的圖形是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：動手操作或由圖形的對稱性，因剪去的小正方形緊靠對折線，可得打開后是D．故選：D．14．（2023?南海區(qū)開學(xué)）正方形紙片剪去一個角后，得到的圖形不可能是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【解答】解：一個四邊形沿對角線截一刀后得到的多邊形是三角形；一個四邊形沿平行于邊的直線截一刀后得到的多邊形是四邊形；一個四邊形沿除上述兩種情況的位置截一刀后得到的多邊形是五邊形；所以不可能是六邊形，故選：D．15．（2023春?朝陽區(qū)期末）如圖所示把一個長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，如果得到的四邊形是正方形，那么剪口與折痕所夾的角α的度數(shù)為（）A．90° B．45° C．30° D．22.5°【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，如圖，∴，，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∠BAC＝45°，∴剪口與折痕所成的角α的度數(shù)應(yīng)為45°，故選：B．【考點7翻折變換(折疊問題)】16．（2023?高碑店市三模）如圖，小雨要用一個長方形紙片ABCD折疊一個小兔子，第一步沿OG折疊，使點B落到CD邊上的點B′處，若∠GB′C′＝35°，則∠BOG＝（）A．65° B．62.5° C．55° D．52.5°【答案】B【解答】解：∵沿OG折疊，使點B落到CD邊上的點B′處，∴∠OB′C′＝∠B＝90°，∠BOG＝∠B′OG，∵∠GB′C′＝35°，∴∠OB′G＝90°﹣35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠AOB′＝∠OB′G＝55°，∴∠BOG＝∠B′OG＝＝62.5°．故選：B．17．（2023秋?孝南區(qū)期中）如圖1，△ADC中，點E和點F分別為AD，AC上的動點，把△ADC紙片沿EF折疊，使得點A落在△ADC的外部A'處，如圖2所示．若∠1﹣∠2＝42°，則∠A度數(shù)為（）A．20° B．21° C．21.5° D．22.5°【答案】B【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A＝∠A'，∠AEF＝∠A'EF，∠AFE＝∠A'FE，∵∠1＝180°﹣∠AEA'，∠A'FE＝∠CFE+∠2，∠CFE＝∠A+∠AEF，∴∠1＝180°﹣2∠AEF，∠AFE＝∠A+∠AEF+∠2，∵∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF，∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠AEF﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣2∠A﹣2∠AEF，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠AEF﹣（180°﹣2∠A﹣2∠AEF），∴∠1﹣∠2＝2∠A，又∵∠1﹣∠2＝42°，∴2∠A＝42°．∴∠A＝21°．故選B．18．（2023秋?瀘縣期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的E處．若∠A＝23°，則∠BDC等于（）A．46° B．60° C．68° D．77°【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝90°﹣23°＝67°．由翻折的性質(zhì)可知：∠B＝∠DEC＝67°，∠BDC＝∠EDC．∵∠A+∠ADE＝∠DEC，∴∠EDA＝67°﹣23°＝44°．∴∠BDC＝＝＝68°．故選：C．19．（2023秋?松山區(qū)期中）如圖的三角形紙片中，BC＝9cm，AC＝6cm，AB＝5cm，沿過點C的直線折疊這個三角形，使點A落在CB邊上的點E處，折痕為CD．則△BDE的周長是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】D【解答】解：∵沿過點C的直線折疊這個三角形，使點A落在CB邊上的點E處，AC＝6cm，∴CE＝AC＝6cm，DE＝AD，∵BC＝9cm，AB＝5cm，∴BE＝BC﹣CE＝3cm，∴△BDE的周長是：BE+BD+DE＝BE+BD+AD＝BE+AB＝3+5＝8（cm），故選：D．20．（2022秋?廣水市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝40°，將△ABC沿著直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．90° D．140°【答案】B【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠C＝40°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，則∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，則∠1﹣∠2＝80°．故選：B．【考點8利用軸對稱設(shè)計圖案】21．（2023秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中兩個小正方形被涂黑，再將圖中其余小正方形任意一個涂黑，使得整個圖形（包括網(wǎng)格）構(gòu)成一個軸對稱圖形，那么涂法共有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種【答案】B【解答】解：如圖所示：所標數(shù)字之處都可以構(gòu)成軸對稱圖形．故選：B．22．（2023秋?江漢區(qū)期中）在3×3的正方形網(wǎng)格中，把3個小正方形涂上陰影．下列各圖中，這三個小正方形組成的圖案不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，符合題意；C、是軸對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．23．（2023?常德三模）如圖①所示的圖形是一個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖所示，若按照圖②所示的方法用若干個圖形①玩接力游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么用2n+1個這樣的圖形①拼出來的圖形②的總長度為（）A．a(chǎn)+2nb B．a(chǎn)+4nb C．（1﹣n）a+3nb D．【答案】A【解答】解：圖形的總長度＝（2n+1）[a﹣（a﹣b）]+a﹣b＝a+2nb，故選：A．【考點9角平分線的性質(zhì)】24．（2023秋?昭陽區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線交BC于點D，DE⊥AB于點E．