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文檔簡介

§3.5齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)說明2．維向量的集合是一個向量空間,記作.一、向量空間的概念定義1設為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉，那么就稱集合為向量空間．1．集合對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指例1

判別下列集合是否為向量空間.解例2

判別下列集合是否為向量空間.解定義2

設有向量空間及，若向量空間，就說是的子空間．實例設是由維向量所組成的向量空間，那末，向量組就稱為向量的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．二、向量空間的基與維數(shù)定義3

設是向量空間，如果個向量，且滿足

（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基．說明

（3）若向量組是向量空間的一個基，則可表示為

（2）若把向量空間看作向量組，那末的基就是向量組的最大無關(guān)組,的維數(shù)就是向量組的秩.１．解向量的概念設有齊次線性方程組若記（1）三、齊次線性方程組解的性質(zhì)則上述方程組（1）可寫成向量方程若為方程的解，則

稱為方程組(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.證明（2）若為的解，為實數(shù)，則也是的解．證明

由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．證畢.１．基礎(chǔ)解系的定義四、基礎(chǔ)解系及其求法２．線性方程組基礎(chǔ)解系的求法設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，并不妨設的前個列向量線性無關(guān)．于是可化為現(xiàn)對取下列組數(shù)：依次得從而求得原方程組的個解：下面證明是齊次線性方程組解空間的一個基．由于個維向量線性無關(guān)，所以個維向量亦線性無關(guān).由于是的解故也是的解.

所以是齊次線性方程組解空間的一個基.說明１．解空間的基不是唯一的．２．解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系．３．若是的基礎(chǔ)解系，則其通解為

定理1例1

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃?，有?

解線性方程組解對系數(shù)矩陣施行初等行變換即方

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