專題225相似三角形的應(yīng)用（舉一反三）（滬科版）

專題22.5相似三角形的應(yīng)用【九大題型】 【滬科版】 TOC\o"13"\h\u【題型1杠桿問題】 1【題型2建筑物問題】 5【題型3樹高問題】 9【題型4河寬問題】 13【題型5影長問題】 18【題型6實驗問題】 24【題型7九章算術(shù)】 29【題型8實際生活抽象出相似】 32【題型9三角形內(nèi)接矩形問題】 39【題型1杠桿問題】【例1】（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉(zhuǎn)動，另一端會向上翹起，石頭就被翹動了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點向下壓

【答案】27【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得端點C向下壓的長度．【詳解】解：由題意得，AC∥∴△AOC∴ACBD∵AO=3∴ACBD∴AC=3∴至少要將杠桿的C點向下壓27cm故答案為：27．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確地構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點C是支點，當(dāng)用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A【答案】45【分析】如圖：AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥【詳解】解：如圖，AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則∵AM∥∴△ACM∴ACBC∵AB:∴ACBC=AM∴當(dāng)BN≥5cm時，故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓45cm故答案為：45．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以點O為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時，拉力為F1，過點B1作B1C⊥OA，過點A1作A1D⊥OA，垂足分別為點C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1．其中正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判斷出①正確；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；根據(jù)杠桿平衡原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂列式判斷出③正確；求出F的大小不變，判斷出④正確．【詳解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正確；∵△OB1C∽△OA1D，∴OCOD由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA?OC=OB?OD，故②正確；由杠桿平衡原理，OC?G=OD?F1，故③正確；∴F1∴F1的大小不變，∴F=F1，故④正確．綜上所述，說法正確的是①②③④．故選D．【變式13】（2023春·江蘇泰州·九年級階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，G是BC的中點，E是AG的中點，CE的延長線交AB于D，求AD：BD（1）解：過G作GF∥AB，交CD于F．請繼續(xù)完成解答過程：（2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理”解答本題：（如圖2）設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg，G點承受質(zhì)量為2kg；當(dāng)E點為杠桿AG的支點，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg；再以D為杠桿AB的支點時，AD：BD=1kg：2kg=1：2應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，G是BC上一點，E是AG上一點，CE的延長線交AB于D，且=，=2，求AD：BD解：設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，則C端所掛物體質(zhì)量為kg，G點承受質(zhì)量為kg；當(dāng)E點為杠桿AG的支點，則A端所掛物體質(zhì)量為kg；再以D為杠桿AB的支點時，AD：BD=．【答案】（1）AD：BD=1：2；（2）4，10，5，6：5．【詳解】試題分析：（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F，得到△EFG∽△ADE，根據(jù)相似三角形的想知道的，求得GF=AD，根據(jù)△CGF∽△CBD，得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題目中提供的解題思路和方法，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案．解：（1）如圖1，過G作GF∥AB，交CD于F，∴△EFG∽△ADE，∴，∵E是AG的中點，∴=1，∴GF=AD，∵GF∥BD，∴△CGF∽△CBD，∴，∵G是BC的中點，∴，∴AD：BD=1：2；（2）設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，∵=，∴C端所掛物體質(zhì)量：B端所掛物體質(zhì)量==，∴C端所掛物體質(zhì)量=4kg，G點承受質(zhì)量=C端所掛物體質(zhì)量+B端所掛物體質(zhì)量=10kg；當(dāng)E點為杠桿AG的支點，∵=2，∴A端所掛物體質(zhì)量：G點承受質(zhì)量=1：2，∴A端所掛物體質(zhì)量=5kg；以D為杠桿AB的支點時，AD：BD=B端所掛物體質(zhì)量：A端所掛物體質(zhì)量=6：5．故答案為4，10，5，6：5．考點：相似形綜合題．【題型2建筑物問題】【例2】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，建筑物BC上有一個旗桿AB，小芳計劃用學(xué)過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB=3米，F(xiàn)D=4米，DE=5米，EG=1.5米，點A、B、C在一條直線上，點C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于【答案】這座建筑物的高BC為14米．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出CD，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：由題意可得，∠ACE=∠FDE=90°，∠AEC=∠FED，∴△ACE∽△FDE，∴ACFD=CEDE∴CD=由題意可得，∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD，∴△BCG∽△FDG，∴BCFD=CGDG∴6.5BC=4（CD+6.5），∴6.5BC∴BC=14，∴這座建筑物的高BC為14米．【點睛】此題考查似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答．【變式21】（2023春·山東濟(jì)南·九年級期末）小軍想出了一個測量建筑物高度的方法：在地面上點C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．【答案】33米【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出ABED=BC【詳解】解：由題意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴AB∵小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，∴AB1.65解得：AB＝33，答：這座建筑物的高度為33m．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．結(jié)合平面鏡成像的特點證明兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）如圖，小明想測量河對岸建筑物AB的高度，在地面上C處放置了一塊平面鏡，然后從C點向后退了2.4米至D處，小明的眼睛E恰好看到了鏡中建筑物A的像，在D處做好標(biāo)記，將平面鏡移至D處，小明再次從D點后退2.52米至F處，眼睛G恰好又看到了建筑物頂端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均為1.6米，求建筑物AB的高度．（注：圖中的左側(cè)α，β為入射角，右側(cè)的α，β為反射角）【答案】32米【分析】易得△ABC∽△EDC以及△ABD∽△GFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于x和y的方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)AB為xm，BC為ym，根據(jù)題意知，△ABC∽△EDC，有xy=△ABD∽△GFD，有xy+2.4聯(lián)立①②，得x＝32．答：建筑物AB的高度為32m．【點睛】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·四川達(dá)州·九年級校考期末）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．①計算小亮在路燈D下的影長；②計算建筑物AD的高．【答案】①1.5米

