2023-2024學(xué)年北京十三中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京十三中高二（上）期中數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1頁至第2頁；第Ⅱ卷第2頁至第4頁，答題紙第1頁至第3頁.共150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上側(cè)密封線內(nèi)書寫班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào).考試結(jié)束后，將本試卷的答題紙交回.第I卷（選擇題共40分）一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知向量，則的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.平行 C.異面 D.不確定3.已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.4.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切5.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A.0 B.2或-1 C.0或-3 D.-36.已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A.0 B.1 C.2 D.37.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值為A. B. C.或 D.或8.如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值不可能是（）A. B. C. D.19.已知方程，對(duì)于該方程所表示的曲線給出下列結(jié)論，結(jié)論正確的是（）A.曲線僅有兩條對(duì)稱軸B.曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)C.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離不小于D.曲線圍成的封閉圖形面積不超過210.已知兩點(diǎn)，，若直線上至少存在三個(gè)點(diǎn)，使得是直角三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二?填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分.）11.已知，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是___________.12.經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為___________.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，2，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_________14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則直線與所成角的大小是___．15.已知，以為斜邊的直角，其頂點(diǎn)的軌跡方程為___________.16.已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是___________；若與圓相切，則___________.17.已知四棱錐的高為1，和均是邊長為的等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：①四棱錐可能為正四棱錐；②空間中一定存在到，，，，距離都相等的點(diǎn)；③可能有平面平面；④四棱錐的體積的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三?解答題：（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.已知圓過原點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程.20.如圖，四邊形為梯形，，四邊形為平行四邊形．（1）求證：∥平面；（2）若平面，求：（?。┲本€與平面所成角的正弦值；（ⅱ）點(diǎn)D到平面的距離．21.如圖，在長方體中，AD=1，，H，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).（1）判斷直線HF與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求直線HF與平面ABCD所成角的正弦值；（3）在線段HF上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面的距離是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22.已知圓為過點(diǎn)且斜率為的直線.（1）若與圓相切，求直線的方程；（2）若與圓相交于不同的兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？若存在，求的值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案第I卷（選擇題共40分）一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.）1.【答案】A【分析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為，又因?yàn)椋?故選：A2.【答案】A【分析】計(jì)算，可知，得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，所以，故選：A.3.【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率公式結(jié)合已知直線的方向向量可以直接求出直線的斜率.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率為.故選：B4.【答案】B【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷.【詳解】由題意，圓，則圓心，半徑，圓，則圓心,半徑，所以兩圓圓心距，所以兩圓外切.故選：B.5.【答案】C【分析】由，結(jié)合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.6.【答案】C【分析】首先求出圓心到直線的距離，再減去半徑，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：C.7.【答案】C【詳解】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)與半徑R，可得出AB，求出AB的長，圓心到直線y=﹣x+a的距離為AB的一半，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到實(shí)數(shù)a的值．詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=2，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=2，∴a=±2．故答案為C．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理和垂徑定理.8.【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出與平面所成角的余弦值范圍，即可得出正弦值的范圍.【詳解】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)棱長為1，則，設(shè)，所以，平面的法向量為，所以則與平面所成角的正弦值取值范圍為.對(duì)比各選項(xiàng)，C項(xiàng)不可能.故選：C9.【答案】D【分析】根據(jù)知曲線有四條對(duì)稱軸可判斷A；根據(jù)判斷整點(diǎn)在曲線上的個(gè)數(shù)可判斷B；根據(jù)曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可判斷C；判斷曲線在第一象限位于的下方，同理可得在其他三個(gè)象限的情況，從而得到曲線在以為邊長的正方形的內(nèi)部可判斷D.【詳解】由知，，對(duì)于A，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，即有四條對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，且在范圍內(nèi)的整點(diǎn)有，，，，，，，，，滿足的有，，，共四個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在曲線上，而到原點(diǎn)的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，，即，同理可得，，，即曲線在四條直線，，，所圍成的封閉圖形的內(nèi)部，即曲線在邊長為的正方形的內(nèi)部，曲線圍成的圖形的面積，故D正確.