專題112線段垂直平分線（題型分類拓展）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題1.12線段垂直平分線（題型分類拓展）【題型目錄】【題型1】坐標(biāo)系中的線段垂直平分線；【題型2】線段垂直平分線中的折疊問題；【題型3】線段垂直平分線中的最值問題；【題型4】線段垂直平分線中的旋轉(zhuǎn)問題；【題型5】線段垂直平分線中動點問題；單選題【題型1】坐標(biāo)系中的線段垂直平分線；1．（2021下·河南許昌·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知的頂點，分別在軸，軸上，，，按以下步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，交于點，；②作直線交軸于點，交軸于點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2018·內(nèi)蒙古·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，2），分別以點O，A為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P．若點P的坐標(biāo)為（m，n+1）（），則n關(guān)于m的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【題型2】線段垂直平分線中的折疊問題；3．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┤鐖D，中，的平分線與的垂直平分線相交于點，點分別在上，點沿折疊后與點重合，則是（

）A． B． C． D．4．（2023上·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在等腰中，，，的平分線與的中垂線交于點O，點C沿折疊后與點O重合，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【題型3】線段垂直平分線中的最值問題；5．（2023上·福建莆田·八年級校考期中）如圖，在中，于點D，于點E．若點P是上一動點，連接，則的最小值是等于下列哪條線段的長（

）A． B． C． D．6．（2023上·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，點B是線段上一動點，以為底邊作等腰三角形，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．2【題型4】線段垂直平分線中的旋轉(zhuǎn)問題；7．（2021下·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于點F，DE交BC、AC于點G、H，則以下結(jié)論：①△ABF≌△AEH；②連接AG、FH，則AG⊥FH；③當(dāng)AD⊥BC時，DF的長度最大；④當(dāng)點H是DE的中點時，四邊形AFGH的面積等于AF×GH．其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【題型5】線段垂直平分線中動點問題；8．（2023上·浙江溫州·八年級校考期中）如圖，在中，，，D是的中點，動點P從A點出發(fā)以的速度向終點C運動，設(shè)運動時間為，若的中垂線恰好經(jīng)過點D時，則t的值為（

）A．12 B． C． D．9．（2023上·河南焦作·九年級校考期中）如圖①，一動點P從中的A點出發(fā)，在三角形的內(nèi)部運動（含邊上），沿直線運動兩次，第一次到點，第二次到點，設(shè)點P運動的路程為x，如圖②，是點P運動時y隨x變化關(guān)系圖象，若，則以，，A，B四點組成的四邊形面積為（）

A． B． C． D．填空題【題型1】坐標(biāo)系中的線段垂直平分線；10．（2016·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，四邊形是矩形，頂點A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，點E在x軸上，點P在邊上運動，使為等腰三角形，則滿足條件的P點坐標(biāo)為．11．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是，點B在x軸上，過點B作x軸的垂線l，l與線段的垂直平分線相交于點P，設(shè)點P的坐標(biāo)為，當(dāng)時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．

【題型2】線段垂直平分線中的折疊問題；12．（2023上·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點為上一點，的垂直平分線交于點，將沿著折疊，點恰好和點重合，則的度數(shù)為．13．（2023上·云南昆明·九年級數(shù)據(jù)測試校2017112校考開學(xué)考試）綜合與實踐活動課上，小李同學(xué)對折長方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．在上選一點，沿折疊，使點落在上的點處，把紙片展平，連接，．則圖中的度數(shù)為．

【題型3】線段垂直平分線中的最值問題；14．（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，的垂直平分線交于點N，交于點M，，的周長是16，若點P在直線上，則的最大值為．

15．（2023上·山東日照·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，點到的距離為3，，點為的中點，點為上的任意一點，則的最小值為．【題型4】線段垂直平分線中的旋轉(zhuǎn)問題；16．（2023下·四川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，將三角板的直角頂點D放在的斜邊的中點處，交于點M，交于點N．將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，的長為．

17．（2022下·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一副三角板如圖放置，，頂點重合，將繞其頂點旋轉(zhuǎn)，如圖，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，連接、，這時的面積是．【題型5】線段垂直平分線中動點問題；18．（2024上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D，中，，D為上一動點，垂直平分分別交于E，交于F，則．19．（2023上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，動點在射線上移動，連接．如果，則線段的長為．

