舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題1.12 集合與常用邏輯用語 全章綜合測(cè)試卷-提高篇（含答案及解析）

第1章集合與常用邏輯用語全章綜合測(cè)試卷-提高篇【人教A版2019】考試時(shí)間：90分鐘；滿分：150分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時(shí)90分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022?象山區(qū)校級(jí)一模）“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）（2022?聊城二模）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）（2022?南開區(qū)三模）設(shè)全集為U＝{1，2，3，4，5，6}，?UA＝{2，3，5}，B＝{2，5，6}，則A∩（?UB）＝（）A．{1，4} B．{2，5} C．{6} D．{1，3，4，6}4．（5分）（2022?興慶區(qū)校級(jí)二模）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{3，4，5} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{4，5}5．（5分）（2022春?湖北月考）已知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，非空集合A滿足A?B，A?C，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．86．（5分）（2021秋?太原期末）已知命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（?94，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣2，7．（5分）（2021秋?贛州期末）已知p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）8．（5分）（2021秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；③命題“?x∈R，x2+2x+1≤0”的否定為“?x∈R，x2+2x+1≤0”；④命題“a＞b是ac2＞bc2的必要條件”是真命題．A．0 B．1 C．2 D．3二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2020秋?如皋市期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，則A∩B＝?的一個(gè)充分不必要條件是（）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣310．（5分）（2021秋?遼源期末）下列存在量詞命題中，為真命題的是（）A．?x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0 B．至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除 C．?x∈R，|x|＜0 D．有些自然數(shù)是偶數(shù)11．（5分）設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中正確的是（）A．（?IA）∪B＝I B．（?IA）∪（?IB）＝I C．A∩（?IB）＝? D．（?IA）∩（?IB）＝?IB12．（5分）（2021秋?遼寧月考）已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列說法正確的是（）A．不存在實(shí)數(shù)a使得A?B B．當(dāng)a＝4時(shí)，B?A C．當(dāng)B?（?RA）時(shí)，a的取值范圍是a≥2 D．當(dāng)2＜a＜3時(shí)，B?A三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2021秋?薌城區(qū)校級(jí)期末）命題“?x∈R，x≥1或x＞2”的否定是．14．（5分）（2021秋?溫州校級(jí)期中）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，則（?RA）∩B＝．若A?C，則a的取值范圍是．15．（5分）（2021秋?西寧期末）已知集合A＝{y|y＝x2?32x+1，x∈[34，2]}，B＝{x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為16．（5分）（2021?順義區(qū)二模）已知全集為U，P?U，定義集合P的特征函數(shù)為fP(x)=1，x∈P0，x∈C①對(duì)?x∈U，有f?U②對(duì)?x∈U，若A?B，則fA（x）≤fB（x）；③對(duì)?x∈U，有fA∩B（x）＝fA（x）?fB（x）；④對(duì)?x∈U，有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2021秋?廣平縣校級(jí)期中）判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：（1）?x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；（3）?x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直．18．（12分）（2021秋?龍海市校級(jí)期中）已知p：A＝{x||2x+1|≤3}，q：B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．（12分）設(shè)A＝{a+2b||a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z}甲：x∈A且y∈A乙：xy∈A丙：1x∈求證：甲分別是乙和丙的充分條件．20．（12分）（2022?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）集合A＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n+3，n∈Z}（1）若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立？（2）對(duì)于任意a∈A，b∈B，是否一定有（a+b）∈C？請(qǐng)證明你的結(jié)論．21．（12分）（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）給定數(shù)集A．若對(duì)于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合．