黑龍江省齊齊哈爾十一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

黑龍江省齊齊哈爾十一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知平面向量,且,向量滿足,則的最小值為()A. B.C. D.2.已知三棱錐O—ABC,點M,N分別為線段AB,OC的中點,且,,,用,,表示,則等于()A. B.C. D.3.等比數(shù)列,,,成公差不為0的等差數(shù)列,,則數(shù)列的前10項和()A. B.C. D.4.不等式的解集為()A. B.C. D.5.與空間向量共線的一個向量的坐標(biāo)是()A. B.C. D.6.已知數(shù)列滿足,,則()A. B.C.1 D.27.若(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8.?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線稱為歐拉線.已知的頂點,,若其歐拉線的方程為,則頂點的坐標(biāo)為()A. B.C. D.9.直線的傾斜角為()A. B.C. D.10.若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),則m的取值范圍()A. B.C. D.11.已知數(shù)列滿足,,,前項和()A. B.C. D.12.已知點在拋物線:上,則的焦點到其準(zhǔn)線的距離為()A. B.C.1 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.橢圓C:的左、右焦點分別為,,點A在橢圓上,,直線交橢圓于點B,,則橢圓的離心率為______14.如圖,在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中,點P,Q分別是棱BC,CD上的動點,BC=4,CD=3,CC'=2,直線CC'與平面PQC'所成的角為30°,則△PQC'的面積的最小值是__15.已知兩平行直線與間的距離為3,則C的值是________.16.已知直線與圓相切,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某初中學(xué)校響應(yīng)“雙減政策”,積極探索減負(fù)增質(zhì)舉措,優(yōu)化作業(yè)布置,減少家庭作業(yè)時間.現(xiàn)為調(diào)查學(xué)生的家庭作業(yè)時間,隨機(jī)抽取了名學(xué)生,記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間(單位:分鐘),將其分為,,,,,六組,其頻率分布直方圖如下圖:(1)求的值,并估計這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)(中位數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù));(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行“雙減政策”情況訪談,再從訪談的學(xué)生中選取名學(xué)生進(jìn)行成績跟蹤,求被選作成績跟蹤的名學(xué)生中,第三組和第五組各有名的概率18.(12分)在中,角、、所對的邊分別為、、,且(1)求證;、、成等差數(shù)列;(2)若,的面積為,求的周長19.(12分)如圖,正方體的棱長為2,點為的中點.(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求點到平面的距離.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=1時,對于任意的,,都有恒成立,則m的取值范圍.21.(12分)如圖1,在中,,,,分別是,邊上的中點,將沿折起到的位置,使,如圖2(1)求點到平面的距離;(2)在線段上是否存在一點,使得平面與平面夾角的余弦值為.若存在,求出長;若不存在,請說明理由22.(10分)已知圓,直線的斜率為2,且過點(1)判斷與的位置關(guān)系;(2)若圓,求圓與圓的公共弦長

