專題23直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式8種常見(jiàn)考法歸類（125題）（原卷版）

專題2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式8種常見(jiàn)考法歸類（125題）題型一兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題（一）求直線交點(diǎn)坐標(biāo)（二）由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系（三）由方程組解的個(gè)數(shù)求參數(shù)（四）由直線的相交關(guān)系求參數(shù)（五）由直線的交點(diǎn)位置求參數(shù)（六）求過(guò)交點(diǎn)的直線方程題型二三線圍成三角形問(wèn)題題型三兩點(diǎn)間的距離公式（一）求兩點(diǎn)間的距離（二）由兩點(diǎn)間的距離求參數(shù)（三）距離公式求最值（四）判斷三角形、四邊形的形狀（五）求三角形、四邊形的周長(zhǎng)、面積題型四點(diǎn)到直線的距離（一）求點(diǎn)到直線的距離（二）已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)（三）與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的最值問(wèn)題（四）求到兩點(diǎn)距離相等的直線方程題型五兩平行線間的距離（一）求平行線間的距離（二）由兩平行線間的距離求參數(shù)（三）由距離求直線的平行線（四）與兩平行直線間的距離有關(guān)的最值問(wèn)題題型六距離的綜合應(yīng)用題型七直線的對(duì)稱問(wèn)題（一）求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（二）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（三）求兩點(diǎn)的對(duì)稱軸（四）求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線（五）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線（六）反射光線問(wèn)題題型八將軍飲馬問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無(wú)窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行2．兩條直線相交的條件(1)將兩個(gè)直線方程聯(lián)立解方程組，依據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷兩條直線是否相交．當(dāng)方程組只有一解時(shí)，兩條直線相交．(2)設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2相交的條件是A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2，B2≠0)．(3)設(shè)兩條直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1與l2相交?k1≠k2.3．過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為參數(shù)，不包含l2)．題型一兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題（一）求直線交點(diǎn)坐標(biāo)1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)2.（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）兩直線和的交點(diǎn)為．3.（2324高二上·重慶渝中·期中）已知直線2x+y+5=0與直線kx+2y=0互相垂直，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．?1,?3 B．?2,?1C．?12,?14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，其垂心為，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．（二）由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系解題策略：判斷兩條直線關(guān)系的方法(1)利用方程組解的個(gè)數(shù)，將“形”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的問(wèn)題．(2)利用斜截式方程中斜率和截距的關(guān)系．(3)利用一般式中系數(shù)的關(guān)系5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，．6.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)直線；(2)直線．（三）由方程組解的個(gè)數(shù)求參數(shù)7.（2024·上海·高三專題練習(xí)）若關(guān)于、的方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)________8.（2024·高二校聯(lián)考課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實(shí)數(shù)滿足的條件是________.9.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于?的二元一次方程組有無(wú)窮多組解，則與的積是_____.10.（2324高二上·安徽蕪湖·期中）已知直線l1:mx?y+m?1=0與射線l2:x?y?2=0(x≥0)恒有公共點(diǎn)，則A．(?∞,?1]∪(1,+∞) B．(?∞,?1]∪[1,+∞)C．[?1,1) D．[?1,1]11.（2324高二上·安徽·階段練習(xí)）已知三條直線2x+y?4=0,kx?y+3=0,x?y?2=0交于一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k=（

）A．?1 B．1C．?32 12.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1（四）由直線的相交關(guān)系求參數(shù)13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線相交，則m的取值范圍為_(kāi)_________．14.（2024秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且（五）由直線的交點(diǎn)位置求參數(shù)15.（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩直線和，相交于點(diǎn)，則的值分別是（

）A．7，1 B．1，7C． D．16.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）兩直線和的交點(diǎn)在軸上，則的值是（

）A．24 B．6 C．±6 D．2417.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.18.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．19．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．20.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線相交且交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．21.（2324高二上·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）若直線l：y=kx?3與直線2x+3y?6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

