三角形二（江蘇專用）初中數(shù)學(xué)

第二步大題得高分

考點(diǎn)24三角形(2)

真題回顧

1.(2020?遼寧大連市?中考真題)如圖1,DABC中，點(diǎn)。，瓦尸分別在邊AB,5cAe

上，BE=CE,點(diǎn)G在線段CD上，CG=CA,GF=DE,ZAFG=ZCDE.

(1)填空：與NC4G相等的角是一；

(2)用等式表示線段AO與80的數(shù)量關(guān)系，并證明；

AC

(3)若NBAC=90",ZABC=2NAC。(如圖2),求——的值.

AB

【答案】(1)ZCGA；(2)AD=-BD,理由見解析；(3)也.

23

【分析】

(1)由CG=C4可得到答案；

(2)在CG上取點(diǎn)“，使G"=4尸，連接先證明口AG"烏匚G4尸,再證明四邊形

A//ED是平行四邊形，從而得到E”為口。3。的中位線，從而可得答案；

1

(3)如圖，在CG上取點(diǎn)〃，使GH=A/，連接E”，同理可得：四邊形是平

行四邊形，證明AH==CH,再證明N8OE=/BED,得到8D=8E=C瓦設(shè)

AD=m,利用勾股定理求解AC,即可得到答案.

【詳解】

解：⑴?/CG=CA,

ZCAG=ZCGA,

故答案為：ZCGA.

(2)AD=-BD,理由如下：

2

在CG上取點(diǎn)“，使G"=A￡連接EH,

NHGA=ZFAG,AG=GA,

：DAGH^]GAF,

AH=GF,AGHA=ZAFG,

GF=DE,ZAFG=ZCDE,

：.AGHA=ZCDE,AH=DE,

：.AH//DE,

???四邊形是平行四邊形，

..AD=EH,AD//EH,

BE=CE,

2

:.EH為口CBD的中位線,

:.EH=-BD,

2

AD=-BD.

2

（3）如圖，在CG上取點(diǎn)〃，使GH=Ab,連接E”，

同理可得：四邊形A”E。是平行四邊形，

AD=EHJBD,E”為口。3。的中位線，

2

vZBAC=90°,

AH=DH=CH,

設(shè)ZACD=x。，

:.ZHAC^ZHCA^x°,

：.ZAHD=2x°,

：.ZHDA=/HAD=90°-x°,

AHUDE,

；.4HDE=4DHA=2x0,

3

ZBDE=180°-2x°-（90°-x°）=90°-x°,

ZABC=2ZACD.

：.N8=2x。，

:./BED=180。-2x0-（90。-x。）=90。-x。，

ZBDE=ZBED,

/.BD=BE=CE,

設(shè)AD=m,

BD=BE=CE=2/71,

/.AB=3m,BC=4m,

AC=飛BC?-AB?=J（4〃Z）2-（3〃z『=回

.AC幣帆_S

AB3m3

圖2

【點(diǎn)睛】

4

本題考查的等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.

2.(2020?江蘇鹽城市?中考真題)木門常常需要雕刻美麗的圖案.

(1)圖①為某矩形木門示意圖，其中A5長為200厘米，長為100厘米，陰影部分是

邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點(diǎn)P處，在雕刻時(shí)始終保持模

具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；

(2)如圖②，對(duì)于(1)中的木門，當(dāng)模具換成邊長為3附厘米的等邊三角形時(shí)，刻刀的

位置仍在模具的中心點(diǎn)P處，雕刻時(shí)也始終保持模具的一邊緊貼本門的一邊，使模具進(jìn)行

滑動(dòng)雕刻.但當(dāng)模具的一個(gè)頂點(diǎn)與木門的一個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，需將模具繞著重合點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)

雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合.再滑動(dòng)模具進(jìn)行雕刻，如此雕刻一周，請(qǐng)

在圖②中畫出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長.

5

<

圖②

------------------

【答案】(1)480cm；(2)雕刻所得圖案的草圖見解析，圖案的周長為

(600-1206+20萬"〃

【分析】

(1)過點(diǎn)尸作求出PE,進(jìn)而求得該圖案的長和寬，利用長方形的周長公式即可

解答；

(2)如圖，過P作PQLCD于Q,連接PG先利用等邊三角形的性質(zhì)求出PQ、PG及NPGE,

當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)P'時(shí)，求得旋轉(zhuǎn)角和點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的路徑長，用同樣的方法繼續(xù)移動(dòng)，即可畫出圖

案的草圖，再結(jié)合圖形可求得所得圖案的周長.

