專(zhuān)題18特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算（17類(lèi)重點(diǎn)考向）（考點(diǎn)回歸）

主題四平面幾何專(zhuān)題18特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算矩形1．矩形的性質(zhì)：（1）四個(gè)角都是直角；（2）對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分；（3）面積=長(zhǎng)×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖）2．矩形的判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形．直角三角形斜邊上的中線(xiàn)1.性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）2.定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來(lái)判定直角三角形．菱形1．菱形的性質(zhì)：（1）四邊相等；（2）對(duì)角線(xiàn)互相垂直、平分，一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；（3）面積=底×高=對(duì)角線(xiàn)乘積的一半．2．菱形的判定：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形．正方形1．正方形的性質(zhì)：（1）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；（2）對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分；（3）面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（4）對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直、平分的四邊形是正方形．四邊形、平行四邊形和特殊四邊形的關(guān)系①兩組對(duì)邊分別平行；②相鄰兩邊相等；③有一個(gè)角是直角；④有一個(gè)角是直角；⑤相鄰兩邊相等；⑥有一個(gè)角是直角，相鄰兩邊相等；⑦四邊相等；⑧有三個(gè)角都是直角．中點(diǎn)四邊形1.任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.2.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.3.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.4.對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.與折疊有關(guān)的計(jì)算常用性質(zhì)1.折疊問(wèn)題的本質(zhì)是全等變換，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形；2.折痕可看作垂直平分線(xiàn)（互相重合的兩點(diǎn)之間的連線(xiàn)被折痕垂直平分）；3.折痕可看作角平分線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段所在的直線(xiàn)與折痕的夾角相等）.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)1.圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形．2.弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦．3.弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧．4.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．5.圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角．6.弦心距：圓心到弦的距離．注意1.經(jīng)過(guò)圓心的直線(xiàn)是該圓的對(duì)稱(chēng)軸，故圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條；2.3點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)．3.任意三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即該三角形的外接圓．垂徑定理及其推論1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線(xiàn)，一般過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形．2．推論①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；②弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。畧A心角、弧、弦的關(guān)系1．定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．2．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．圓周角定理及其推論1．定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．2．推論：①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．②直徑所對(duì)的圓周角是直角．③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d．（1）d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r切線(xiàn)的性質(zhì)1.切線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．2.切線(xiàn)到圓心的距離等于圓的半徑．3.切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．切線(xiàn)的判定1.與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)（定義法）．2.到圓心的距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．3.經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．三角形的外接圓相關(guān)概念經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．外心是三角形三條垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等．正多邊形的有關(guān)概念正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形中心角．正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)l=；扇形的面積S==圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖1）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)．2）若圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則