②12米【分析】①根據(jù)EP⊥AB,CB⊥AB,②根據(jù)FQ⊥AB,AD⊥【詳解】①∵EP∴∠EPA∵∠EAP∴△EAP∽∴EPBC∴1.89=∴AB=10,∴BQ=1026.5=1.5，即小亮在路燈D下的影長是1.5米．②∵FQ∴FQ∥∴∠BFQ∵∠BQF∴△BFQ∽∴BQBA∴1.510=解得DA=12，∴建筑物的高為12米．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解?！绢}型3樹高問題】【例3】（2023春·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測量，如圖，第一次他把鏡子放在點C處，他在點F處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在點C'處，他在點F'處正好在鏡中看到樹尖A的像．已知AB⊥BF'，EF⊥

【答案】8.5米【分析】先證明△ABC∽△EFC，得出EFAB=CFBC，再證明△ABC∽△E'F'【詳解】解：∵∠ABC=∠EFC∴△ABC∴EFAB∵∠ABC'∴△ABC∴E'∵EF∴CFBC∵CC'=12m∴1.8BC解得：BC=9∴1.7AB解得：AB=8.5答：這棵古松樹的高度為8.5m【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式31】（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期末）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早一部測量數(shù)學(xué)著作《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問島高幾何？譯文：今要測量海島上一座山峰AH的高度，在B處和D處樹立標(biāo)桿BC和DE，標(biāo)桿的高都是3丈，B和D兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AH，CB和DE在同一平面內(nèi)．從標(biāo)桿BC后退123步的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在同一直線上；從標(biāo)桿ED后退127步的G處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在同一直線上．則山峰AH的高度是．【答案】1255步【詳解】試題解析：∵AH∥BC，∴△BCF∽△HAF，∴BFHF又∵DE∥AH，∴△DEG∽△HAG，∴DGHG又∵BC=DE，∴BFHF即123123+∴BH=30750（步），又∵BFHF∴AH=5×30750+123123【變式32】（2023春·九年級單元測試）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹，在某時刻，1.2m長的竹竿垂直地面，影長為2m，此時，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為2m，則這棵樹高約有多少米(

A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米【答案】C【分析】因為在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同，利用竹竿這個參照物就可以求出圖中的BE．BC是BE的影子，然后加上CD加上樹高即可．【詳解】解：過點C作CE∥AD交AB于點E，