【詳解】

(1)如圖，過點(diǎn)P作PE，。,垂足為E

6

D

P是邊長為30c加的正方形模具的中心，

.1.PE=\5crn,

同理：A!B'與AB之間的距離為15cm,

A'D'與AO之間的距離為15c加，

夕C'與之間的距離為15cm,

.'.A'B'=C'D'=200-15-15=170cm,

B'C'=A'D'=100-15-15=10cm,

。邊形=(170+70)x2=480cm.

答：圖案的周長為480cM.

(2)如圖，連接PE、PF、PG,過點(diǎn)p作尸QLCD,垂足為。

7

L

<E9

E句。

BC

P是邊長為30cm的等邊三角形模具的中心,

PE=PG=PF,ZPGF=30°

QPQ1GF,

GQ=QF=15>/3cm,

PQ=CQ-tan300=15cm,

PG=CQ=30C7〃.

cos30°

當(dāng)三角形EFG向上平移至點(diǎn)G與點(diǎn)0重合時(shí),

由題意可得：VE'/'G'繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。,

使得E'G'與AD邊重合

'繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至。尸"，

30?1?30

=5cm.

180

8

同理可得其余三個(gè)角均為弧長為5〃c機(jī)的圓弧，

圖中的虛線即為所畫的草圖，

.?.C=（200—306+100-3O@x2+［；0-x4

=100-1206+20萬"〃.

答：雕刻所得圖案的草圖的周長為（600—120^+20對(duì)皿

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的性質(zhì)、解含30°角的直角三角形、圖形的周

長等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D形平移和旋轉(zhuǎn)過程中的變化特征，結(jié)合基本圖形的性質(zhì)

進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算.

模擬預(yù)測(cè)

3.（2021?江蘇九年級(jí)其他模擬）（問題情境）

（1）射影定理：如圖1,在中，ZACB=90°,如果垂足為。,

那么有①②AC2=A8AD；@BC2請(qǐng)你證明射影定理中

的結(jié)論③即BC2=ABBD.

（結(jié)論運(yùn)用：請(qǐng)直接使用射影定理解決下列問題）

（2）如圖2,正方形A8CO的邊長為6,點(diǎn)。是對(duì)角線AC、3。的交點(diǎn)，點(diǎn)￡在。力上,

過點(diǎn)。作。尸，8七，垂足為尸，連接。尸，

9

①求證：UBOF^GBED；

②若BE=2廂，求。尸的長.

【答案】(1)見解析；(2)①見解析：②述

5

【分析】

(1)根據(jù)角的等量代換證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)①在RNBCE使用射影定理，得至IBC2=BOBD＞在RNBCE中使用射影定理,

得至UBC?=BFBE，即可得證口BO/SIBEO；②：結(jié)合①所得，計(jì)算出CE、DE、BO、

3E即可得解.

【詳解】

(1)證明：vZACB=90°,CDLAB

NCDB=NACB=90°

?/NB=/B

.DCBD^aABC

.BDBC

：.BC2=ABBD

(2)①?.?四邊形ABC。為正方形，

.?.RZnCB。中，NBC。=90。，OC1BO,

BC?=BOBD，

?.?RZOBCE中，N5CE=90°,CFVBE,

10

BC?=BF?BE，

：.BOBD=BFBE,即一=—,

BEBD

又?；"BF=NEBD,

.DBOF^BED；

②?.?在RfVBCE中，BC=6,BE=2M，

：.CE=\IBE2-BC2=2-

:.DE=BC-CE=4,

在R/OOBC中，OB=sin45°BC=3&

:UBOFTBED,

OFBOOF372

——=——，即R11——=.___

DEBE42版

:.0F=處.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了射影定理的證明與應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形;

讀懂題意，并能理解運(yùn)用射影定理是本題的關(guān)鍵.

4.（2021?湖北武漢市?九年級(jí)一模）由邊長為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的

頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)2、B、a〃都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定12X8的網(wǎng)格中畫圖，

畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按要求完成下列問題：

11

(1)平移線段ZC得到線段外；在圖1中畫出線段?！辏?/p>

(2)點(diǎn)尸在線段回上，使△力跳1的面積等于△ZCF面積的2倍，在圖1中畫出線段ZR

(3)點(diǎn)M在線段40上，使tan/力的/=在圖2中畫出線段班/.