若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積為（）A．12 B．11 C．10 D．8【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線交BC于點D，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3∵AB＝8，∴△ABD的面積為：，故選：A．25．（2023春?峽江縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分線交AC于點D，DE⊥BC于點E，若△ABC與△CDE的周長分別為13和3，則AB的長為（）A．10 B．16 C．8 D．5【答案】D【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴AD＝DE，在Rt△ABD和Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB＝BE，∵△ABC與△CDE的周長分別為13和3，∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，∴AB+BE＝10，∴AB＝BE＝5．故選：D．26．（2023春?羅湖區(qū)期末）三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（）A．三條高線的交點 B．三條中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】C【解答】解：在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在∠A、∠B、∠C的角平分線的交點處．故選：C．27．（2023?婁底三模）如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，AD過點P且與AB垂直．若AD＝8，BC＝10，則△BCP的面積為（）A．16 B．20 C．40 D．80【答案】B【解答】解：過P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠CDP＝180°，∵AD⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠CDP＝90°，即AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，∴PA＝PE，PE＝PD，∴PA＝PD，∵AD＝8，∴PE＝PD＝AP＝4，∵BC＝10，∴△BCP的面積為＝＝20．故選：B．28．（2023春?漢壽縣期末）如圖，點P是△ABC的三個內(nèi)角平分線的交點，若△ABC的周長為24cm，面積為36cm2，則點P到邊BC的距離是（）A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B【解答】解：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如圖，∵點P是△ABC的內(nèi)角平分線的交點，∴PE＝PF＝PD，又△ABC的周長為24cm，面積為36cm2，∴，∴，∴PE＝3cm．故選：B．【考點10線段垂直平分線的性質(zhì)】29．（2023秋?阜平縣期中）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線，AB＝4，AC＝3，則△ACD的周長為（）A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】C【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，∴DB＝DC．∴△ACD＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝4+3＝7，故選：C．30．（2023秋?玉州區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DM交BC于點D，邊AC的垂直平分線EN交BC于點E．已知△ADE的周長為8cm，則BC的長為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】D【解答】解：∵DM是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∵EN是AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∵△ADE的周長8cm，∴AD+DE+AE＝8cm，∴BD+DE+EC＝8cm，∴BC＝8cm，∴BC的長為8cm；故選：D．31．（2023秋?崆峒區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，垂足為E，AE＝3cm，△ABD的周長為12cm，則△ABC的周長為（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm【答案】D【解答】解：∵AC的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足，∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，∵△ABD的周長為12cm，∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）．故選：D．32．（2023秋?紅安縣期中）如圖，在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊BC上兩點，ED垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，連接AE，AF，若∠BAC＝120°，則∠EAF的大小為（）A．45° B．50° C．60° D．65°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°，∵ED垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝60°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝60°．故選：C【考點11等腰三角形的性質(zhì)】33．（2022秋?鞏義市期末）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人師傅在焊接立柱時，只用找到BC的中點D，這就可以說明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（）A．等邊對等角 B．等角對等 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：D．34．（2022秋?龍華區(qū)校級期末）等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°【答案】B【解答】解：分兩種情況討論：①當80°的角為頂角時，底角為（180°﹣80°）＝50°；②當80°角為底角時，另一底角也為80°，頂角為20°；綜上所述：等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是80°或20°；故選：B．