黑龍江省齊齊哈爾十一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

黑龍江省齊齊哈爾十一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.3．等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和（）A. B.C. D.4．不等式的解集為（）A. B.C. D.5．與空間向量共線的一個向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C.1 D.27．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.10．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列滿足，，，前項和（）A. B.C. D.12．已知點在拋物線：上，則的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓C：的左、右焦點分別為，，點A在橢圓上，，直線交橢圓于點B，，則橢圓的離心率為______14．如圖，在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，點P，Q分別是棱BC，CD上的動點，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直線CC'與平面PQC'所成的角為30°，則△PQC'的面積的最小值是__15．已知兩平行直線與間的距離為3，則C的值是________.16．已知直線與圓相切，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某初中學(xué)校響應(yīng)“雙減政策”，積極探索減負(fù)增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時間．現(xiàn)為調(diào)查學(xué)生的家庭作業(yè)時間，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學(xué)生中選取名學(xué)生進(jìn)行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學(xué)生中，第三組和第五組各有名的概率18．（12分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且（1）求證；、、成等差數(shù)列；（2）若，的面積為，求的周長19．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)a=1時，對于任意的，，都有恒成立，則m的取值范圍.21．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由22．（10分）已知圓，直線的斜率為2，且過點（1）判斷與的位置關(guān)系；（2）若圓，求圓與圓的公共弦長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點線距離關(guān)系：向量的終點為圓心，1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點時，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且時，最小為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點到射線的距離最短問題.2、A【解析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計算.【詳解】.故選：A3、C【解析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合條件可知，由等差中項可知，利用等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行化簡求出，最后利用分組求和法，以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列的前10項和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成公差不為0的等差數(shù)列，則，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以數(shù)列的前10項和：.故選：C.4、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A.5、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.6、C【解析】結(jié)合遞推關(guān)系式依次求得的值.【詳解】因為，，所以，得由，得.故選：C7、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對應(yīng)的點在第一象限.故選：A8、A【解析】設(shè)，計算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時，重合，舍去頂點的坐標(biāo)是故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.9、D【解析】若直線傾斜角為，由題設(shè)有，結(jié)合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程，若其傾斜角為，則，而，∴.故選：D10、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.11、C【解析】根據(jù)，利用對數(shù)運算得到，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】解：因為，所以，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故選：C12、B【解析】由點在拋物線上，求得參數(shù)，焦點到其準(zhǔn)線的距離即為.【詳解】由點在拋物線上，易知，，故焦點到其準(zhǔn)線的距離為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（也可以）【解析】可以利用條件三角形為等腰直角三角形，設(shè)出邊長，找到邊長與之間等量關(guān)系，然后把等量關(guān)系帶入到勾股定理表達(dá)的等式中，即可求解離心率.【詳解】由題意知三角形為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，故答案為：（也可以）14、8【解析】設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由體積法求得的關(guān)系，由直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面積的最小值【詳解】解：設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由長方體性質(zhì)知兩兩垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由體積可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面積的最小值是8故答案為：815、【解析】根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式即可得解.【詳解】兩平行直線與間的距離為3，所以，所以故答案為：16、【解析】由直線與圓相切，結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由直線與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑r，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設(shè)中位數(shù)為，利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù)，從而列出所有樣本點，再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：，解得．設(shè)中位數(shù)為，由題意得，解得所以這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人，第三組的名學(xué)生記為，，，，第五組的名學(xué)生記為，，所以從名學(xué)生中抽取名的樣本空間，共15個樣本點，記事件“名中學(xué)生，第三組和第五組各名”則，共有個樣本點，所以這名學(xué)生中，兩組各有名的概率18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，可求得的值，即可證得結(jié)論成立；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合余弦定理可求得的值，進(jìn)而可求得的周長.【小問1詳解】證明：由正弦定理及，得，所以，，所以，，，則，所以，，又，，，因此，、、成等差數(shù)列.【小問2詳解】解：，，又，，故的周長為.19、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問1詳解】解：以點作坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問2詳解】解：因為所以點到平面的距離為，點到平面的距離為20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）由題可得，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得，利用函數(shù)的單調(diào)性及極值求函數(shù)最值即得.【小問1詳解】由題可得的定義域為，若，恒有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，令，得，若，恒有在上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】由（1）知，時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a=1時，，，，∴.又，，∴.由題意得，，∴.21、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果小問1詳解】在中，，因為，分別是，邊上的中點，所以∥，，所以，所以，因為，所以平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，因為，所以，因為，所以是等邊三角形，取的中點，連接，則，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點到平面的距離為，因，所以，所以，得，所以點到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得