浙江省溫州新力量聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期溫州新力量聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1.已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.2.在中，“”是“”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件3.已知，向量在上的投影向量的模長是4，則可能為（）A.12B.8C.8D.24.有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），其中，則這塊菜地的面積為（）A.B.C.D.5.已知銳角三邊長分別為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.6.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱.若側(cè)面水平放置時，水面恰好過，的中點(diǎn).那么當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為（）A.7B.6C.4D.37.在中，由下面的條件能得出為鈍角三角形的是（）A.B.C.D.8.在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）9.設(shè)向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則與的夾角為鈍角B.的最小值為2C.與垂直的單位向量只能為D.若，則10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.B.C.D.11.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體非選擇題部分三?填空題：（本大題共3小題，每題5分，共15分）12.在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為__________.13.為了測量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的地測得塔尖的仰角為，沿北偏東前進(jìn)100米到達(dá)地（假設(shè)地和地在海拔相同的地面上），在地測得塔尖的仰角為，則塔高為__________米.14.如圖，在中，為上不同于B，C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則的最小值為__________.四?解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.（本小題滿分13分）已知向量，且.（1）求與；（2）若，求向量的夾角的大小.16.（本小題滿分15分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求面積.17.（本小題滿分15分）求一個棱長為的正四面體的體積，常有如下解法：構(gòu)造一個棱長為1的正方體，我們稱之為該四面體的“生成正方體”（如圖一），則四面體是棱長為的正四面體，四面體的體積.（1）求四面體的體積；（2）模仿（1），對一個已知四面體，構(gòu)造它的“生成平行六面體”，記兩者的體積依次為和，試給出這兩個體積之間的一個關(guān)系式，不必證明；（3）一個相對棱長都相等的四面體，通常稱之為等腰四面體（如圖二），其三組對棱長分別為，，，求此四面體的體積.18.（本小題滿分17分）設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且；（1）求的值以及的實(shí)部的取值范圍；（2）若，求證為純虛數(shù)；（3）在（2）條件下求的最小值.19.（本小題滿分17分）在直角梯形中，已知，對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.（1）求的值；（2）若為線段上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期溫州新力量聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一?單選題12345678CAADABBC二?多選題91011ABACABD三?填空題12.13.5014.1.【答案】C【解析】【分析】本題考查了向量的坐標(biāo)和平移，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.把向量按向量平移后，所得向量的坐標(biāo)不變，即可得出.【解答】解：，把向量按向量平移后，所得向量仍然為.故選：.2.【答案】A【解析】【分析】本題考查充分?必要?充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.由正弦定理知，由，知，所以，反之亦然，故可得結(jié)論.【解答】解：在中，由正弦定理知（為外接圓的半徑），，故.故“”是“”的必要條件；反之，，由正弦定理得，，故“”是“”的充分條件；綜上所述，“”是“”的充要條件.故選：.3.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查向量的數(shù)量積和投影向量，關(guān)鍵是知道向量的數(shù)量積的計(jì)算方法.設(shè)與夾角為，根據(jù)投影向量的模長為4可得，進(jìn)而可得.【解答】解：設(shè)與夾角為，由題意知，則又，.故選.4.【答案】D【解析】【分析】本題考查了斜二測畫法，直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.由所給條件求出，將斜二測直觀圖還原成直角梯形，利用梯形的面積公式即可求解.【解答】解：如圖1所示，過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，，，四邊形是正方形，則，將斜二測直觀圖還原成圖2所示直角梯形，其中，所以這塊菜地的面積為.故選：.5.