解答題【題型1】坐標(biāo)系中的線段垂直平分線；20．（2023上·吉林白城·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，以為一邊在第一象限作等邊．點為軸的正半軸上一動點，連接．以為邊在第一象限內(nèi)作等邊．直線交軸于點．（1）當(dāng)點坐標(biāo)為時，求證：直線是邊的垂直平分線；（2）隨著點的移動，的長是否會發(fā)生變化？若沒有變化，求的長；若有變化，請說明理由．【題型2】線段垂直平分線中的折疊問題；21．（2023上·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）綜合與實踐綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．【操作發(fā)現(xiàn)】對折，使點C落在邊上的點E處，得到折痕，把紙片展平，如圖1．發(fā)現(xiàn)四邊形滿足：，．查閱資料得知，像這樣的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”．【初步應(yīng)用】（1）如圖1，在中，若，，那么___________°．【類比探究】借助學(xué)習(xí)幾何圖形的經(jīng)驗，通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法，小紅對箏形的性質(zhì)進行了探究．如圖2，求證：（2）；（3）垂直平分線段．

【題型3】線段垂直平分線中的最值問題；22．（2023上·全國·八年級期末）如圖，等腰直角中，，，請用直尺和圓規(guī)，作出符合下列條件的各點，不寫作法，但保留必要的作圖痕跡．（1）作上一點，上一點，使得，且最大；（2）在第一問的條件下，作上一點，上一點，使得，且最小，并求出這個最小值．【題型4】線段垂直平分線中的旋轉(zhuǎn)問題；23．（2023上·河北衡水·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，在和中，，，．連接，．（1）求證：；（2）將和繞點A向相反方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點O，與交于點F．①若，求的度數(shù)；②連接，求證：平分；③若G為上一點，，，且，連接，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【題型5】線段垂直平分線中動點問題；24．（2023下·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知等腰三角形與等腰三角形全等，邊與邊重合，交射線于點M，．

（1）若，求的度數(shù)．（2）如圖2，將等腰三角形繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，過點E作，交于點N．①求證：．②判斷的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（2023上·湖北宜昌·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，于點D，E是上的一動點，點F在直線上，且．（1）求證：；（2）如圖1，求證：；（3）如圖2，如果，，當(dāng)正好平分時，直接寫出的長為_____．（用含m的代數(shù)式表示）參考答案：1．B【分析】連接BC，如圖，先利用勾股定理計算出OA＝8，再由作法得CA＝CB，利用勾股定理得到OC2＋42＝（8?OC）2，然后求出OC得到C點坐標(biāo)．解：連接BC，如圖，∵B（0，4），∴OB＝4，在Rt△ABO中，OA=，由作法得PQ垂直平分AB，∴CA＝CB，在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA?OC＝8?OC，∵OC2＋42＝（8?OC）2，∴OC＝3，∴C點坐標(biāo)為（?3，0）．故選：B．【點撥】本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理．2．A解：由作法得PO=PA,則m2+（n+1）2=（m?2）2+（n+1?2）2，整理得n=?m+1，即n關(guān)于m的函數(shù)表達式為n=?m+1.故選A.點睛：本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的平分線；過一點作已知直線的垂線）記住兩點間的距離公式是解決問題的關(guān)鍵.3．A【分析】連接，設(shè)的平分線與交于點E，求出，，根據(jù)垂直平分，得到，即，進一步可得，利用垂直平分，得到，由折疊的性質(zhì)可知：，所以，進一步可得．解：連接，設(shè)的平分線與交于點E，如圖∵，，∴，∵平分，∴，∵垂直平分，∴，即，∴，∵，平分，由三線合一的性質(zhì)可得：垂直平分，∴，即，由折疊的性質(zhì)可知：，∴，∴，故答案為：【點撥】本題考查了角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識點，并能夠綜合運用．4．B【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出，以及，再利用翻折變換的性質(zhì)得出進而求出即可．解：連接，的平分線與的中垂線交于點O，，，，∵在等腰中，，，，在和中，，，∵點C沿折疊后與點O重合，，，．故選：B．【點撥】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．D【分析】本題考查軸對稱—最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接，只要證明，即可推出，由，推出P、C、E共線時，的值最小，最小值為的長度．解：如圖連接，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴P、C、E共線時，的值最小，最小值為的長度，故選：D．6．C【分析】本題考查線段垂直平分線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理，連接，可證明，，當(dāng)時，最小，利用等腰三角形的判定和勾股定理求解即可．得到點P的運動路線是解答的關(guān)鍵．解：連接，由題意，，，∴垂直平分，即，∵，∴，∴點P在與成的射線上，故當(dāng)時，最小，如圖，則，∴，由勾股定理得，∴，則，即的最小值是，故選：C．7．A【分析】根據(jù)SAS可證△ABF≌△AEH，可判斷①；證AF＝AH，F(xiàn)G＝HG，可證AF垂直平分FH，可判斷②；當(dāng)AF最小時，DF最長，即AD⊥BC時，DF最大．可判斷③；S四邊形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，可判斷④．解：①在△ABF和△AEH中，，∴△ABF≌△AEH（SAS），故①正確；②∵△ABF≌△AEH，∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH，∴∠DFG＝∠CHG，∵AD＝AC，∴DF＝CH，∴△DFG≌△CHG，∴FG＝GH，∴AG垂直平分FH，故②正確；③由DF＝AD﹣AF，∵AD是定長，∴AF最小時，DF最長，即AD⊥BC時，DF最大．故③正確；④當(dāng)點H是DE的中點時，有AH⊥DE，∵AF＝AH，F(xiàn)G＝GH，且AG是公共邊，∴△AFG≌△AHG（SSS）∴S四邊形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，故④正確．故選A．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、垂線段最短、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．8．B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟悉并掌握這些結(jié)論是解決此題的關(guān)鍵．解：根據(jù)題意得，，則，連接，，，D是的中點，，，，的中垂線恰好經(jīng)過點D，，，，，，，即，在中，，，即，，中，，，，故答案為：．9．B【分析】當(dāng)時，，求出，由題意可知，，畫出圖形，由題意得垂直平分，垂足為點，當(dāng)點P從運動到點的過程中，，即，不變，得到，由勾股定理求出，，根據(jù)即可得到答案．此題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，用到了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．解：由題意可知，當(dāng)時，，∴，∴，由題意可知，，如圖，垂直平分，垂足為點，