則CD=AE=2m，△BCE∽△B′BA′，∴A′B′：B′B=BE：BC，即1.2：2=BE：4，∴BE=2.4，∴AB=2.4+2=4.4．答：這棵樹高約有4.4m．故選：C．【點睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，此題主要是要知道在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同這個結(jié)論，然后根據(jù)題目條件就可以求出樹高．【變式33】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別為AB=8m，CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，王紅估計自己眼睛距地面1.6m．她沿著連接這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，在前進(jìn)的過程中，她發(fā)現(xiàn)看不到右邊較高的樹的頂端

A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m【答案】A【分析】連接CA并延長交FG于點N，過N作NM⊥l于點M，設(shè)NH=xm【詳解】解：如圖，連接CA并延長交FG于點N，過N作NM⊥l于點∵FG∥l，EF，∴NM=∴AH=AB-由題意知，四邊形HBDK是矩形，則HK=設(shè)NH=xm∵AH∥∴△NHA∴AHCK即6.410.4解得：x=8當(dāng)王紅剛好看到右邊較高的樹的頂端C時，她與左邊較低的樹AB的水平距離為8m，當(dāng)她看不到較高的樹的頂端C時，則她與左邊較低的樹AB的水平距離應(yīng)小于8故選：A．

【點睛】本題考查了相似三角形的實際應(yīng)用，正確理解題意，靈活利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4河寬問題】【例4】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點P處，正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是米．【答案】36【分析】根據(jù)題意，利用相似三角形的判定定理可得?ABP【詳解】解：如圖，∵北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，∴AB=16m，∵AB∥∴?ABPABDC∵AB=16m，P到AB的距離即∴1680解得：EF=36∴河寬為36米，故答案為：36．【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式41】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校校考期末）如圖，小斌想用學(xué)過的知識測算河的寬度EF．在河對岸有一棵高4米的樹GF，樹GF在河里的倒影為HF，GF=HF，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當(dāng)恰好站在點B處時看到岸邊點C和倒影頂點H在一條直線上，點C到水面EF的距離CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF，GF【答案】7.2米【分析】首先推知△ABC∽△CED，△CED【詳解】解：∵BC∥EF，AB⊥∴∠ACB=∠CDE∴△ABC∴ABCE=BC∴ED=1.2∵CE⊥EF，∴∠CED∵∠CDE∴△CED∴FHCE=DF∴DF=6∴EF=∴河的寬度EF為7.2米．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．【變式42】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過所學(xué)計算橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC=120米，DE=200米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥【答案】橋AF的長度為90米【分析】過E作EG⊥BC于G，可得△ABC∽△ADE，即可得出ACCE=【詳解】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于∵DE∴△ABC∴BC∴AC∵AF⊥BC∴AF∴△ACF∴ACEC解得AF=90答：橋AF的長度為90米．【點睛】本題主要考查了利用相似三角形的實際應(yīng)用．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式43】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點2米遠(yuǎn)的B點，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經(jīng)測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF【答案】10米【分析】延長AB交EP的反向延長線于點H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△【詳解】解：延長AB交EP的反向延長線于點H，則四邊形BDEH是矩形，∴BH=DE∴AH∵BD∥∴△ABD∽△∴BD∴2∴HO∵PM=PN，MF∴PN∵AH⊥EP∴AH∥∴△AHO∽△∴AH∴2.25∴PO∴PE答：河寬EP是10米．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造和證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．【題型5影長問題】【例5】（2023春·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期中）在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（）A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米【答案】B【分析】作出圖形，先根據(jù)同時同地物高與影長成正比求出臺階的高落在地面上的影長EH，再求出落在臺階上的影長在地面上的長，從而求出大樹的影長假設(shè)都在地面上的長度，再利用同時同地物高與影長成正比列式計算即可．【詳解】如圖，∵DEEH∴EH=0.3×0.6=0.18，∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8．∵ABAF∴AB=4.80.6=8(故選：B．【點睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是畫出圖形，把大樹的影長分成三段求出假設(shè)都在地面上的長度．【變式51】（2023春·安徽安慶·九年級安慶市第四中學(xué)?？计谥校榱藴y量學(xué)校旗桿的高度AB，數(shù)學(xué)興趣小組帶著標(biāo)桿和皮尺來到操場進(jìn)行測量，測量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點C沿BC后退，當(dāng)退行1.8米到D處時，恰好在鏡子中看到旗桿頂點A的像，此時測得小紅眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小明在F

