專題116角平分線（題型分類拓展）-2023-2024學年八年級數(shù)學下冊基礎知識專項突破講與練（北師大版）

專題1.16角平分線（題型分類拓展）【題型目錄】【題型1】坐標系中的角平分線；【題型2】角平分線中的折疊問題；【題型3】角平分線中的最值問題；【題型4】角平分線中的作圖問題；【題型5】角平分線中動點問題；單選題【題型1】坐標系中的角平分線；1．（2023上·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點A在x軸的正半軸上，坐標為，點B在y軸的正半軸上，且，點P是的平分線上的點，且橫坐標為3，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南通·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點，，在坐標軸上，，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；②再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，交于點，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．【題型2】角平分線中的折疊問題；3．（2023上·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿折疊得到，點與點重合，連接，交于點，在線段上取一點，使得．連接，則點到的距離是（

）A． B． C．8 D．4．（2022上·浙江溫州·八年級?？计谥校┈F(xiàn)有一直角三角形紙片，先將共一個侻角折疊（如圖1），?點落在斜邊上的處，折痕與邊交于點．再將另一銳角折疘（如圖2），使也落在斜邊上，折痕與交于點，量得，則點到的距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．【題型3】角平分線中的最值問題；5．（2021上·福建莆田·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點D，AC＝5，BC－AB＝2，則△ADC面積的最大值為（

）A．2 B．2.5 C．4 D．56．（2020下·江蘇·七年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；……；∠An－1BC與∠An－1CD的平分線交于點An，要使∠An的度數(shù)為整數(shù)，則n的最大值為（）

A．2 B．3 C．4 D．5【題型4】角平分線中的作圖問題；7．（2023上·八年級課時練習）如圖，在中，通過尺規(guī)作圖，得到直線和射線，仔細觀察作圖痕跡，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（2023下·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，按下列步驟作圖：步驟1：以點為圓心、小于的長為半徑作弧，分別交于點；步驟2：分別以點為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；步驟3：作射線交于點．則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【題型5】角平分線中動點問題；9．（2023上·福建莆田·八年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，D為x軸正半軸上一點，A為第一象限內一動點，且，于M．下列說法正確的是（

）①；②平分；③；④A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④10．（2022上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點為的平分線上的一個定點，點A，B分別為邊，上的動點，且，則以下結論中：①；②為定值；③四邊形的面積為定值；④四邊形的周長為定值．正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1填空題【題型1】坐標系中的角平分線；11．（2023上·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，以為圓心，適當長為半徑畫弧，交軸于點，交軸于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點若點的坐標為，則．

12．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點是軸正半軸上一定點，利用尺規(guī)按以下步驟作圖．

（1）以點為圓心，長度為半徑作弧交軸正半軸于點，分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交第一象限于點，作射線；以點為圓心，長度為半徑作弧交軸于另外一點點不與點重合，分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，作直線交射線于點，若點的坐標為，則的值為．【題型2】角平分線中的折疊問題；13．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）?？茧A段練習）如圖，在中，，，點D是線段上一點，連接，將沿所在的直線折疊，點C的對應點為點E，當點E落在的邊所在的直線上時，長為．

14．（2023·四川成都·成都七中?？既＃┤鐖D，中，以點A為圓心任意長為半徑畫弧交線段于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP，交于點D，折疊，使點A與點D重合，折痕交線段于點E、F，若，，則．

【題型3】角平分線中的最值問題；15．（2022上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，平分，則的最大值為．16．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，，是∠ABC的平分線，若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是．【題型4】角平分線中的作圖問題；17．（2021上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于的長為半徑，畫弧，分別交于點E、F；②分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線，交邊與點D，則．

18．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點M，N；②分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧交于點P；③作射線交于點D．若，則的長為．