故選：D.10.【答案】B【分析】由于直線恒過點(diǎn)，所以可得，而當(dāng)為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)一定存在，所以要使為直角，只要直線與圓至少有一個(gè)交點(diǎn)，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)闃?gòu)成三角形，且直線恒過點(diǎn)，所以三點(diǎn)不共線，即，顯然，當(dāng)或?yàn)橹苯菚r(shí)，在直線上一定存在點(diǎn)，若至少存在三個(gè)點(diǎn)使是直角三角形，即至少存在一個(gè)點(diǎn)，使為直角，即直線與圓至少有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得，即且，.故選：B第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二?填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分.）11.【答案】【分析】由中點(diǎn)公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，即中點(diǎn)為.故答案為：12.【答案】【分析】由題可設(shè)直線方程為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)即得.【詳解】由題可設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)，可得，即，所以經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.故答案為：.13.【答案】，，【分析】利用空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系直接求解即可【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，2，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，，．故答案為：，，．14.【答案】【分析】利用空間向量求夾角公式直接求解.【詳解】又空間中兩直線夾角范圍為，故所以直線與所成角的大小是故答案為：15.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由勾股定理得到等式，化簡后除去曲線與軸的交點(diǎn)得答案.【詳解】設(shè)，則，即，整理得：∵三點(diǎn)構(gòu)成三角形，∴.∴頂點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.16.【答案】①.②.【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算求得,進(jìn)而可得的取值范圍；若與圓相切，利用勾股定理計(jì)算即可求得的值.【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)化為，圓心，半徑，，則，所以的取值范圍是，當(dāng)與圓相切時(shí)，可知.故答案為：；17.【答案】①②④【分析】對(duì)①，分析當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)是否滿足條件即可；對(duì)②，設(shè)四棱錐的高為，分析可得點(diǎn)滿足；對(duì)③，假設(shè)平面平面，再推導(dǎo)得出矛盾即可判斷；對(duì)④，設(shè)，得出四棱錐的體積表達(dá)式再求解即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，又因?yàn)楹途沁呴L為的等邊三角形，易得，且對(duì)①，當(dāng)時(shí)，底面為正方形，且為底面中心，此時(shí)四棱錐可能為正四棱錐，故①正確；對(duì)②，，故一定存在到，，，，距離都相等的點(diǎn)，故②正確；對(duì)③，當(dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)椋势矫?，此時(shí)，又因?yàn)?，此時(shí)重合，不滿足題意，③錯(cuò)誤；對(duì)④，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，故④正確故答案為：①②④三?解答題：（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證四點(diǎn)共面，再證明，由線線平行得到線面平行.（2）建系，分別求出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量，代入二面角的向量公式求出即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以在三棱柱中，.所以四點(diǎn)共面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.所以四邊形為平行四邊形.所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?【小問2詳解】由題設(shè)平面，所以.因?yàn)?，所以兩兩垂?如圖建立空間直角坐標(biāo)系.所以..平面的一個(gè)法向量是，設(shè)平面的法向量為，則即令，則.于是，設(shè)二面角的平面角為，則，由圖可知為銳角，所以.19.【答案】（1）（2）或【分析】（1）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，由已知列出方程，求得，進(jìn)而求得半徑，即可得出結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線的斜率即可得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為.依題意，在，解得從而圓的半徑為，所以圓的方程為.【小問2詳解】依題意，圓C的圓心到直線的距離為4顯然直線符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即所以解得，所以直線的方程為綜上，直線的方程為或.20.【答案】（1）見解析；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）在射線上取點(diǎn),使，證明四邊形為平行四邊形，則，則根據(jù)線面平行的判定即可得到；（2）以為原點(diǎn)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量，計(jì)算出平面的法向量為，則可計(jì)算出線面角的正弦值；（3）因?yàn)?根據(jù)（2）的結(jié)論則得到距離.【小問1詳解】如圖,在射線上取點(diǎn),使,連接.由題設(shè),得,所以四邊形為平行四邊形.所以且.又四邊形為平行四邊形,所以且.所以且..所以四邊形為平行四邊形,所以.因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫?【小問2詳解】（i）因?yàn)槠矫?平面，所以.又,所以,,兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則.所以.設(shè)平面的法向量為,則即令,則.于是.設(shè)直線與平面所成角為,則所以直線與平面所成角的正弦值為.（ii）因?yàn)?所以直線與平面所成角的正弦值為.所以點(diǎn)到平面的距離為21.【答案】（1）面，證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析.【分析】（1）為的交點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)、線面平行判定即可證面.（2）由（1）只需求與面ABCD所成角的正弦值，根據(jù)已知條件求值即可.（3）由（1）知HF上任意一點(diǎn)到面的距離都相等，只需求到面的距離，利用長方體的結(jié)構(gòu)特征求距離即可.【小問1詳解】若為的交點(diǎn)，連接，又H，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，由長方體的結(jié)構(gòu)特征知：且，故為平行四邊形，所以，面，面，則面.【小問2詳解】由（1）知：HF與面ABCD所成角，即為與面ABCD所成角，長方體中，到面ABCD的距離為，，所以與面ABCD所成角正弦值為，即HF與面ABCD所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（1）知：面，即HF上任意一點(diǎn)到面的距離都相等，所以只需求到面的距離，而到面的距離為，所以到面的距離，故HF上不存在Q，使得Q到平面的距離是.22