A．π6,πC．π3,π22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B．4 C．12 D．4（六）求過(guò)交點(diǎn)的直線方程解題策略：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：運(yùn)用過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)，則過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解．23.（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為（）A． B．C． D．24.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為_(kāi)__________.25．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過(guò)直線和直線的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（）A．B．或C．或D．或26.（2324高二上·山東聊城·期中）經(jīng)過(guò)兩條直線l1:x+y=2，l2:2x?y=1的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量A．2x?y?1=0 B．2x+y?3=0C．3x?2y?5=0 D．2x+3y?5=027.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩直線和的交點(diǎn)為．求：(1)過(guò)點(diǎn)與的直線方程；(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程．28.（2024·天津·高二校聯(lián)考期末）過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．29.（2324高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線l1:y=?2x?1和l2:y=2x+3的交點(diǎn)，且傾斜角是直線A．2x+y+1=0 B．x?4y+3=0 C．4x+3y+1=0 D．3x+4y?1=030．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．31．（福建省連江第一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．(1)求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．題型二三線圍成三角形問(wèn)題解題策略：已知三條直線相交于同一點(diǎn)，求直線方程中的參數(shù)，只需求出其中兩條直線的交點(diǎn)，利用該點(diǎn)也在第三條直線上即可求解.若已知三條直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),則需滿足其中兩條直線的交點(diǎn)不在第三條直線上且三條直線的斜率不同，32.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)33.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線，，能構(gòu)成三角形，求應(yīng)滿足的條件．

34.【多選】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）三條直線，，構(gòu)成三角形，則的值不能為（

）A． B．C． D．－235.（2024·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個(gè)直角三角形，則__________．36.（2024·高二校聯(lián)考課時(shí)練習(xí)）已知三條直線，，.（1）若直線，，交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線，，不能圍成三角形，求實(shí)數(shù)的值.知識(shí)點(diǎn)2兩點(diǎn)間的距離1.兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.2.對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的理解(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式也可寫成|P1P2|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2).(2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時(shí)，|P1P2|＝|x2－x1|；當(dāng)直線P1P2平行于y軸時(shí)，|P1P2|＝|y2－y1|.3．點(diǎn)到幾種特殊直線的距離(1)點(diǎn)P(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|；(2)點(diǎn)P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|；(3)點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝b(b≠0)的距離d＝|y0－b|；(4)點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|.題型三兩點(diǎn)間的距離公式（一）求兩點(diǎn)間的距離37．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知三頂點(diǎn)坐標(biāo)，試求邊上的中線的長(zhǎng)．38．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則________．39．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線和直線分別過(guò)定點(diǎn)和，則|________．40．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是，則A與B坐標(biāo)分別為_(kāi)_______，________．41.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為（

）A．11 B．10 C．9 D．842.（2324高三下·浙江麗水·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)A,B在曲線y=log2x上．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2)，則|AB|=A．6 B．210 C．43 （二）由兩點(diǎn)間的距離求參數(shù)解題策略：解決兩點(diǎn)間距離公式逆用問(wèn)題的思路已知所求點(diǎn)的相關(guān)信息及該點(diǎn)到某點(diǎn)的距離滿足某些條件時(shí)，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程或方程組求解43．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則________．44.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．45．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)的距離為5，并求直線PM的方程.（三）距離公式求最值46.（2024秋·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┖瘮?shù)的最小值是_____________.47．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．48.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，從而將函數(shù)變形為，求得的最小值為_(kāi)_______．49．（四川省德陽(yáng)市第五中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期5月月考理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．（四）判斷三角形、四邊形的形狀解題策略：判斷四邊形與三角形形狀的方法（1）利用兩點(diǎn)間距離公式判定三角形形狀的方法已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)判斷三角形的形狀時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求三邊長(zhǎng)，從邊長(zhǎng)間的關(guān)系入手如果邊長(zhǎng)相等,則可能是等腰或等邊三角形;如果滿足勾股定理,則是直角三角形.(2)判斷四邊形形狀的方法是：若兩組對(duì)邊均平行，則是平行四邊形，進(jìn)而再判斷是否是矩形、菱形或正方形；若一組對(duì)邊平行，進(jìn)而再判斷是否是等腰梯形或直角梯形；若兩組對(duì)邊均不平行，則為一般四邊形．(3)利用兩點(diǎn)間距離公式求出線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)各邊長(zhǎng)度判斷三角形或四邊形形狀是常見(jiàn)題型．解題時(shí)要注意方程思想和分類討論思想的應(yīng)用．50．（江蘇省鎮(zhèn)江市20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形51．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，判斷的類型.52．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），則四邊形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形（五）求三角形、四邊形的周長(zhǎng)、面積53．（重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，．(1)求的面積；(2)判斷四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由．54．（遼寧省協(xié)作校20232024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)在第四象限.(1)求正方形的面積;(2)求直線和的方程.55．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)值最小時(shí)，求直線l的方程.知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)到直線的距離1.點(diǎn)到直線的距離平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.2.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離，應(yīng)先把直線方程化為kx－y＋b＝0，得d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1)).(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為零，公式仍然適用，故應(yīng)用公式時(shí)不必判定點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系．題型三點(diǎn)到直線的距離解題策略：點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)P(x0，y0)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．（一）求點(diǎn)到直線的距離56.（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．D.357．（上海市青浦區(qū)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_________．58.（2324高一下·江蘇泰州·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．（二）已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)59.（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（