（Ⅰ）判斷集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否為閉集合，并給出證明；（Ⅱ）若集合A，B為閉集合，則A∪B是否一定為閉集合？請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）若集合A，B為閉集合，且A?R，B?R．證明：（A∪B）?R．22．（12分）（2021秋?臨沂期中）在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；③A∩B＝?這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求A∪B；A∩（?RB）；（2）若______，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第1章集合與常用邏輯用語全章綜合測(cè)試卷-提高篇參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022?象山區(qū)校級(jí)一模）“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用充要條件的定義，可求得答案．【解答過程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分條件，由m≥﹣2不能夠推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要條件，綜上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要條件，故選：A．2．（5分）（2022?聊城二模）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】由集合B中元素滿足的條件，分類討論確定B中的元素，即可求解．【解答過程】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，∴當(dāng)a＝0，b＝0，1，2時(shí)，ab＝0，當(dāng)a＝1，b＝0，1，2時(shí)，ab＝0，1，2，當(dāng)a＝2，b＝0，1，2時(shí)，ab＝0，2，4，∴集合B＝{0，1，2，4}，∴集合B中元素個(gè)數(shù)為4．故選：C．3．（5分）（2022?南開區(qū)三模）設(shè)全集為U＝{1，2，3，4，5，6}，?UA＝{2，3，5}，B＝{2，5，6}，則A∩（?UB）＝（）A．{1，4} B．{2，5} C．{6} D．{1，3，4，6}【解題思路】根據(jù)已知條件，先求出A集合，再結(jié)合補(bǔ)集、交集的運(yùn)算法則，即可求解．【解答過程】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，?UA＝{2，3，5}，∴A＝{1，4，6}，∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，5，6}，∴?UB＝{1，3，4}，∴A∩（?UB）＝{1，4}．故選：A．4．（5分）（2022?興慶區(qū)校級(jí)二模）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{3，4，5} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{4，5}【解題思路】由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），再利用集合的基本運(yùn)算即可求解．【解答過程】解：由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，∴?RB＝{x|≥3}，∴A∩（?RB）＝{3，4，5}，故選：A．5．（5分）（2022春?湖北月考）已知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，非空集合A滿足A?B，A?C，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8【解題思路】先求出B∩C，根據(jù)非空集合A滿足A?B，A?C，即可得出A．【解答過程】解：由集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，B∩C＝{4，5}，∵非空集合A滿足A?B，A?C，∴A＝{4}，{5}，{4，5}．∴符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為3．故選：A．6．（5分）（2021秋?太原期末）已知命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（?94，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣2，【解題思路】命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題等價(jià)于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x2﹣3x求最大值代入極即可．【解答過程】解：命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題等價(jià)于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，令f（x）＝x2﹣3x，x∈[﹣1，1]，則等價(jià)于a＞f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴a＞﹣2，故選：D．7．（5分）（2021秋?贛州期末）已知p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解題思路】由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件，可知[﹣1，1]?（﹣∞，a），以此可解決此題．【解答過程】解：由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件，可知[﹣1，1]?（﹣∞，a），∴a＞1．故選：C．8．（5分）（2021秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；③命題“?x∈R，x2+2x+1≤0”的否定為“?x∈R，x2+2x+1≤0”；④命題“a＞b是ac2＞bc2的必要條件”是真命題．A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題否定的求法，分析選項(xiàng)，即可得答案．【解答過程】解：對(duì)于①：命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：命題““?