當(dāng)點P從運動到點的過程中，，即，不變，∴，此時，，，∴，即以，，A，B四點組成的四邊形面積為，故選：B10．或或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線，勾股定理．分情況討論是解題的關(guān)鍵．由題意知，分為底，為腰兩種情況求解：設(shè)，則，分①當(dāng)為底，則在的垂直平分線與的交點；②當(dāng)為腰，且時，；當(dāng)為腰，且時，；分別計算求出滿足要求的解即可．解：由題意知，分為底，為腰兩種情況求解：設(shè)，則，①當(dāng)為底，則在的垂直平分線與的交點，∴；②當(dāng)為腰，且時，∴，解得，或（舍去），∴；當(dāng)為腰，且時，∴，解得，或（舍去），∴；綜上所述，點坐標(biāo)為或或，故答案為：或或．11．【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)兩點之間的距離公式求出，最后根據(jù)，即可進行解答．解：∵點A的坐標(biāo)是，點P的坐標(biāo)為，∴，∵軸，點P的坐標(biāo)為，，∴，∵垂直平分，∴，∴，兩邊同時平方得：，整理得：，故答案為：．

【點撥】本題主要考查了兩點之間的距離公式，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線上的點到兩端距離相等．12．/15度【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，進而利用三角形的外角可得，然后利用折疊的性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而進行計算即可解答．解：點在的垂直平分線上，，，是的一個外角，，，由折疊得：，，，，，，故答案為：．13．60【分析】連接，結(jié)合折疊的性質(zhì)證明為等邊三角形，即可獲得答案．解：如下圖，連接，

由折疊的性質(zhì)知，垂直平分，∴，由折疊的性質(zhì)知，，∴，∴為等邊三角形，∴．故答案為：60．【點撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)證明為等邊三角形．14．6【分析】先找出的長，再確定的取得最大值為的長即可．解：∵的垂直平分線交于點N，交于點M，∴，∵的周長是16，，∴的周長，點P在直線上，如圖，連接，，，