）A或 B．或15C．5或 D．5或1560.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．61.（2324高一下·北京順義·階段練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)，使它到直線的距離等于原點(diǎn)到l的距離，則此點(diǎn)的坐標(biāo)為.62.（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二瀏陽(yáng)一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或（三）與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的最值問(wèn)題63.（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)________.64.（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）點(diǎn)在直線上，為原點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．65．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線過(guò)定點(diǎn)___________，原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為_(kāi)__________.66．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．67．（重慶市第十一中學(xué)校20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知直線：過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．68.（2324高二上·廣東廣州·期末）若點(diǎn)在直線上，則的最小值為.69．（山東省臨沂市平邑縣第一中學(xué)20232024學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題）已知兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則的范圍是________，的范圍是________.（四）求到兩點(diǎn)距離相等的直線方程70．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且和的距離相等的直線方程是_________．71.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，若直線過(guò)點(diǎn)，且、到直線的距離相等，則直線的方程為_(kāi)_____.72.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，到直線的距離都等于2，求直線的方程．知識(shí)點(diǎn)4兩條平行線間的距離1.兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.2.對(duì)兩條平行直線間的距離公式的理解(1)求兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式．(2)利用公式求平行直線間的距離時(shí)，兩條直線的方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．(3)當(dāng)兩條直線都與x軸(或y軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．①兩條直線都與x軸垂直時(shí)，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|；②兩條直線都與y軸垂直時(shí)，若l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|.題型四兩平行線間的距離解題策略：求兩條平行直線間距離的兩種思路(1)利用“化歸”法將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．(2)直接利用兩條平行直線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí)，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必須注意兩條直線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．（一）求平行線間的距離73.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．74.（2023春·河南洛陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）兩條平行線，間的距離等于（

）A． B． C． D．75．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）．A．1 B．2 C． D．476．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，且∥．(1)求的值；(2)求兩平行線與之間的距離．（二）由兩平行線間的距離求參數(shù)77.（2023春·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線：，：間的距離為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或278.（2024·高一單元測(cè)試）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．79．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩條直線，，且，當(dāng)兩平行線距離最大時(shí)，（

）A．3 B．4 C．5 D．680．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．（三）由距離求直線的平行線81.（2324高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）到直線3x?4y?11=0的距離為1的直線方程為（

）A．3x?4y?1=0 B．3x?4y?6=0或3x?4y?16=0C．3x?4y+1=0或3x?4y?1=0 D．3x?4y+16=0或3x?4y?3=082．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)_________．83．【多選】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）與直線平行且到的距離等于的直線方程為（

）A． B．C． D．84．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被兩平行直線和截得的線段之長(zhǎng)為5．則直線l的方程為_(kāi)________．85．（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線被兩平行線與所截得的線段的長(zhǎng)為2，則直線的傾斜角為_(kāi)_____．（四）與兩平行直線間的距離有關(guān)的最值問(wèn)題86.（2324高二上·天津和平·期末）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為直線3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0上的任意一點(diǎn)，則PQ的最小值為（

