專題116角平分線（題型分類拓展）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題1.16角平分線（題型分類拓展）【題型目錄】【題型1】坐標(biāo)系中的角平分線；【題型2】角平分線中的折疊問題；【題型3】角平分線中的最值問題；【題型4】角平分線中的作圖問題；【題型5】角平分線中動點(diǎn)問題；單選題【題型1】坐標(biāo)系中的角平分線；1．（2023上·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，且，點(diǎn)P是的平分線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南通·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，在坐標(biāo)軸上，，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【題型2】角平分線中的折疊問題；3．（2023上·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿折疊得到，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，交于點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使得．連接，則點(diǎn)到的距離是（

）A． B． C．8 D．4．（2022上·浙江溫州·八年級?？计谥校┈F(xiàn)有一直角三角形紙片，先將共一個(gè)侻角折疊（如圖1），?點(diǎn)落在斜邊上的處，折痕與邊交于點(diǎn)．再將另一銳角折疘（如圖2），使也落在斜邊上，折痕與交于點(diǎn)，量得，則點(diǎn)到的距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．【題型3】角平分線中的最值問題；5．（2021上·福建莆田·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點(diǎn)D，AC＝5，BC－AB＝2，則△ADC面積的最大值為（

）A．2 B．2.5 C．4 D．56．（2020下·江蘇·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得∠A2；……；∠An－1BC與∠An－1CD的平分線交于點(diǎn)An，要使∠An的度數(shù)為整數(shù)，則n的最大值為（）

A．2 B．3 C．4 D．5【題型4】角平分線中的作圖問題；7．（2023上·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，通過尺規(guī)作圖，得到直線和射線，仔細(xì)觀察作圖痕跡，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（2023下·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，按下列步驟作圖：步驟1：以點(diǎn)為圓心、小于的長為半徑作弧，分別交于點(diǎn)；步驟2：分別以點(diǎn)為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；步驟3：作射線交于點(diǎn)．則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【題型5】角平分線中動點(diǎn)問題；9．（2023上·福建莆田·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，D為x軸正半軸上一點(diǎn)，A為第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，且，于M．下列說法正確的是（

）①；②平分；③；④A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④10．（2022上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)為的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為邊，上的動點(diǎn)，且，則以下結(jié)論中：①；②為定值；③四邊形的面積為定值；④四邊形的周長為定值．正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1填空題【題型1】坐標(biāo)系中的角平分線；11．（2023上·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

12．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸正半軸上一定點(diǎn)，利用尺規(guī)按以下步驟作圖．

（1）以點(diǎn)為圓心，長度為半徑作弧交軸正半軸于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交第一象限于點(diǎn)，作射線；以點(diǎn)為圓心，長度為半徑作弧交軸于另外一點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)重合，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線交射線于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為．【題型2】角平分線中的折疊問題；13．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)，連接，將沿所在的直線折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E落在的邊所在的直線上時(shí)，長為．

14．（2023·四川成都·成都七中?？既＃┤鐖D，中，以點(diǎn)A為圓心任意長為半徑畫弧交線段于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP，交于點(diǎn)D，折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕交線段于點(diǎn)E、F，若，，則．

【題型3】角平分線中的最值問題；15．（2022上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，平分，則的最大值為．16．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，是∠ABC的平分線，若P，Q分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是．【題型4】角平分線中的作圖問題；17．（2021上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，小于的長為半徑，畫弧，分別交于點(diǎn)E、F；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③作射線，交邊與點(diǎn)D，則．

18．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑作弧交于點(diǎn)P；③作射線交于點(diǎn)D．若，則的長為．

