專題76銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（蘇科版）

專題7.6銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．2．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，E是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C． D．3．（2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，為直角三角形中的一個(gè)銳角，則（

）A．2 B． C． D．5．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，若過(guò)點(diǎn)O且與邊分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致為（

）A．B．C． D．6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長(zhǎng)為（

）

A． B．3 C． D．28．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為β，，則建筑物AB的高度為（

）A．B．C． D．9．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）A．28m B．34m C．37m D．46m10．（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（）A． B．﹣1 C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，則．12．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則．13．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為的對(duì)邊，若，則的值為．14．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則．15．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長(zhǎng)是．16．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DEAB，交AC于點(diǎn)E，EFBC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)BD的長(zhǎng)為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），則AB的長(zhǎng)為．17．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，頂點(diǎn)在第一象限，對(duì)角線軸，交軸于點(diǎn)．若矩形的面積是6，，則．

18．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中滿足．20．（8分）（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：； （2）解不等式組：②21．（10分）（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，．

（1）求證：四邊形是矩形；（2），，，求的長(zhǎng)．22．（10分）（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為8，點(diǎn)C在延長(zhǎng)線上，且．

（1）求的半徑；（2）求的正切值．23．（10分）（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺(tái)，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．

某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測(cè)得塔頂部B的仰角為，在觀景臺(tái)D處測(cè)得塔頂部B的仰角為．（1）求的長(zhǎng)；（2）設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．24．（12分）（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值如下表：

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的值；（3）若將線段先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．參考答案：1．B【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有，，，∴，∴是直角三角形，且，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適輔助線是解題關(guān)鍵．2．B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的長(zhǎng)；解：過(guò)點(diǎn)A作AH垂直BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)P，由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點(diǎn)，∴BE=2，又∵，∴BH=1，即H是BE的中點(diǎn)，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分線，，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵，，∴PF=AD=4，設(shè)FG=x，則AG=x，EG=PG=4x，∵，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP===，解得x=；故選B．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．3．C【分析】由勾股定理求出，并利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，，則可求得，再根據(jù)勾股定理求出，最后由三角形函數(shù)的定義即可求得結(jié)果．解：在中，，，，由勾股定理得：．∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，．∴．∴在中，由勾股定理得．∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了求角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函數(shù)的概念并利用勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊為a+1，再接著利用勾股定理得到關(guān)于a的方程，據(jù)此進(jìn)一步求出直角三角形各個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)，最后求出的值即可．解：∵小正方形與每個(gè)直角三角形面積均為1，∴大正方形的面積為5，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為，設(shè)直角三角形短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊為a+1，其中a>0，∴a2+（a+1）2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=2（不符合題意，舍去），===2，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．5．C【分析】過(guò)點(diǎn)O向AB作垂線，交AB于點(diǎn)M，根據(jù)含有30°角的直角三角形性質(zhì)以及勾股定理可得AB、AC的長(zhǎng)，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得AO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OM、AM的長(zhǎng)，設(shè)，則，然后利用勾股定理可求出y與x的關(guān)系式，最后根據(jù)自變量的取值范圍求出函數(shù)值的范圍，即可做出判斷．解：如圖過(guò)點(diǎn)O向AB作垂線，交AB于點(diǎn)M，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∵BC＝4，∴AB＝8，AC＝，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，．且圖像是二次函數(shù)的一部分故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象等知識(shí)，解題關(guān)鍵是求解函數(shù)解析式和函數(shù)值的范圍．6．C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據(jù)折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，

∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長(zhǎng)，正確作輔助線求出DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．8．D【分析】設(shè)AB=x，利用正切值表示出BC和BD的長(zhǎng)，CD=BCBD，從而列出等式，解得x即可．解：設(shè)AB=x，由題意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，∵CD=BCBD，∴，∴，即AB=，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴，解得：m，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.11．【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長(zhǎng)，即可求出．解：∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．12．【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．解：過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．13．解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在中，，，．14．/0.8【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由此求解即可．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，由題意得，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．【分析】如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得是的直徑，，設(shè)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出，根據(jù)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．解：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，∵∠ACB＝90°∴是的直徑，，tan∠CBD＝，，在中，，，，，設(shè)則，AC＝BC，，，中，，，，,又，，，，，，，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了90°圓周角所對(duì)的弦是直徑，同弧所對(duì)的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，則此時(shí)BF＝，AB＝2BF，即可解決問(wèn)題．解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，3），過(guò)點(diǎn)（0，0），∴x＝4時(shí)，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，∵3＝2FH，∴FH＝，∵∠ABC＝60°，∴BF＝＝，∵DEAB，∴AB＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問(wèn)題，拋物線的對(duì)稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，求出BC＝4是解題的關(guān)鍵．17．【分析】方法一：根據(jù)的面積為，得出，，在中，，得出，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)的幾何意義，即可求解．方法二：根據(jù)已知得出則，即可求解．解：方法一：∵，∴設(shè)，則，∴∵矩形的面積是6，是對(duì)角線，∴的面積為，即∴在中，即即解得：在中，∵對(duì)角線軸，則，∴,∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，方法二：∵，∴設(shè)，則，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的幾何意義，余弦的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝2＝＝2BF，通過(guò)解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．19．；【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，求得的值，最后將代入化簡(jiǎn)結(jié)果即可求解．解：；∵，即，∴原式．【點(diǎn)撥】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解．20．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪與絕對(duì)值的意義和特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）先分別解兩個(gè)不等式得到和，然后根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集．解：（1）原式．（2）解不等式①，得；解不等式②，得．∴原不等式組的解集為．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．21．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出，證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；（2）證明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：由（1）知四邊形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（1）5；（2）【分析】（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，先根據(jù)圓周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先解直角三角形可得，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)正切的定義即可得．（1）解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，

由圓周角定理得：，弦的長(zhǎng)為8，且，，解得，的半徑為．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

的半徑為5，，，，，，即，解得，，，則的正切值為．【點(diǎn)撥】本題考查了圓