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；故②正確；對(duì)于③：命題p：?x∈R，x2+2x+1≤0，則￢p：?x∈R，x2+2x+1＞0，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式兩邊同除以c2便得到a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要條件；④正確；即正確的有2個(gè)，故選：C．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2020秋?如皋市期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，則A∩B＝?的一個(gè)充分不必要條件是（）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3【解題思路】根據(jù)充分不必要條件與集合包含關(guān)系之間的聯(lián)系即可求解．【解答過程】解：設(shè)A∩B＝?的一個(gè)充分不必要條件是p，p對(duì)應(yīng)的集合為C，當(dāng)A∩B＝?時(shí)，m+1≤﹣1，解得m≤﹣2，所以C?（﹣∞，﹣2]因此滿足條件的選項(xiàng)為B，D．故選：BD．10．（5分）（2021秋?遼源期末）下列存在量詞命題中，為真命題的是（）A．?x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0 B．至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除 C．?x∈R，|x|＜0 D．有些自然數(shù)是偶數(shù)【解題思路】選項(xiàng)A：解出方程的解即可判斷；選項(xiàng)B：舉特例如6即可判斷求解；選項(xiàng)C：根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用即可判斷；選項(xiàng)D：舉特例如2，4，即可判斷．【解答過程】解：選項(xiàng)A：因?yàn)榉匠蘹2﹣2x﹣3＝0的兩根為3和﹣1，所以x∈Z，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?能同時(shí)被2和3整除，且6∈Z，故B正確；選項(xiàng)C：根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|x|≥0恒成立，不存在x滿足|x|＜0，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：2，4等既是自然數(shù)又是偶數(shù)，故D正確；故選：ABD．11．（5分）設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中正確的是（）A．（?IA）∪B＝I B．（?IA）∪（?IB）＝I C．A∩（?IB）＝? D．（?IA）∩（?IB）＝?IB【解題思路】先畫出韋恩圖，據(jù)圖判斷各答案的正確性，或者利用特殊元素法．【解答過程】解一：∵A、B、I滿足A?B?I，先畫出文氏圖，根據(jù)韋恩圖可判斷出A、C、D都是正確的，解二：設(shè)非空集合A、B、I分別為A＝{1}，B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且滿足A?B?I．根據(jù)設(shè)出的三個(gè)特殊的集合A、B、I可判斷出A、C、D都是正確的，故選：ACD．12．（5分）（2021秋?遼寧月考）已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列說法正確的是（）A．不存在實(shí)數(shù)a使得A?B B．當(dāng)a＝4時(shí)，B?A C．當(dāng)B?（?RA）時(shí)，a的取值范圍是a≥2 D．當(dāng)2＜a＜3時(shí)，B?A【解題思路】當(dāng)a＝﹣10時(shí)可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)a＝4時(shí)，化簡(jiǎn)B＝?，故選項(xiàng)B正確；由B?（?RA）知A∩B＝?，從而分三類討論解不等式即可；由2＜a＜3知B＝?，故選項(xiàng)D正確．【解答過程】解：當(dāng)a＝﹣10時(shí)，B＝{x|﹣15＜x＜21}，故A?B，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)a＝4時(shí)，B＝{x|﹣1＜x＜﹣7}＝?，故B?A，故選項(xiàng)B正確；∵B?（?RA），∴A∩B＝?，∴a﹣5≥1﹣2a或﹣3≤a﹣5＜1﹣2a或a﹣5＜1﹣2a≤﹣7，解得，a≥2，故選項(xiàng)C正確；∵2＜a＜3，∴a﹣5＞1﹣2a，∴B＝?，B?A，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2021秋?薌城區(qū)校級(jí)期末）命題“?x∈R，x≥1或x＞2”的否定是?x∈R，x＜1．【解題思路】根據(jù)含有量詞的命題的否定，即可得到命題的否定．【解答過程】解：特稱命題的否定是全稱命題，∴命題“?x∈R，x≥1或x＞2”的等價(jià)條件為：“?x∈R，x≥1”，∴命題的否定是：?x∈R，x＜1．故答案為：?x∈R，x＜1．14．（5分）（2021秋?溫州校級(jí)期中）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，則（?RA）∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}．若A?C，則a的取值范圍是a≥7．【解題思路】由A及全集R求出A的補(bǔ)集，找出A補(bǔ)集與B的交集即可；根據(jù)A為C的子集，確定出a的范圍即可．【解答過程】解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，∴?RA＝{x|x＜3或x≥7}，∴（?RA）∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}，∵A?C，∴a的范圍是a≥7，故答案為：{2＜x＜3或7≤x＜10}；a≥7.15．（5分）（2021秋?西寧期末）已知集合A＝{y|y＝x2?32x+1，x∈[34，2]}，B＝{x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【解題思路】直接利用充分條件和必要條件，恒成立問題，不等式的解法的應(yīng)用求出參數(shù)m的值．【解答過程】解：對(duì)于集合A＝{y|y＝x2?32x+1，x∈[34故y=(x?34)2+716，由于x由于“x∈A”是“x∈B”的充分條件，所以m2≥（1﹣x）max恒成立；即m2整理得m的取值范圍為m∈(故答案為：(?16．（5分）（2021?