【題型5】角平分線中動點(diǎn)問題；19．（2023上·河北衡水·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動，回到點(diǎn)A停止，速度為．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P到，的距離與相等時(shí)，；（2）如圖2，在中，，，，．在中，若另外有一個(gè)動點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，從點(diǎn)A沿著運(yùn)動，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動過程中的某時(shí)刻，恰好，則點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為．20．（2023上·安徽合肥·九年級合肥38中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)H，連接并延長交于點(diǎn)F．①若是邊上的中線，則；②若平分，則．解答題【題型1】坐標(biāo)系中的角平分線；21．（2023上·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，連接．點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，（1）尺規(guī)作圖：若將沿直線翻折，使點(diǎn)恰好落在上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中作出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）在（1）的條件下，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【題型2】角平分線中的折疊問題；22．（2022上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】在學(xué)習(xí)了等腰三角形等有關(guān)知識后，數(shù)學(xué)活動小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般可得等腰三角形．如圖1，為的角平分線上一點(diǎn)，常過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易得為等腰三角形．（1）【基本運(yùn)用】如圖2，把長方形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重合部分是等腰三角形．請將以下過程或理由補(bǔ)充完整：∵在長方形中，，∴，由折疊性質(zhì)可得：____________，∴，∴，（依據(jù)是：____________）∴是等腰三角形；（2）【類比探究】如圖3，中，內(nèi)角與外角的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）【拓展提升】如圖4，四邊形中，，為邊的中點(diǎn)，平分，連接，求證：．【題型3】角平分線中的最值問題；23．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，和中，，，，邊與邊交于點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)，在的異側(cè)，，分別是，的角平分線．

（1）判斷與是否相等，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，①若，，則的最大值為；②若，設(shè)，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【題型4】角平分線中的動點(diǎn)問題；24．（2023上·江蘇南京·七年級南京市金陵匯文學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，射線均從開始，同時(shí)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每秒，旋轉(zhuǎn)的速度為每秒，當(dāng)與重合時(shí)，與同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒．（1）當(dāng)______．（2）當(dāng)為何值時(shí)，射線？（3）試探索，在射線與旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線與中的某一條射線是另兩條射線所成角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的值；若不存在，請說明理由．【題型5】角平分線中的作圖問題；25．（2023上·江蘇南京·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

（1）用直尺與圓規(guī)，求作一點(diǎn)C，使得，且點(diǎn)C到兩坐標(biāo)軸的距離相等；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：；（3）直接寫出與的交坐標(biāo)．參考答案：1．D【分析】本題主要考查角平分線性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，則有和，根據(jù)題意得，進(jìn)一步得到，有即可求得答案．解：連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，如圖，由已知條件可得，，，∵點(diǎn)P是的平分線上的點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)．故選：D．2．C【分析】過點(diǎn)作于，如圖所示，由尺規(guī)作圖得到平分，由三角形全等的判定得到，從而求出線段長，設(shè)，則，由勾股定理得到方程求解得到，再根據(jù)等面積法求出，則，求出，即可得到答案．解：過點(diǎn)作于，如圖所示：

