2024屆綿陽(yáng)中學(xué)招生全國(guó)統(tǒng)一考試考試說(shuō)明跟蹤卷(七)數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2024屆綿陽(yáng)中學(xué)招生全國(guó)統(tǒng)一考試考試說(shuō)明跟蹤卷(七)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線(xiàn)x26-y23=1的漸近線(xiàn)與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.62.已知集合,,則()A. B. C. D.3.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿(mǎn)足A∪C=B的集合C的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.14.已知平面向量,滿(mǎn)足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問(wèn)物幾何?”人們把此類(lèi)題目稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問(wèn)題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.6.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.7.下列不等式成立的是()A. B. C. D.8.設(shè)平面與平面相交于直線(xiàn),直線(xiàn)在平面內(nèi),直線(xiàn)在平面內(nèi),且則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分不必要條件9.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q10.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.11.下列選項(xiàng)中,說(shuō)法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿(mǎn)足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件12.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為,,其中焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合,且橢圓與拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)連線(xiàn)正好過(guò)點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),則______.14.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線(xiàn)、圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線(xiàn)段之間有一觀察站點(diǎn),到直線(xiàn),的距離分別為8百米、1百米,則觀察點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和的最小值為_(kāi)_____________百米.15.已知數(shù)列滿(mǎn)足:點(diǎn)在直線(xiàn)上,若使、、構(gòu)成等比數(shù)列,則______16.某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的卡片中隨機(jī)摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機(jī)摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金.若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)中的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.18.(12分)如圖,在直角中,,,,點(diǎn)在線(xiàn)段上.(1)若,求的長(zhǎng);(2)點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn),,且,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,求的最小值.20.(12分)己知圓F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圓F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.(1)證明:圓F1與圓F1有公共點(diǎn),并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程;(1)已知點(diǎn)Q(m,0)(m<0),過(guò)點(diǎn)E斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)與(Ⅰ)中軌跡E相交于M,N兩點(diǎn),記直線(xiàn)QM的斜率為k1,直線(xiàn)QN的斜率為k1,是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k1)為定值?若存在,求出m的值,若不存在,說(shuō)明理由.21.(12分)如圖,在三棱柱中,,,,為的中點(diǎn),且.(1)求證:平面;(2)求銳二面角的余弦值.22.(10分)追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;(ii)試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元?說(shuō)明你的理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由圓心到漸近線(xiàn)的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線(xiàn)的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

求出集合,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿(mǎn)足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.4、C【解析】

根據(jù),兩邊平方,化簡(jiǎn)得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚瑵M(mǎn)足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】從21開(kāi)始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿(mǎn)足條件的是23,故選C.6、A【解析】

構(gòu)造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡(jiǎn)不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞減,,錯(cuò)誤;對(duì)于,,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.8、A【解析】

試題分析:α⊥β,b⊥m又直線(xiàn)a在平面α內(nèi),所以a⊥b,但直線(xiàn)不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件,故選A.考點(diǎn):充分條件、必要條件.9、B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯(cuò)誤,則?p是正確的;在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。10、D【解析】

由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿(mǎn)足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿(mǎn)足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿(mǎn)足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿(mǎn)足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.12、B【解析】

根據(jù)題意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【詳解】易知,且故有,則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì),考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由自變量所在定義域范圍,代入對(duì)應(yīng)解析式,再由對(duì)數(shù)加減法運(yùn)算法則與對(duì)數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加,即為答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),則因?yàn)?,則故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值,屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

建系,將直線(xiàn)用方程表示出來(lái),再用參數(shù)表示出線(xiàn)段的長(zhǎng)度,最后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別作為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則.設(shè)直線(xiàn),即,則,所以,所以,,則,則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最短,此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.15、13【解析】

根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)上可求得,由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上,,成等比數(shù)列,,即,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問(wèn)題,涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、20.2【解析】

分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列,根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)a,b∈{1,2,1,4,5},則p(ξ1=a),其ξ1分布列為:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分別為:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案為:2,0.2.【點(diǎn)睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)10【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計(jì)算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡(jiǎn)得,,解得或(負(fù)值舍去),,,,,,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查了二倍角公式的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)3;(2).【解析】

(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程組即可.【詳解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因?yàn)?,所以,解?在中,由余弦定理得,,即,,故.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.19、(1)(2)【解析】分析:(1)先求導(dǎo),再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解:(1)由函數(shù)有意義,則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間,則在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有兩個(gè)極值點(diǎn)故為方程的兩根,,,則由由,則上單調(diào)遞減,即由知綜上所述,的最小值為.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點(diǎn)有兩個(gè),其一是求出,其二是構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.20、(1)見(jiàn)解析,(1)存在,【解析】

(1)求出圓和圓的圓心和半徑,通過(guò)圓F1與圓F1有公共點(diǎn)求出的范圍,從而根據(jù)可得點(diǎn)的軌跡,進(jìn)而求出方程;(1)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)方程為,設(shè),,聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及,,可得,根據(jù)其為定值,則有,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,因?yàn)閳A的半徑為,圓的半徑為,又因?yàn)?,所以,即,所以圓與圓有公共點(diǎn),設(shè)公共點(diǎn)為,因此,所以點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,所以,,,即軌跡的方程為;(1)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)方程為,設(shè),由消去得到,則,,①因?yàn)?,,所以,將①式代入整理得因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),即時(shí),.即存在實(shí)數(shù)使得.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定理求橢圓方程,考查橢圓中的定值問(wèn)題,靈活應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算是關(guān)鍵,并且觀察出取定值的條件也很重要,考查了學(xué)生分析能力和計(jì)算能力,是中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)證明后可得平面,從而得,結(jié)合已知得線(xiàn)面垂直;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,為軸,為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),求出二面角的面的法向量,由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)?,為中點(diǎn),所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,兩兩垂直,所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,為軸,為

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