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題設(shè)可得,又,易知,,將問題轉(zhuǎn)化為平面點線距離關(guān)系:向量的終點為圓心,1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短,即可求的最小值.【詳解】解:∵,而,∴,又,即,又,,∴,若,則,∴在以為圓心,1為半徑的圓上,若,則,∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點時,使最小,又,∴當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且時,最小為.故選:B.【點睛】關(guān)鍵點點睛:由已知確定,,構(gòu)成等邊三角形,即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到射線的距離最短問題.2、A【解析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計算.【詳解】.故選:A3、C【解析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為,結(jié)合條件可知,由等差中項可知,利用等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行化簡求出,最后利用分組求和法,以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式,即可求出數(shù)列的前10項和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,成公差不為0的等差數(shù)列,則,,都不相等,,且,,,,即,解得:或(舍去),,所以數(shù)列的前10項和:.故選:C.4、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】,故選:A.5、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選:C.6、C【解析】結(jié)合遞推關(guān)系式依次求得的值.【詳解】因為,,所以,得由,得.故選:C7、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求出z=a+bi形式,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,z對應(yīng)的點在第一象限.故選:A8、A【解析】設(shè),計算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程,再求出外心坐標(biāo),根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程,最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè),由重心坐標(biāo)公式得,三角形的重心為,,代入歐拉線方程得:,整理得:①的中點為,,的中垂線方程為,即聯(lián)立,解得的外心為則,整理得:②聯(lián)立①②得:,或,當(dāng),時,重合,舍去頂點的坐標(biāo)是故選:A【點睛】關(guān)鍵點睛:解決本題的關(guān)鍵一是求出外心,二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.9、D【解析】若直線傾斜角為,由題設(shè)有,結(jié)合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程,若其傾斜角為,則,而,∴.故選:D10、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù),使用參數(shù)分離法即可.【詳解】,在上是增函數(shù),即恒成立,;設(shè),;∴時,是增函數(shù);時,是減函數(shù);故時,,∴;故選:B.11、C【解析】根據(jù),利用對數(shù)運算得到,再利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】解:因為,所以,則,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以,故選:C12、B【解析】由點在拋物線上,求得參數(shù),焦點到其準(zhǔn)線的距離即為.【詳解】由點在拋物線上,易知,,故焦點到其準(zhǔn)線的距離為.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(也可以)【解析】可以利用條件三角形為等腰直角三角形,設(shè)出邊長,找到邊長與之間等量關(guān)系,然后把等量關(guān)系帶入到勾股定理表達(dá)的等式中,即可求解離心率.【詳解】由題意知三角形為等腰直角三角形,設(shè),則,解得,,在三角形中,由勾股定理得,所以,故答案為:(也可以)14、8【解析】設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h,CQ=x,CP=y(tǒng),由體積法求得的關(guān)系,由直線CC’與平面C’PQ成的角為30°,得到xy≥8,再由VC﹣C′PQ=VC′﹣CPQ,能求出△PQC'的面積的最小值【詳解】解:設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h,CQ=x,CP=y(tǒng),由長方體性質(zhì)知兩兩垂直,所以,,,,,所以,由得,所以,∵直線CC’與平面C’PQ成的角為30°,∴h=2,∴,,∴xy≥8,再由體積可知:VC﹣C′PQ=VC′﹣CPQ,得,S△C′PQ=xy,∴△PQC'的面積的最小值是8故答案為:815、【解析】根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【詳解】兩平行直線與間的距離為3,所以,所以故答案為:16、【解析】由直線與圓相切,結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由直線與圓相切,所以圓心到直線l的距離等于半徑r,即.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘(2)【解析】(1)由頻率分布直方圖頻率之和為,建立方程求解即可;設(shè)中位數(shù)為,利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解;(2)頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù),從而列出所有樣本點,再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得:,解得.設(shè)中位數(shù)為,由題意得,解得所以這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知,第三組和第五組的人數(shù)之比為,所以分層抽樣抽出的人中,第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人,第三組的名學(xué)生記為,,,,第五組的名學(xué)生記為,,所以從名學(xué)生中抽取名的樣本空間,共15個樣本點,記事件“名中學(xué)生,第三組和第五組各名”則,共有個樣本點,所以這名學(xué)生中,兩組各有名的概率18、(1)證明見解析(2)【解析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式求出的值,結(jié)合角的取值范圍可求得角的值,可求得的值,即可證得結(jié)論成立;(2)利用三角形的面積公式可求得的值,結(jié)合余弦定理可求得的值,進(jìn)而可求得的周長.【小問1詳解】證明:由正弦定理及,得,所以,,所以,,,則,所以,,又,,,因此,、、成等差數(shù)列.【小問2詳解】解:,,又,,故的周長為.19、(1)(2)【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個法向量及,利用向量的夾角公式即可得解;(2)直接利用向量公式求解即可【小問1詳解】解:以點作坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,2,,,0,,,0,,設(shè)平面的一個法向量為,又,則,則可取,又,設(shè)直線與平面的夾角為,則,直線與平面的正弦值為;【小問2詳解】解:因為所以點到平面的距離為,點到平面的距離為20、(1)答案見解析;(2).【解析】(1)由題可得,利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分類討論即得;(2)由題可得,利用函數(shù)的單調(diào)性及極值求函數(shù)最值即得.【小問1詳解】由題可得的定義域為,若,恒有,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,若,令,得,若,恒有在上單調(diào)遞增,若,當(dāng)時,;當(dāng)時,,故在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,若,當(dāng)時,;當(dāng)時,,故在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;綜上所述,當(dāng),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng),在上單調(diào)遞增,當(dāng),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;【小問2詳解】由(1)知,時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)a=1時,,,,∴.又,,∴.由題意得,,∴.21、(1)(2)存在,【解析】(1)根據(jù)題意分別由已知條件計算出的面積和的面積,利用求解,(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),然后求出平面與平面的法向量,利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果小問1詳解】在中,,因為,分別是,邊上的中點,所以∥,,所以,所以,因為,所以平面,所以平面,因為平面,所以,所以,因為平面,平面,所以平面平面,因為,所以,因為,所以是等邊三角形,取的中點,連接,則,,因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,中,,所以邊上的高為,所以,在梯形中,,設(shè)點到平面的距離為,因,所以,所以,得,所以點到平面的距離為【小問2詳解】由(1)可知平面,,所以以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,則平面與平面夾角的余弦值為,兩邊平方得

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