）A．1 B．2 C．1710 D．87．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)，分別在直線和直線上移動(dòng)，求線段的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_______．題型五距離的綜合應(yīng)用解題策略：兩種距離公式在解析幾何中的應(yīng)用(1)點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行線間的距離公式是解析幾何的基本公式之一，在解析幾何中具有重要的作用．(2)在使用距離公式時(shí)要首先把直線方程化為一般式．88．（上海市上海中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）過(guò)點(diǎn)作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點(diǎn)平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．89．（上海師范大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期3月第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)_____.90．（山東省菏澤市鄆城縣鄆城第一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知三條直線；，，：，且原點(diǎn)到直線的距離是．(1)求a的值；(2)若，能否找到一點(diǎn)，使同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)在第一象限；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是，若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．91．（上海市青浦區(qū)2023屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，若動(dòng)點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，則的最大值為_(kāi)__________.92．（河北省邢臺(tái)市第二中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）過(guò)定點(diǎn)A的直線與過(guò)定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)與不重合），則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．493.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線l：kx?y+1+2k=0(k∈R)，P3,?1，Q(1)若P、Q兩點(diǎn)到直線l的距離相等，求此時(shí)直線l的直線方程.(2)當(dāng)k為何值時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離最大(3)當(dāng)k=1時(shí)，求直線l上的動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)5對(duì)稱問(wèn)題1.對(duì)稱問(wèn)題(1)中心對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱．若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程．(2)軸對(duì)稱①點(diǎn)(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)(x2，y2)可由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1(AB≠0)，,A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0))得出．對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)x2＝x1－2A·eq\f(Ax1＋By1＋C,A2＋B2)，y2＝y(tǒng)1－2B·eq\f(Ax1＋By1＋C,A2＋B2)注：②直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0關(guān)于l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的直線l2的方程的方法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．在l1上任取兩點(diǎn)P1和P2，求出P1，P2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出l2的方程．另一種方法如下：注：對(duì)稱問(wèn)題(1)光線的入射、反射的問(wèn)題以及在某定直線取點(diǎn)，使它與兩定點(diǎn)距離之和最小這類問(wèn)題均屬于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題．(2)常用對(duì)稱的特例①A(a，b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(a，－b)；②B(a，b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－a，b)；③C(a，b)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為C′(b，a)；④D(a，b)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為D′(－b，－a)；⑤P(a，b)關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)關(guān)于直線y＝n的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(a，2n－b)．2.求直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的最大值的方法3.求直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值的方法題型六直線的對(duì)稱問(wèn)題（一）求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)解題策略：求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)由：94.（2324高二上·四川遂寧·期中）若A(4，0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)95.（2324高二·全國(guó)·課堂例題）已知不同的兩點(diǎn)Pa,?b與Qb+1,a?1關(guān)于點(diǎn)3,4對(duì)稱，則ab=（A．?5 B．14 C．?14 D．596.（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．（二）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)解題策略：求點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；②整理得：97.（2024·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．98.（2024·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎瑑牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.99．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____________，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為_(kāi)______________.100.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________．101．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則_________；__________．102.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)是，求、的值．103．（江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6（三）求兩點(diǎn)的對(duì)稱軸104.（2324高二·全國(guó)·課后作業(yè)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)3,2與點(diǎn)1,4重合，則折痕所在直線的一般式方程為.105.（2324高二上·四川內(nèi)江·期中）已知點(diǎn)A1,2關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為B3,1，則直線l的方程為（A．4x+2y?5=0 B．x?2y?5=0 C．x+2y?5=0 D．4x?2y?5=0106.（2324高一下·河北保定·期末）若點(diǎn)Aa?1,a+1，Ba,a關(guān)于直線l對(duì)稱，則A．x?y+1=0 B．x+y?1=0C．2x?2y+1=0 D．2x+y?2=0求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線解題策略：方法一：在直線上找一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，根據(jù)，再由點(diǎn)斜式求解；方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點(diǎn)到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三：在直線任意一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則該點(diǎn)在直線上.107.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是（

）A． B． C． D．108.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0109.（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的一般式方程為_(kāi)_____．110.（2324高二上·全國(guó)·期末）點(diǎn)P1,2在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,3111.（2324高二上·江蘇常州·期中）已知直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A．2 B．6 C．?2 D．?6（五）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線解題策略：1.直線：（）和：（）相交,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線①求出與的交點(diǎn)②在上任意取一點(diǎn)(非點(diǎn)），求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)③根據(jù)，兩點(diǎn)求出直線2.直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線①②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.112.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，那么直線的方程是______．113.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（）A． B．C． D．114．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）試求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線l的方程．115.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是________.116．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）