【題型5】角平分線中動點問題；19．（2023上·河北衡水·八年級校聯(lián)考階段練習）在中，，，，，動點P從點A出發(fā)，沿運動，回到點A停止，速度為．（1）如圖1，當點P到，的距離與相等時，；（2）如圖2，在中，，，，．在中，若另外有一個動點Q與點P同時出發(fā)，從點A沿著運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某時刻，恰好，則點Q的運動速度為．20．（2023上·安徽合肥·九年級合肥38中?？茧A段練習）如圖，在中，，，點D為邊上一動點（不與點B、C重合），垂直交于點E，垂足為點H，連接并延長交于點F．①若是邊上的中線，則；②若平分，則．解答題【題型1】坐標系中的角平分線；21．（2023上·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在直角坐標系中，，連接．點是軸上一點，（1）尺規(guī)作圖：若將沿直線翻折，使點恰好落在上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中作出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）在（1）的條件下，求出點的坐標．【題型2】角平分線中的折疊問題；22．（2022上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】在學習了等腰三角形等有關知識后，數(shù)學活動小組發(fā)現(xiàn)：當角平分線遇上平行線時一般可得等腰三角形．如圖1，為的角平分線上一點，常過點作交于點，易得為等腰三角形．（1）【基本運用】如圖2，把長方形紙片沿對角線折疊，使點落在點處，則重合部分是等腰三角形．請將以下過程或理由補充完整：∵在長方形中，，∴，由折疊性質可得：____________，∴，∴，（依據(jù)是：____________）∴是等腰三角形；（2）【類比探究】如圖3，中，內角與外角的角平分線交于點，過點作分別交、于點、，試探究線段、、之間的數(shù)量關系并說明理由；（3）【拓展提升】如圖4，四邊形中，，為邊的中點，平分，連接，求證：．【題型3】角平分線中的最值問題；23．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，和中，，，，邊與邊交于點（不與點，重合），點，在的異側，，分別是，的角平分線．

（1）判斷與是否相等，并說明理由；（2）當時，①若，，則的最大值為；②若，設，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【題型4】角平分線中的動點問題；24．（2023上·江蘇南京·七年級南京市金陵匯文學校?？茧A段練習）如圖，射線均從開始，同時繞點逆時針旋轉，旋轉的速度為每秒，旋轉的速度為每秒，當與重合時，與同時停止旋轉．設旋轉的時間為秒．（1）當______．（2）當為何值時，射線？（3）試探索，在射線與旋轉的過程中，是否存在某個時刻，使得射線與中的某一條射線是另兩條射線所成角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的值；若不存在，請說明理由．【題型5】角平分線中的作圖問題；25．（2023上·江蘇南京·八年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為，點B的坐標為．

（1）用直尺與圓規(guī)，求作一點C，使得，且點C到兩坐標軸的距離相等；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：；（3）直接寫出與的交坐標．參考答案：1．D【分析】本題主要考查角平分線性質和全等三角形的判定和性質，連接，過點P作于點C，于點D，則有和，根據(jù)題意得，進一步得到，有即可求得答案．解：連接，過點P作于點C，于點D，如圖，由已知條件可得，，，∵點P是的平分線上的點，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴點．故選：D．2．C【分析】過點作于，如圖所示，由尺規(guī)作圖得到平分，由三角形全等的判定得到，從而求出線段長，設，則，由勾股定理得到方程求解得到，再根據(jù)等面積法求出，則，求出，即可得到答案．解：過點作于，如圖所示：

