專題方程思想在勾股定理中的應(yīng)用（原卷版）

八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》專題方程思想在勾股定理中的應(yīng)用題型一利用直角三角形三邊的和差倍分關(guān)系求邊長題型一利用直角三角形三邊的和差倍分關(guān)系求邊長【例題1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a：b＝3：4，c＝10，則△ABC的面積為（）A．24 B．12 C．28 D．30【變式11】直角三角形的斜邊為20cm，兩直角邊之比為3：4，那么這個(gè)直角三角形的周長為（）A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm【變式12】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，則△ABC的周長為．【變式13】（2022春?天門校級(jí)月考）一直角三角形的一直角邊長為6，斜邊長比另一直角邊長大2，則該三角形的面積為（）A．8 B．10 C．24 D．48【變式14】已知直角三角形的斜邊為2，周長為2+6A．12 B．1 C．62【變式15】（2022秋?遂川縣期末2，AB＝3AC，求AC【變式16】（2022春?虞城縣期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的邊分別為a、b、c，（1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值．（2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值．【變式17】如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，將線段CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到線段CD，若DA⊥AB，AD＝1，BD=17，則BC的長為【變式18】（2021秋?重慶期中）如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，則AC＝．【變式19】（2021春?盤龍區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E，則DE的長是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【變式110】（2021秋?建湖縣期末）如圖，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一點(diǎn)，BD＝5，CD＝12．（1）求證：CD⊥AB；（2）求AC長．題型二利用公共邊相等結(jié)合勾股定理列方程求長度題型二利用公共邊相等結(jié)合勾股定理列方程求長度【例題2】（2022秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，則AD＝，BD＝；（2）若BC＝20，求CD的長．【變式21】如圖，在銳角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D點(diǎn)，求AD的長．【變式22】已知在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度數(shù)；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的長．【變式23】如圖，在△ABC中，AC=61，BC＝13，AD、CE分別是△ABC的高線與中線，點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，連接DF，若DF⊥CE，則ABA．10 B．11 C．12 D．13【變式24】（2021秋?渾南區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，且CF＝1，連接AF，DG⊥AF垂足為E，交BC于點(diǎn)G，則BG的長為．【變式25】如圖，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，請你探索當(dāng)C離B多遠(yuǎn)時(shí)，△ACD是一個(gè)以CD為斜邊的直角三角形？【變式26】（2022秋?南海區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足為D．（1）求證：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的長度；（3）點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到邊AB和AC的距離相等，求點(diǎn)P到邊AB距離．題型三翻折問題中的方程思想題型三翻折問題中的方程思想【例題3】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D為AC上一點(diǎn)，將△ABD沿BD折疊，使點(diǎn)A恰好落在BC上的E處，則折痕BD的長是（）A．5 B．34 C．35 D．61【變式31】如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD的長為（）A．154cm B．254cm C．74【變式32】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延長BC至E，使得CE＝BC，將△ABC沿AC翻折，使點(diǎn)B落點(diǎn)D處，連接DE，則DE的長為（）A．95 B．125 C．165【變式33】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），B（﹣3，0），連接AB．將△AOB沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在x軸上的點(diǎn)A′處，折痕所在的直線交y軸正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【變式34】（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，△AB'C是將長方形ABCD沿著AC折疊得到的．若AB＝4，BC＝6，則OD的長為．【變式35】如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長方形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA＝10，OC＝8，在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處．（1）求CE的長；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式36】（2022秋?錦江區(qū)校級(jí)期中）如圖，長方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，A（6，0），B（6，2），折疊長方形使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交BC于點(diǎn)D、交OA于點(diǎn)E，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求折痕DE的長度．題型四實(shí)際問題中的方程思想題型四實(shí)際問題中的方程思想【例題4】（2022秋?興化市期末）如圖是一個(gè)長方形的大門，小強(qiáng)拿著一根竹竿要通過大門．他把竹竿豎放，發(fā)現(xiàn)竹竿比大門高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大門的對(duì)角線的長．已知大門寬4尺，請求出竹竿的長．【變式41】（2021秋?源城區(qū)月考）學(xué)校運(yùn)動(dòng)場上垂直豎立的旗桿的頂端A系有一根升旗用的繩子，繩子垂直到地面時(shí)還剩1米長在地面（如圖①），小芳為了測量旗桿AB的高度，將繩子拉直，使繩子的另一端C剛好著地（如圖②）．量得BC=5米，求旗桿AB的高度．【變式42】（2022秋?運(yùn)城期末）如圖，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？【變式43】（2021春?綏寧縣期末）如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，然后利用拉在A處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處先滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)過的路程都是15m，求樹高AB．【變式44】（2022春?昆玉市期末）如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起？【變式45】（2021秋?雙塔區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的是一個(gè)拉箱的示意圖，箱體長AB＝65cm，拉桿最大伸長距離BC＝35cm，在箱體的底端裝有一圓形滾輪，其直徑為6cm．當(dāng)拉桿拉到最長時(shí)，滾輪的圓心在圖中的A處，當(dāng)拉桿全部縮進(jìn)箱體時(shí)，滾輪圓心水平向右平移55cm到A′處．請求點(diǎn)C離地面的距離（假設(shè)點(diǎn)C的位置保持不變）【變式46】（2022秋?撫州期末）長清的園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所，某校七年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【變式47】（2022秋?佛山校級(jí)期末）鐵路上A，B兩站（視為直線上的兩點(diǎn)）相距25km，C，D為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B（如圖），已知DA＝10km，CB＝15km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)收購站E，使得C，D兩村莊到收購站E的直線距離相等，請求出收購站E到A站的距離．【變式48】（2021秋?敘州區(qū)期末）“村村通”公路是我國的一項(xiàng)重要的民生工程，如圖，A，B，C三個(gè)村都分別修建了一條互通公路，其中AB＝BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個(gè)景點(diǎn)M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM，測得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判斷△ACM的形狀，并說明理由；（2）求公路AB的長．【變式49】（2022春?江津區(qū)期中）中菲黃巖島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大黃巖島附近海域的巡航維權(quán)力度．如圖，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黃巖島位于O點(diǎn)，我國海監(jiān)船在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速駛向黃巖島所在地點(diǎn)O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)C處截住了漁船．（1）請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；（2）求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長．【變式410】（2