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.由題意利用余弦定理可得，即可解得的取值范圍.【解答】解：因?yàn)殇J角三邊長分別為，由題意有，解得.故選：.6.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查棱柱的體積.設(shè)三棱柱的底面面積為，高為，則.當(dāng)側(cè)面水平放置時，水的形狀呈直四棱柱形，由于水面恰好經(jīng)過的中點(diǎn)，則直四棱柱的底面積是，求出水的體積，從而可求當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，求出水面的高度.【解答】解：設(shè)三棱柱的底面的面積為，高為，則.當(dāng)側(cè)面水平放置時，水的形狀呈直四棱柱形，由于液面恰好經(jīng)過的中點(diǎn)，則直四棱柱的底面積是直三棱柱底面積的，即直四棱柱的底面積是，水的體積是，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，設(shè)水面高為，則，從而有，，即當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為6.故選.7.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.由平面向量的數(shù)量積判斷；將已知等式兩邊平方即可判斷；由判斷；利用正弦定理即可求解判斷.【解答】解：.因?yàn)椋?，，即角為銳角，角不定，故錯誤；.兩邊平方得，所以，由，得，得，即角為鈍角，故正確；C.由，可得，則，所以角為銳角，故錯誤；，因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以或，則，或，故錯誤；故選.8.【答案】C【解析】【分析】本題考查解三角形中的取值范圍問題的求解，屬較難題.延長交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍.【解答】解：延長交于，如下圖所示：為的重心，為中點(diǎn)，，；在中，；在中，；，即，整理可得：為銳角；設(shè)為鈍角，則，，解得：，，由余弦定理得：，又為銳角，，即的取值范圍為.故選.9.【答案】AB【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模以及單位向量等基本知識，屬于中檔題.根據(jù)向量的數(shù)量積小于0且不共線可判斷；求出向量的模判斷；根據(jù)單位向量的求法判斷；由向量模相等列出方程求解判斷D.【解答】解：當(dāng)時，，且與不共線，則與的夾角是鈍角，所以正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為正確；設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或與垂直的單位向量為或，所以不正確；若，可得：，解得或2，所以不正確；故選：.10.【答案】AC【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡逐個判斷即可.【解答】解：，，對于正確；對于，，因?yàn)椴灰欢ㄏ嗟?，所以不一定相等，錯誤；對于；對于，與不一定相等，錯誤.故選：.11.【答案】ABD【解析】【分析】本題考查正方體內(nèi)接其它幾何體的問題，屬于綜合題.由正方體?球體?四面體?圓柱體的結(jié)構(gòu)特征和棱長?直徑的大小關(guān)系，逐個分析選項(xiàng)可得解.【解答】解：對于：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以直徑為的球體能夠被整體放入正方體內(nèi)，故正確；對于：因?yàn)檎襟w的面對角線長為，且，所以所有棱長均為的四面體能夠被整體放入正方體內(nèi)，故正確；對于：因?yàn)檎襟w的體對角線長為，且，所以底面直徑為，高為的圓柱體不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故不正確；對于：因?yàn)椋芍酌嬲叫尾荒馨瑘A柱的底面圓，如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，，即，解得，且，即故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為所以底面直徑為，高為的圓柱體能夠被整體放入正方體內(nèi)，故正確.故選：.12.【答案】【解析】【分析】本題考查正四棱臺的體積，屬于中檔題.可將正四棱臺補(bǔ)成正四棱錐，然后分析求解即可.【解答】解：如圖，將正四棱臺補(bǔ)成正四棱錐，則，，故，.13.【答案】50【分析】本題考查解三角形的應(yīng)用，畫出圖形，結(jié)合已知條件和正弦定理求解即可.【解答】解：如下圖，設(shè)塔米，由已知有平面米，在中，，在中，，所以在中，由余弦定理有，解得（米）（負(fù)值舍去），故答案為50.14.【答案】【解析】【分析】本題主要考查的是向量的運(yùn)算?共線問題及平面向量基本定理，屬于中檔題.設(shè)，結(jié)合向量的運(yùn)算求出值，再求的最小值即可.【解答】解：不妨設(shè)，，，，，當(dāng)時，有最小值，最小值為.故答案為.15.【答案】解：（1）由，得，解得.由，得，解得所以.（2）因?yàn)?，所以?所以，又.所以向量的夾角為.16.【答案】解：（1）根據(jù)余弦定理，，所以（2）方法一：根據(jù)正弦定理，.，，又，則，.方法二：，，，即，，，.17.【答案】解：（1）.（2）設(shè)生成平行六面體的底面積為，高為，則其體積為，則則，即.（3）如圖，構(gòu)造該四面體的“生成長方體”，設(shè)棱長分別為，，，則有，解得：.則有.18.【答案】解：（1）由題意，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，即所以，故的?shí)部的取值范圍；（2）由（1）可知，，因?yàn)?，所以，所以為純虛?shù)；（3）由（1）（2）知所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，所以時取等號，故的最小值為1