由作圖得：平分，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，即，解得，，即，解得，，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查圖形與坐標(biāo)，涉及角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及等面積法求線段長等知識，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)幾何判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．D【分析】作于點(diǎn)，由，，得，由勾股定理得，由折疊得垂直平分，則，可求得，則，由，得，利用角平分的性質(zhì)以及等積法，耙犁，，設(shè)點(diǎn)到的距離是，則，得，于是得到問題的答案．解：作于點(diǎn)，則，，，，，，將沿折疊得到，點(diǎn)與點(diǎn)重合，垂直平分，，，，，，，即是的平分線，∴，∴，設(shè)與交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∴，設(shè)，∵，∴，解得，∴，，設(shè)點(diǎn)到的距離是，則，，，點(diǎn)到的距離是，故選：D．【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查軸對稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】過P作與M，根據(jù)將其一個(gè)銳角∠ABC折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的處，可得，根據(jù)將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，可得是的平分線，即可得，而已知，故，即點(diǎn)P到的距離為2．解：過P作與M，如圖：∵將其一個(gè)銳角折疊，使點(diǎn)A落在斜邊上的處，，，∵將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，∴，即是的平分線，∵，∴，∵，∴，∴，即點(diǎn)P到的距離為2，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．5．B【分析】延長CD、BA，兩者交于點(diǎn)G，過G點(diǎn)作GH⊥AC，交于AC（或AC的延長線）于點(diǎn)H，證明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，進(jìn)而有AG=BCAB=2，根據(jù)GH⊥AC，有△AGC的面積為，當(dāng)G點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即AC⊥BG時(shí)，可得GH=AG，此時(shí)GH達(dá)到最大，則△AGC的最大面積為：；根據(jù)CD=DG，可得，則△ACD的最大面積可求．解：延長CD、BA，兩者交于點(diǎn)G，過G點(diǎn)作GH⊥AC，交于AC（或AC的延長線）于點(diǎn)H，如圖，∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，∵BD=BD，∴△BDG≌△BDC，∴BC=BG，CD=DG，∵BCAB=2，∴AG=BCAB=2，∵在△AGC中，GH⊥AC，∴△AGC的面積，∵AC=5，∴，∵在△AGH中，GH⊥AH，∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜邊為AG，∴GH＜AG，∵AG=2，∴GH＜2，當(dāng)G點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即AC⊥BG時(shí)，可得GH=AG，此時(shí)GH達(dá)到最大，∴則GH的最大值為2，∴△AGC的最大面積為：，∵CD=DG，∴D點(diǎn)為CG中點(diǎn)，∴，∴△ACD的最大面積為：，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積公式等知識，構(gòu)造輔助線AG、DG，并判斷出當(dāng)G點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)GH達(dá)到最大，是解答本題的關(guān)鍵．6．C【分析】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，根據(jù)A1B、A1C分別平分∠ABC、∠ACD可得：∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，繼而∠A2＝∠A，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，將∠A代入即可求出使∠An的度數(shù)為整數(shù)，則n的最大值．解：由三角形的外角性質(zhì)可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC，∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°，∵A1B、A1C分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∴∠A＝2∠A1，∴∠A1＝∠A,同理可得：∠A1＝2∠A2，∴∠A2＝∠A，∴∠A＝2n∠An，∴∠An＝∠A∵∠A＝48°∴當(dāng)n＝4時(shí)，∠A4＝×48°＝3°，此時(shí)n的值最大，故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了三角形外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、熟練掌握這兩個(gè)性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】由作圖可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，則，，從而得到，由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得到答案．解：由作圖可知，為線段的垂直平分線，為的平分線，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得，由作法得：平分，從而可得，得到答案．解：在中，，，由作法得：平分，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，尺規(guī)作圖—角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】①根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得，從而可知是的垂直平分線，可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)證明，易得，最后利用三角形內(nèi)角和證明；②要證明平分，想到利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，所以過D作于F，只要證明即可，易證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；③要使，就要使，由②得，而，，由①得，所以只要判斷與是否相等即可；④根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，易證，得到，由于，，于是得到，求得，于是得到結(jié)論．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：∵，，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故①正確，過D作于F，如圖：∵，，∴，∴，∴是的角平分線，故②正確，③∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故③不正確；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選D．10．B【分析】作于E，于F．只要證明，，即可一一判斷．解：如圖作于E，于F．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故①正確，∵定值，故②正確，∵，∴，∴定值，故③正確，在移動過程中，因?yàn)榈拈L度是變化的，所以的長度是變化的，且同時(shí)增大或減小，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．11．【分析】連接，由作圖可知，為的平分線，進(jìn)而可得，求出的值即可．本題考查作圖基本作圖、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．解：連接，

由作圖可知，為的平分線，點(diǎn)在第二象限，，解得．故答案為：．12．【分析】由尺規(guī)作圖可知，為的平分線，為線段的垂直平分線，則可得，即可列方程為，求出的值即可．解：由尺規(guī)作圖可知，為的平分線，為線段的垂直平分線，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，解得．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查作圖復(fù)雜作圖、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．13．或【分析】分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)落在的邊的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作于，于，由折疊的性質(zhì)得，則，再由三角形面積得，即可解決問題；②當(dāng)點(diǎn)落在的邊的延長線上時(shí)，，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，即可得出結(jié)論．解：分兩種情況：如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的邊的延長線上時(shí)，