35．（2023秋?寧遠縣期中）已知等腰三角形兩邊長是8cm和6cm，那么它的周長是（）A．14cm B．20cm C．22cm D．20cm或22cm【答案】D【解答】解：①若等腰三角形的腰長為8cm，底邊長為6cm，∵8+6＝14＞8，∴能組成三角形，∴它的周長是：8+8+6＝22（cm）；②若等腰三角形的腰長為6cm，底邊長為8cm，∵6+6＝12＞8，∴能組成三角形，∴它的周長是：8+6+6＝20（cm）．∴它的周長是：22cm或20cm．故選：D．36．（2022秋?北侖區(qū)期末）如圖，在ABC中，AB＝AC，作AC的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E．若AD＝BC，則∠A的度數(shù)為（）A．36° B．35° C．38° D．40°【答案】A【解答】解：連接CD，設(shè)∠A＝x°，∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD＝x°，∵∠BDC是△ACD的一個外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，∵AD＝BC，∴CD＝BC，∴∠BDC＝∠B＝2x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝2x°，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠A＝36°，故選：A．【考點12等腰三角形的判定】37．（2023秋?西華縣期中）如圖，在3×4的正方形網(wǎng)格中，A，B是格點（網(wǎng)格線的交點），若C也是格點，則以A，B，C為等腰三角形頂點的所有點C的位置有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，分三種情況：如圖所示：①當A為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有2個；②當B為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有1個；③當C為頂角頂點時，符合△ABC為等腰三角形的C點有1個；綜上所述：以A，B，C為等腰三角形頂點的所有格點C的位置有2+1+1＝4（個）；故選：C．38．（2022秋?思明區(qū)期末）用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形，其中一邊長為4cm，則三角形的底邊長為（）A．4cm B．7cm C．10cm D．4cm或10cm【答案】A【解答】解：①4cm為底邊：（18﹣4）÷2＝7（cm），∴三邊：4cm、7cm、7cm能構(gòu)成三角形；②4cm為腰：18﹣2×4＝10（cm），∴三邊：4cm、4cm、10cm不能構(gòu)成三角形；故選：A．39．（2023春?清遠期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直線BC或AC上取一點P，使得△ABP為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：如圖，以AB為腰，B為頂角的頂點的等腰三角形有△BAP1，△BAP2，△BAP3，以AB為腰，A為頂角的頂點的等腰三角形有△ABP3，△ABP4，△ABP5，以AB為底邊，P為頂角的頂點的等腰三角形有△P6AB，其中△ABP3是等邊三角形，∴符合條件的點的個數(shù)有6個，故選：D．40．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，點A，B在格點上，若點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：以AB為腰的等腰三角形有兩個，以AB為底的等腰三角形有一個，如圖：所以符合條件的點C的個數(shù)為3個，故選：C．【考點13等腰三角形的判定與性質(zhì)】41．（2023秋?單縣期中）如圖，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE//BC，分別交AB，AB于點D，E，則△ADE的周長為（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【解答】解：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，同理OE＝EC，∴△ADE的周長＝AD+AE+ED＝AB+AC＝7+6＝13cm．故選：A．42．（2022秋?井研縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，則AC＝（）A．10 B．11 C．13 D．15【答案】B【解答】解：延長BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故選：B．43．（2023秋?長垣市期中）如圖所示，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E．（1）求∠BFC的度數(shù)；（2）試證明：DE＝BD+EC．【答案】（1）110°；（2）見解析．【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點F，∴，，∴，∴∠BFC＝180°﹣（∠ABC+∠FCB）＝180°﹣70°＝110°，（2）∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EC＝EF，∵DE＝DF+EF，∴DE＝BD+EC【考點14等邊三角形的性質(zhì)】44．（2022秋?儋州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，AD平分∠BAC，則AD等于（）A．1 B． C． D．1.5【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝，故選：C．45．（2023秋?瓊中縣期中）如圖，直線a、b分別經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點A、C，且a∥b，∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（）A．18° B．42° C．60° D．102°【答案】D【解答】解：∵a∥b，∠1＝42°，∴∠1+∠BAC＝∠2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠2＝42°+60°＝102°，故選：D．46．（2023秋?西山區(qū)校級期中）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2＝45°，則∠1的度數(shù)為（）A．80° B．60° C．75° D．45°【答案】C【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°．故選：C【考點15等邊三角形的判定】47．（2023秋?