∵點P在的垂直平分線上，∴，∴，故的最大值為6，此時點P是直線與直線的交點．故答案為：6．【點撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．3【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，由題意可得四邊形為菱形，由菱形的性質(zhì)可得垂直平分，從而得到，則，當(dāng)、、在同一直線上時，的值最小，為，證明為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，即可得解，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．解：如圖，連接、、，，在四邊形中，，四邊形為菱形，垂直平分，，，當(dāng)、、在同一直線上時，的值最小，為，，，是等邊三角形，為的中點，，點到的距離為3，，的最小值為3，故答案為：3．16．/【分析】延長至點G，使得，連接、、，易證，得到，，利用三角形內(nèi)角和定理，得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到，設(shè)，則，，，再利用勾股定理列方程，求得，即可得到的長．解：如圖，延長至點G，使得，連接、、，

是中點，，在和中，，，，，，，，，，，垂直平分，，設(shè)，在中，，，，，，，在中，，，解得：，，故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式等性質(zhì)，正確作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用勾股定理解方程是解題關(guān)鍵．17．【分析】過點作，由得，再由得四邊形為平行四邊形，再證明≌得，再由可知垂直平分，延長交于，求出、，然后可用平行四邊形的面積減三角形面積可得答案．解：如圖，過點作，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，°，，，，，在與中，，≌（SAS），，，垂直平分，延長交于，，，，，，，，，．垂直平分，=，∴S△AED=S四邊形ABCDS△ABES△CDES△BEC==．故答案為：．【點撥】本題是三角形旋轉(zhuǎn)變換綜合題，主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)以及勾股定理，綜合能力較強．18．【分析】本題主要考查了含角的直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握含角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．先利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后利用等量代換以及線段的和差關(guān)系進行計算即可得到答案，解：，，垂直平分，，．故答案為：．19．或【分析】本題考查勾股定理，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．先由勾股定理求出，然后分兩種情況：①當(dāng)點P在線段上時，②當(dāng)點P在線段延長線上時，分別求出的長即可．解：由勾股定理，得，①當(dāng)點P在線段上時，如圖，

∵，，∴∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得解得：；②當(dāng)點P在線段延長線上時，如圖，在上截取，連接，∵，∴，∵，∴∴，∵，，∴∴∴，由①可得，∴，∴，綜上，線段的長為或．20．（1）見分析；（2）隨著點的移動．的長不會發(fā)生變化，【分析】（1）先證明，，結(jié)合，從而可得結(jié)論；（2）先證明，可得．證明在中．．可得，從而可得結(jié)論．解：（1）證朋：點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為，．是等邊角形，，．又是等邊三角形，，點都在的垂直平分線上，直線是邊的垂直平分線．（2）隨著點的移動．的長不會發(fā)生變化，是等邊三角形．．．即，而，，．是等邊三角形，．．在中．．，，．【點撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，含的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．21．（1）20；（2）見分析；（3）見分析【分析】（1）證明，根據(jù)內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)即可證明；（3）根據(jù)（2）全等的性質(zhì)和線段垂直平分線的判定定理即可證明；解：（1）在中，若，，，在和中，，∴，，，；（2）證明：在和中，∴；（3）證明：∵，∴點A在線段的垂直平分線上，∵，∴點D在線段的垂直平分線上，∴垂直平分線段．【點撥】該題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．22．（1）見分析；（2）的最小值為【分析】本題考查作圖基本作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．（1）作于點，以為圓心，為半徑作弧交于點，點，點即為所求；（2）設(shè)，利用勾股定理，轉(zhuǎn)化的思想解決問題即可．解：（1）如圖，點，點即為所求；（2）設(shè)，過點作于點．，，，，，，，，，欲求的最小值，只要在軸上找一點，使得點到，，的距離和最小即可，如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點，連接，此時的值最小，最小值．的最小值為．23．（1）見分析；（2）①；②見分析；③【分析】（1）根據(jù)，推出，從而結(jié)合“”證明，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)，得出，根據(jù)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；②過點A作于點M，于點N，根據(jù)，得出，，證明，即可證明結(jié)論；③證明，得出，，證明，根據(jù)等腰三角形三線合一得出，，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)，即可求出結(jié)果．解：（1）證明：∵，∴，即：，在和中，∴，∴；（2）解