由作圖得：平分，，，，，，，，，，，，設，則，，即，解得，，即，解得，，，，故選：C．【點撥】本題考查圖形與坐標，涉及角平分線、全等三角形的判定與性質、勾股定理及等面積法求線段長等知識，讀懂題意，數(shù)形結合，熟練掌握相關幾何判定與性質是解決問題的關鍵．3．D【分析】作于點，由，，得，由勾股定理得，由折疊得垂直平分，則，可求得，則，由，得，利用角平分的性質以及等積法，耙犁，，設點到的距離是，則，得，于是得到問題的答案．解：作于點，則，，，，，，將沿折疊得到，點與點重合，垂直平分，，，，，，，即是的平分線，∴，∴，設與交于點，作于點，∴，設，∵，∴，解得，∴，，設點到的距離是，則，，，點到的距離是，故選：D．【點撥】此題重點考查軸對稱的性質、角平分線的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．4．C【分析】過P作與M，根據(jù)將其一個銳角∠ABC折疊，使點A落在斜邊BC上的處，可得，根據(jù)將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，可得是的平分線，即可得，而已知，故，即點P到的距離為2．解：過P作與M，如圖：∵將其一個銳角折疊，使點A落在斜邊上的處，，，∵將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，∴，即是的平分線，∵，∴，∵，∴，∴，即點P到的距離為2，故選：C．【點撥】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質．5．B【分析】延長CD、BA，兩者交于點G，過G點作GH⊥AC，交于AC（或AC的延長線）于點H，證明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，進而有AG=BCAB=2，根據(jù)GH⊥AC，有△AGC的面積為，當G點與H點重合時，即AC⊥BG時，可得GH=AG，此時GH達到最大，則△AGC的最大面積為：；根據(jù)CD=DG，可得，則△ACD的最大面積可求．解：延長CD、BA，兩者交于點G，過G點作GH⊥AC，交于AC（或AC的延長線）于點H，如圖，∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，∵BD=BD，∴△BDG≌△BDC，∴BC=BG，CD=DG，∵BCAB=2，∴AG=BCAB=2，∵在△AGC中，GH⊥AC，∴△AGC的面積，∵AC=5，∴，∵在△AGH中，GH⊥AH，∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜邊為AG，∴GH＜AG，∵AG=2，∴GH＜2，當G點與H點重合時，即AC⊥BG時，可得GH=AG，此時GH達到最大，∴則GH的最大值為2，∴△AGC的最大面積為：，∵CD=DG，∴D點為CG中點，∴，∴△ACD的最大面積為：，故選：B．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定、角平分線的性質以及三角形的面積公式等知識，構造輔助線AG、DG，并判斷出當G點與H點重合時GH達到最大，是解答本題的關鍵．6．C【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，根據(jù)A1B、A1C分別平分∠ABC、∠ACD可得：∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，繼而∠A2＝∠A，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，將∠A代入即可求出使∠An的度數(shù)為整數(shù)，則n的最大值．解：由三角形的外角性質可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC，∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°，∵A1B、A1C分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∴∠A＝2∠A1，∴∠A1＝∠A,同理可得：∠A1＝2∠A2，∴∠A2＝∠A，∴∠A＝2n∠An，∴∠An＝∠A∵∠A＝48°∴當n＝4時，∠A4＝×48°＝3°，此時n的值最大，故選：C【點撥】本題考查了三角形外角性質、角平分線的性質、熟練掌握這兩個性質并準確識圖找出規(guī)律是解題的關鍵．7．D【分析】由作圖可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，則，，從而得到，由三角形內角和定理求出，即可得到答案．解：由作圖可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，，，，，，，，故選：D．【點撥】本題考查了作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理等知識，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．8．B【分析】由三角形內角和定理可得，由作法得：平分，從而可得，得到答案．解：在中，，，由作法得：平分，，故選：B．【點撥】本題主要考查了三角形內角和定理，尺規(guī)作圖—角平分線，角平分線的性質，熟練掌握三角形內角和定理，角平分線的性質，是解題的關鍵．9．D【分析】①根據(jù)點B和點C的坐標可得，從而可知是的垂直平分線，可得，再利用等腰三角形的三線合一性質證明，易得，最后利用三角形內角和證明；②要證明平分，想到利用角平分線性質定理的逆定理，所以過D作于F，只要證明即可，易證，根據(jù)全等三角形的性質得到；③要使，就要使，由②得，而，，由①得，所以只要判斷與是否相等即可；④根據(jù)全等三角形的性質得到，易證，得到，由于，，于是得到，求得，于是得到結論．本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和，角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．解：∵，，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故①正確，過D作于F，如圖：∵，，∴，∴，∴是的角平分線，故②正確，③∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故③不正確；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選D．10．B【分析】作于E，于F．只要證明，，即可一一判斷．解：如圖作于E，于F．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故①正確，∵定值，故②正確，∵，∴，∴定值，故③正確，在移動過程中，因為的長度是變化的，所以的長度是變化的，且同時增大或減小，故④錯誤，故選：B．【點撥】本題考查全等三角形的性質、角平分線的性質定理、四邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．11．【分析】連接，由作圖可知，為的平分線，進而可得，求出的值即可．本題考查作圖基本作圖、坐標與圖形性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．解：連接，

由作圖可知，為的平分線，點在第二象限，，解得．故答案為：．12．【分析】由尺規(guī)作圖可知，為的平分線，為線段的垂直平分線，則可得，即可列方程為，求出的值即可．解：由尺規(guī)作圖可知，為的平分線，為線段的垂直平分線，，，，，點的坐標為，，解得．故答案為：．【點撥】本題考查作圖復雜作圖、坐標與圖形的性質、線段垂直平分線的性質、角平分線的定義，熟練掌握線段垂直平分線的性質、角平分線的定義是解答本題的關鍵．13．或【分析】分兩種情況，①當點落在的邊的延長線上時，過點作于，于，由折疊的性質得，則，再由三角形面積得，即可解決問題；②當點落在的邊的延長線上時，，設，則，由勾股定理得，解得，即可得出結論．解：分兩種情況：如圖1，當點落在的邊的延長線上時，

過點作于，于，由折疊的性質得：，，，，，，；如圖2，當點落在的邊的延長線上時，

則，設，則，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，解得：，；綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點撥】本題考查了翻折變換的性質、角平分線的性質、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握翻折變換的性質和勾股定理是解題的關鍵．14．2【分析】由題意得為的角平分線，故可得，根據(jù)折疊的性質得到，，解直角三角形，即可解答．解：如圖，設與的交點為，