西城區(qū)校級期中）△ABC的三邊長分別為a，b，c，若滿足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，則△ABC的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．有30°角的直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b，b＝c，c＝a，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．故選：A．48．（2023春?漳州期中）若一個三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為60°，那么這個三角形一定為（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形【答案】D【解答】解：根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為正三角形．故選：D．49．（2022秋?鄂州期末）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫出射線OB，則∠AOB＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：連接AB，根據(jù)題意得：OB＝OA＝AB，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°．故選：C．【考點16等邊三角形的判定與性質(zhì)】50．（2023?張店區(qū)校級二模）如圖，在等邊△ABC中，點D在邊BC上，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）求證：DC＝CF．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等邊三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴CD＝CF．51．（2023春?畢節(jié)市期末）已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF為等邊三角形【考點17含30度角的直角三角形】52．（2023秋?鶴慶縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD是斜邊BC上的高，若CD＝3，則BD的長為（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC，∵AD是斜邊BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝30°，∵CD＝3，∴AC＝2CD＝6，∴BC＝2AC＝12，∴BD＝BC﹣CD＝9．故選：C．53．（2023春?文昌校級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝2×1＝2，∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝2．故選：B．【考點18直角三角形斜邊上的中線】54．（2023秋?城固縣期中）如圖，在Rt△ABC中，點D是AB的中點，若∠B＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．50° B．48° C．55° D．25°【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，點D是AB的中點，∴AD＝BD＝CD，∵∠B＝25°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°．故選：A．55．（2022秋?德化縣期末）如圖，兩條公路AC，BC恰好互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．若測得AM的長為0.9km，則M，C兩點間的距離為（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km【答案】C【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，∵公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AM的長為0.9km，∴，即M、C兩點間的距離為0.9km．故選：C．56．（2023春?惠城區(qū)校級期中）如圖，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝4，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解答】解：如圖，連接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣2＝3．故選：B．57．（2023?十堰一模）如圖，一根竹竿AB，斜靠在豎直的墻上，點P是AB中點，A'B'表示竹竿AB端沿墻向下滑動過程中的某個位置，則OP的長及在竹竿AB滑動過程中的情況是（）A．下滑時，OP的長度增大 B．上升時，OP的長度減小 C．只要滑動，OP的長度就變化 D．無論怎樣滑動，OP的長度不變【答案】D【解答】解：∵∠AOB＝90°，P為AB的中點，∴OP＝AB，即OP的長在竹竿AB滑動過程中始終保持不變，故選：D．過關(guān)檢測一．選擇題（共11小題）1．（2023?廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：選項B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項A中的圖形沿某條直線對折后兩部分能完全重合，是軸對稱圖形，故選：A．2．（2023秋?禹城市期中）如圖，射線OC平分∠AOB，點D、Q分別在射線OC、OB上，若OQ＝4，△ODQ的面積為10，過點D作DP⊥OA于點P，則DP的長為（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：過點D作DE⊥OB，垂足為E，∵OQ＝4，△ODQ的面積為10，∴OQ?DE＝10，∴DE＝5，∵射線OC平分∠AOB，DE⊥OB，DP⊥OA，∴DE＝DP＝5，故選：B．3．（2023秋?天元區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，延長BC到點D，使CD＝AC，連接AD，則∠ADC的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．42° D．50°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝80°，∴∠CAD+∠CDA＝80°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D＝40°，故選：B．4．（2022秋?