過點(diǎn)作于，于，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，；如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的邊的延長線上時(shí)，

則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，解得：，；綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．2【分析】由題意得為的角平分線，故可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，解直角三角形，即可解答．解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，

由題意，可得為的角平分線，，折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，，，，，在中，．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含有角的直角三角形的三邊關(guān)系，熟知翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【分析】延長交于點(diǎn)E，可證，再根據(jù)，可得的長度，當(dāng)最大即可求得最大值．解：如圖所示延長交于點(diǎn)E，∵平分，，∴，，在與中，∵，，，∴∴，，∵∴，∵，∴，∴當(dāng)，最大，即最大，∴答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及全等三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)中線將小三角形面積轉(zhuǎn)換成大三角形面積取垂直時(shí)最大．16．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于Q，則即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，即為的最小值．解：在中，，由勾股定理得：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于Q，如圖，平分，于點(diǎn)，于Q，，∴的最小值，，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，三角形的面積．解題關(guān)鍵是作出的最小值的垂線段．17．3【分析】由作圖知，平分，進(jìn)而可得出，在中，由，可得出，然后利用等腰三角形的性質(zhì)證出，進(jìn)而即可得解．解：由作圖知，平分，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：3．

【點(diǎn)撥】本題考查基本作圖、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，屬于中考?？碱}型．18．【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的面積可得，，即可求解．解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，由題意可得：平分，∴，∵，即，∴，∵，即，∴，故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題考查作圖?角平分線、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式是解題的公式．19．3或或或【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定；解題的關(guān)鍵是注意分類討論．（1）連接，證明，得出，根據(jù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意分四種情況進(jìn)行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)所走的路程，進(jìn)而可求出的運(yùn)動時(shí)間，即的運(yùn)動時(shí)間，再利用速度路程時(shí)間求解即可．解：（1）連接，如圖所示：∵點(diǎn)P到，的距離與相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：3．（2）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，①當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時(shí)，，∴運(yùn)動時(shí)間為。則，解得；②當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時(shí)，，∴運(yùn)動時(shí)間為，則，解得：；③當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)在上，時(shí)，，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴此時(shí)運(yùn)動時(shí)間為，則，解得；④當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴此時(shí)運(yùn)動時(shí)間為，則，解得；∴運(yùn)動的速度為或或或．故答案為：或或或．20．【分析】①由勾股定理得出，利用三角形面積公式得出，再利用勾股定理，即可求出的長；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明和是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，再利用角平分線的性質(zhì)定理，得到，即可得到答案．解：①，是邊上的中線，，，，，，，，，故答案為：；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，平分，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，三角形面積，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，作出的角平分線交軸于點(diǎn)，則即為所求；（2）根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，則，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解．（1）解：如圖所示，（2）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是的角平分線，∴設(shè)，則，∵，，則，∴，∵，∴，解得：,∴．【點(diǎn)撥】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，熟練掌握角平分線的作法及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）；等腰三角形中等角對等邊；（2），理由見詳解；（3）證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)材料提示，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)即可求證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知，為等腰三角形，則，且，可證，由此即可求解；（3）如圖所示（見詳解），過點(diǎn)作，為邊的中點(diǎn)，可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，得出為等腰三角關(guān)系，證明平分，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可證明，即直角三角形，由此即可求證．解：（1）證明：∵在長方形中，，∴，由折疊性質(zhì)可得，∴，∴，（依據(jù)是：等腰三角形中等角對等邊）∴是等腰三角形；故答案為：；等腰三角形中等角對等邊．（2）解：，理由如下，由（1）可證，為等腰三角形，則，∵平方，，∴，∴為等腰三角形，即，∵，∴．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作，∵為邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，即，∵，平分，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．【