順義區(qū)二模）已知全集為U，P?U，定義集合P的特征函數(shù)為fP(x)=1，x∈P0，x∈C①對(duì)?x∈U，有f?U②對(duì)?x∈U，若A?B，則fA（x）≤fB（x）；③對(duì)?x∈U，有fA∩B（x）＝fA（x）?fB（x）；④對(duì)?x∈U，有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是①、②、③．【解題思路】利用特殊值法，先設(shè)出特殊的集合U，A，B，然后再驗(yàn)證判斷四個(gè)命題的真假即可得出答案．【解答過程】解：利用特殊值法進(jìn)行求解．設(shè)U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{1，2}．那么：對(duì)于①有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，f?UA（1）＝0，f?UA（2）＝1，f?對(duì)于②有fA（1）＝1＝fB（1），fA（2）＝0＜fB（2）＝1，fA（3）＝fB（3）＝0可知②正確；對(duì)于③有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∩B（1）＝1，fA∩B（2）＝0，fA∩B（3）＝0．可知③正確；對(duì)于④有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∪B（1）＝1，fA∪B（2）＝1，fA∪B（3）＝0可知．④不正確；故答案為：①、②、③．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2021秋?廣平縣校級(jí)期中）判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：（1）?x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；（3）?x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直．【解題思路】（1）全稱命題，為假命題．（2）全稱命題，為假命題．（3）特稱命題，假命題．（4）特稱命題真命題．【解答過程】解：（1）全稱命題，當(dāng)x＝0時(shí)，結(jié)論不成立，所以為假命題．命題的否定：?x∈N，x3≤x2（2）全稱命題，所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0或5；為假命題．命題的否定：存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不都是0；（3）特稱命題，x02﹣x0+1=(x0?12)2+34≥34，所以結(jié)論不成立，為假命題．命題的否定：（4）特稱命題，菱形的對(duì)角線互相垂直，真命題．命題的否定：任意的四邊形，它的對(duì)角線不互相垂直．18．（12分）（2021秋?龍海市校級(jí)期中）已知p：A＝{x||2x+1|≤3}，q：B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】由p：|2x+1|≤3?﹣2≤x≤1，由￢p是￢q的充分不必要條件，可得q是p的充分不必要條件，分類討論即可得出．【解答過程】解：由p：|2x+1|≤3?﹣2≤x≤1，由q可得：1﹣m≤x≤1+m，因?yàn)椹Vp是￢q的充分不必要條件，所q是p的充分不必要條件，當(dāng)m＜0，此時(shí)1﹣m＞1+m，m＜0．當(dāng)m≥0時(shí)，1﹣m≤x≤1+m，且﹣2≤1﹣m，且1+m≤1，解得m＝0．∴m≤0．19．（12分）設(shè)A＝{a+2b||a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z}甲：x∈A且y∈A乙：xy∈A丙：1x∈求證：甲分別是乙和丙的充分條件．【解題思路】根據(jù)元素之間的關(guān)系，利用充分條件的定義進(jìn)行推理即可．【解答過程】解：設(shè)x＝a+2b，y＝c+2d，則|a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z，|c2﹣2d2|＝1，c，d則xy＝（a+2b）（c+2d）＝（ac+2bd）+2（bc∵（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2＝（a2﹣2b2）（c2﹣2d2），a，b，c，d∈Z，∴|（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2|＝|（a2﹣2b2）（c2﹣2d2）|＝1，a，b，c，d∈Z，即xy∈A，1x∵|a2﹣2b2|＝1，∴若a2﹣2b2＝1，則1x若a2﹣2b2＝﹣1，則1x∴甲分別是乙和丙的充分條件．20．（12分）（2022?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）集合A＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n+3，n∈Z}（1）若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立？（2）對(duì)于任意a∈A，b∈B，是否一定有（a+b）∈C？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【解題思路】根據(jù)已知條件知：若a∈A，b∈B，則一定存在n1，n2∈z，使得a＝3n1+1，b＝3n2+1，所以a+b＝3（n1+n2）+3．而集合M的元素需滿足：x＝6n+3＝3?2n+3，顯然n1+n2不一定等于2n，所以不一定有a+b＝c且c∈C．【解答過程】解：（1）∵a∈A，b∈B；∴分別存在n1，n2∈z使得：a＝3n1+1，b＝3n2+2；∴a+b＝3（n1+n2）+3；而集合M中的條件是：x＝6n+3＝3?2n+3，∴n1+n2＝2n，存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立；（2）要使a+b∈C，則n1+n2＝2n，這顯然不一定；∴不一定有a+b＝c且c∈C．21．（12分）（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）給定數(shù)集A．若對(duì)于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合．（Ⅰ）判斷集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否為閉集合，并給出證明；（Ⅱ）若集合A，B為閉集合，則A∪B是否一定為閉集合？請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）若集合A，B為閉集合，且A?R，B?R．證明：（A∪B）?R．【解題思路】（Ⅰ）根據(jù)新定義進(jìn)行判斷，顯然4+4＝8?A，所以A不為閉集合和利用定義證明；（Ⅱ）先依據(jù)新定義判斷出結(jié)論，再根據(jù)定義說明理由；（Ⅲ）直接證明比較困難，因此運(yùn)用反證法證明．【解答過程】解：（I）因?yàn)?∈A，但是4+4＝8?A，所以，A不為閉集合；任