安順期末）如果等腰三角形兩邊長是8cm和4cm，那么它的周長是（）A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm【答案】A【解答】解：當腰長為8cm時，則三角形的三邊長分別為8cm、8cm、4cm，滿足三角形的三邊關(guān)系，此時周長為20cm；當腰長為4cm時，則三角形的三邊長分別為4cm、4cm、8cm，此時4+4＝8，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不符合題意；故選：A．5．（2022秋?桐柏縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，則AD＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵CD是高，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∵BD＝1，∴BC＝2BD＝2，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3．故選：C．6．（2023秋?梁山縣期中）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，將△BCE沿BE折疊，使點C落在AB邊D點，若EC＝6cm，則AC＝（）cm．A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，DE＝EC＝6cm，∠EDB＝∠C＝90°，∴∠EDA＝90°，∵∠A＝30°，∴AE＝2DE＝12cm，∴AC＝AE+EC＝18cm，故選：C．7．（2022秋?利川市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分線，△BCD的周長為24，BC＝10，則AC等于（）A．11 B．12 C．14 D．16【答案】C【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，∵△BCD的周長為24，∴BD+CD+BC＝24，∴AB+BC＝24，∵BC＝10，∴AC＝AB＝24﹣10＝14．故選：C．8．（2022秋?攸縣期末）如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點E，且AC＝7，BC＝4，則△BEC的周長是（）A．9 B．11 C．12 D．13【答案】B【解答】解：∵DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，∵AE＝BE，∵AC＝7，BC＝4，∴△BEC的周長為：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝7+4＝11，故選：B．9．（2023春?青原區(qū)期末）如圖，△ABC的面積為8cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于點P，連接PC，則△PBC的面積為（）A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2【答案】C【解答】解：延長AP交BC于點D，如圖所示，∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°，∴∠PAB＝∠PDB，∴BA＝BD，∵BP⊥AD，∴AP＝DP，∴S△APB＝S△DBP，S△APC＝S△DPC，∴，∵△ABC的面積為8cm2，∴△PBC的面積為4cm2，故選：C．10．（2023春?大竹縣校級期末）有一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一座涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC三條角平分線的交點 B．△ABC三邊的垂直平分線的交點 C．△ABC三條中線的交點 D．△ABC三條高所在直線的交點【答案】A【解答】解：∵三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等，∴亭的位置應(yīng)選在三角形三條角平分線的交點上．故選：A．11．（2022秋?井研縣期末）如圖，△ABC中，BF、CF分別平分∠ABC和∠ACB，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①∠DFB＝∠DBF；②△EFC為等腰三角形；③△ADE的周長等于△BFC的周長；④．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠ABF＝∠CBF，又∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DFB＝∠DBF，故①正確；②同理∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC，∴△EFC為等腰三角形，故②正確；③假設(shè)△ABC為等邊三角形，則AB＝AB＝BC，如圖，連接AF，∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴BD＝DF，EF＝EC，∴△ADE的周長＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵F是∠ABC，∠ACB的平分線的交點，∴第三條平分線必過其點，即AF平分∠BAC，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∴∠FAB＝∠FBA＝∠FAC＝∠FCA＝30°，∴FA＝FB＝FC，∵FA+FC＞AC，∴FB+FC＞AC，∴FB+FC+BC＞BC+AC，∴FB+FC+BC＞AB+AC，即△BFC的周長＞△ADE的周長，故③錯誤；④在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°①，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB＝180°，即∠BFC+∠ABC+∠ACB＝180°②，②×2﹣①得，∠BFC＝90°+∠BAC，故④正確；故選：C．二．填空題（共6小題）12．（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F．過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，BD＝5cm，EC＝4cm，則DE＝9cm．【答案】9．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∵DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，∴BD＝DF＝5cm，F(xiàn)E＝CE＝4cm，∴DE＝DF+CE＝9（cm）．故答案為：9．13．（2023秋?海興縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm，則BC的長為5cm．【答案】5．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm，∴BC＝AB＝5cm，故答案為：5．14．（2023?太平區(qū)二模）如圖，l1∥l2，等邊△ABC頂點A、B分別在l1，l2上，∠2＝45°，則∠