由題意，可得為的角平分線，，折疊，使點A與點D重合，，，，，在中，．故答案為：2．【點撥】本題考查了翻折的性質，角平分線的性質，含有角的直角三角形的三邊關系，熟知翻折的性質是解題的關鍵．15．【分析】延長交于點E，可證，再根據(jù)，可得的長度，當最大即可求得最大值．解：如圖所示延長交于點E，∵平分，，∴，，在與中，∵，，，∴∴，，∵∴，∵，∴，∴當，最大，即最大，∴答案為．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質、角平分線的性質及全等三角形性質，解題關鍵是根據(jù)中線將小三角形面積轉換成大三角形面積取垂直時最大．16．【分析】過點作于點，交于點P，過點P作于Q，則即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，即為的最小值．解：在中，，由勾股定理得：，過點作于點，交于點P，過點P作于Q，如圖，平分，于點，于Q，，∴的最小值，，，解得：．故答案為：．【點撥】本題考查了角平分線的性質，垂線段最短，勾股定理，三角形的面積．解題關鍵是作出的最小值的垂線段．17．3【分析】由作圖知，平分，進而可得出，在中，由，可得出，然后利用等腰三角形的性質證出，進而即可得解．解：由作圖知，平分，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：3．

【點撥】本題考查基本作圖、角平分線的性質、等腰三角形的判定和性質，30度的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，屬于中考?？碱}型．18．【分析】過點A作于點G，過點D分別作于點E，于點F，根據(jù)角平分線的性質可得，再根據(jù)三角形的面積可得，，即可求解．解：過點A作于點G，過點D分別作于點E，于點F，由題意可得：平分，∴，∵，即，∴，∵，即，∴，故答案為：．

【點撥】本題考查作圖?角平分線、角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質和三角形的面積公式是解題的公式．19．3或或或【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質、角平分線的判定；解題的關鍵是注意分類討論．（1）連接，證明，得出，根據(jù)即可求出結果；（2）根據(jù)題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度路程時間求解即可．解：（1）連接，如圖所示：∵點P到，的距離與相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：3．（2）設點的運動速度為，①當點在上，點在上，時，，∴運動時間為。則，解得；②當點在上，點在上，時，，∴運動時間為，則，解得：；③當點P在上，點在上，時，，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴此時運動時間為，則，解得；④當點P在上，點Q在上，時，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴此時運動時間為，則，解得；∴運動的速度為或或或．故答案為：或或或．20．【分析】①由勾股定理得出，利用三角形面積公式得出，再利用勾股定理，即可求出的長；②過點作于點，先證明和是等腰直角三角形，進而得到，再利用角平分線的性質定理，得到，即可得到答案．解：①，是邊上的中線，，，，，，，，，故答案為：；②如圖，過點作于點，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，平分，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理，三角形面積，等腰直角三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，靈活運用相關知識解決問題是解題關鍵．21．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質，作出的角平分線交軸于點，則即為所求；（2）根據(jù)勾股定理求得，設，則，根據(jù)角平分線的性質得出，進而根據(jù)等面積法，即可求解．（1）解：如圖所示，（2）如圖所示，過點作于點，∵是的角平分線，∴設，則，∵，，則，∴，∵，∴，解得：,∴．【點撥】本題考查了作角平分線，角平分線的性質，坐標與圖形，勾股定理，熟練掌握角平分線的作法及其性質是解題的關鍵．22．（1）；等腰三角形中等角對等邊；（2），理由見詳解；（3）證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)材料提示，平行線的性質，等腰三角形的性質即可求證；（2）根據(jù)（1）的結論可知，為等腰三角形，則，且，可證，由此即可求解；（3）如圖所示（見詳解），過點作，為邊的中點，可知點是的中點，得出為等腰三角關系，證明平分，再根據(jù)兩直線平行同旁內角互補，即可證明，即直角三角形，由此即可求證．解：（1）證明：∵在長方形中，，∴，由折疊性質可得，∴，∴，（依據(jù)是：等腰三角形中等角對等邊）∴是等腰三角形；故答案為：；等腰三角形中等角對等邊．（2）解：，理由如下，由（1）可證，為等腰三角形，則，∵平方，，∴，∴為等腰三角形，即，∵，∴．（3）解：如圖所示，過點作，∵為邊的中點，∴點是的中點，即，∵，平分，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．【