處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿FG，發(fā)現(xiàn)地面上的點H、標(biāo)桿頂點G和旗桿頂點A在一條直線上，此時測得FH為2.4米，DF為3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，點B、C、D、F、H在一條直線上．（1）直接寫出ABBC=（2）請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算學(xué)校旗桿AB的高度．【答案】（1）56；（2）學(xué)校旗桿AB的高度為25【分析】（1）根據(jù)已知條件推出△ABC∽△EDC，即可求解；（2）根據(jù)已知條件推出△HGF∽△HAB，即可求解．【詳解】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB，∴△ABC∽△EDC，∴ABBC∵CD=1.8米，ED=1.5米，∴ABBC=1.5故答案為：56（2）設(shè)AB=x，則BC=65∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF，∴△HGF∽△HAB，∴ABGFBH=BC+CD+DF+FH=65x+1.8+3.3+2.4=1.2x+7.5，GF=1.6米，∴x1.6解得：x=25．答：學(xué)校旗桿AB的高度為25米．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．【變式52】（2023春·安徽亳州·九年級蒙城縣第六中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．①計算小亮在路燈D下的影長；②計算建筑物AD的高．【答案】①BQ=1.5；②DA【分析】解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解．【詳解】①∵EP⊥AB，∴∠∵∠EAP∴△∴EP∴1.8∴ABBQ=10-2-6.5=1.5②∵HQ⊥AB，∴∠∵∠HBQ∴△∴HP∴1.8∴DA=12【點睛】本題考查了相似三角形，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解.【變式53】（2023春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀以下文字并解答問題：在“測量物體的高度”活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組的3名同學(xué)選擇了測量學(xué)校里的三棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如1圖）．小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如2圖），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米．小明：測得丙樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如3圖）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測得他的影長為2米．（1）在橫線上直接填寫甲樹的高度為______米，乙樹的高度為________米﹔（2）請求出丙樹的高度．【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙樹的高為5.56米【分析】(1)如下圖1，根據(jù)測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲樹高，接著如下圖2先利用△C1D1E(2)如下圖3，先通過△C2D2E2～△FGE【詳解】解：（1）如圖1，假設(shè)線段AB是甲樹，線段CD是竹竿，線段BE和線段CE分別為甲樹和竹竿的影子，∴CD∵CD∴CD∴1∴AB故甲樹的高為5.1米；如圖2，假設(shè)線段A1B1線段B1∴C∵△C1D1E∴又∵C∴△A故乙樹的高為4.2米；故答案為：5.1，4.2；（2）如圖3，假設(shè)線段A2B2線段FE2為丙樹落在坡面上影長，C2則B2F=2.4米，F(xiàn)E2=3.2米，C2∵C又∵△GFH與圖1中的△∴GF又∵△FGH∴故丙樹的高為5.56米．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，有一定難度和綜合性，根據(jù)同一時刻影長與高成比例以及假設(shè)沒有墻或臺階時求出影長是解決問題的關(guān)鍵．【題型6實驗問題】【例6】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實驗．他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現(xiàn)外面景物的倒像．小宇在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來觀察小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點燃的蠟燭距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm處，小宇測得蠟燭的火焰高度為4cm

A．8cm B．6cm C．5cm【答案】B【分析】畫出圖像，根據(jù)“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高度．【詳解】解：如圖，設(shè)蠟燭的高度為線段AB，蠟燭的像為A'B'，PC⊥AB于C，PC'

由題知A'∴∠A∴△P∴A∴A解得A'即光屏上火焰所成像的高度為6cm故選：B【點睛】本題主要考查了利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”解決實際問題．熟練掌握這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023春·陜西西安·九年級校考開學(xué)考試）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、

【答案】1.2【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可求解．【詳解】證明：△BFC故BCBD=FC∴BC=3∵AC=5.4∴AB=5.4-3=2.4∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC又∵∠FCB∴△BGA∴AGCF∴AG1.5解得：AG=1.2∴燈泡到地面的高度AG為1.2m【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由相似得到對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式62】（2023·陜西西安·?？家荒＃緦W(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，【答案】燈泡到地面的高度AG為1.