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析.

【分析】

(1)由平移的性質(zhì)畫出對(duì)應(yīng)的線段?！纯?；

(2)根據(jù)△/防的面積等于△力門■面積的2倍，而兩個(gè)三角形等高，因此小2CK即尸為

5c的三等分點(diǎn)且是靠近。點(diǎn)的，因此作出三等分點(diǎn)即可；

(3)如圖所示，連接力/,取/尸中點(diǎn)0,過點(diǎn)。作。N/77交力/于"連接期并延長交力〃

于“，即為所求.

【詳解】

圖1

12

解：(1)、?。點(diǎn)是4點(diǎn)先向右平移6個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到的，故由平移的性質(zhì)

可知，￡是。點(diǎn)這樣平移得到的

..?將C點(diǎn)先向右平移6個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到E點(diǎn)"然后連接〃后即為所求

故答案為：如上圖所示.

(2):?△力8"的面積等于1面積的2倍，而兩個(gè)三角形等高，因此8斤=25即尸為員;

的三等分點(diǎn)且是靠近c(diǎn)1點(diǎn)的

，如圖所示找到。點(diǎn)和S點(diǎn)，連接CQ,過點(diǎn)S作SP〃CQ交BC于F,連接AF

:如圖所示可知BS=2QS,SP〃CQ

△陽Ss△收

：.BF=2CF

/點(diǎn)即為所求

故答案為：如上圖所示.

13

BF

(3)如圖所示，找到P、/、0,然后連接，PJ、AJ、AP,其中。為力尸中點(diǎn)

過點(diǎn)。作CW""交力/于N,連接刖并延長交AD于M

為工夕中點(diǎn)，ON〃PJ

為//的中點(diǎn)

：.t\AONs(\AP)

???AN=-AJ=Ly/Pj2+Ap2=返

222

又?；AB=JAT2+BT。=盤

"：AB=Aj,AP=AT,BT=PJ

:.XABT^lXAlP

:.NBAT=NJAP

:./BA/=90°

14

V26

AN___1

AB~J26~2

AN1

tanZABM=----=一

AB2

故答案為：如上圖所示.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平移的性質(zhì)，相似比，全等三角形，勾股定理等知識(shí)，需要學(xué)生熟練掌握相

關(guān)的知識(shí)點(diǎn).

5.(2021?福建三明市?九年級(jí)一模)如圖，RtZkABC中，N4CB=90。，NA=60°,

△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△OCE,

(1)求證：DE垂直平分BC；

(2)F是OE中點(diǎn)，連接8F,CF,若AC=2,求四邊形ACfB的面積.

【答案】(1)見解析；(2)3上

【分析】

(1)由NACB=90。，NA=60°,得乙4員分30°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，得/力力60°,

故/6小=30°,360°,因此NZ員三/8CO,DB=DC,問題得證；

(2)四邊形4G方的面積是三角形力以面積的3倍，計(jì)算三角形ZOC的面積即可.

15

【詳解】

(1)ZACB=90°,NA=60。，

?.ZABC=30°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，得/力360°,

:.NBCD=3Q°,NBCE=60°,

:.NABC=/BCD,

:.DB=DC,

,/NACD=NA=4CDE=60°

：.ZBDE=60°

；.DE平分ZBDC

...點(diǎn)。在線段5c的垂直平分線上，

.???！甏怪逼椒諦C-.

4C

(2)如圖，過點(diǎn)。作〃G_L/G垂足為G,

16

,:CA=CD,ZJ=60o,

，△/中是等邊三角形，AD=CD=A3

:理垂直平分BC,

:?DB=DC,FB=FG

1

/.DB=DC=DA=CA=—AB,

2

???F是0E中點(diǎn)，

1

：.CF=DF=EF=—DE.

2

：.DB=DC=DA=CA=CF=DF=BF,

???四邊形力江。是菱形，四邊形8是菱形；

???四邊形ACFB的面積是三角形ACD面積的3倍，

U：AC=AD=2,

：.AG=lfDG=5

???四邊形/CM的面積：3XgXACXDG=3XgX2X6=3百.

【點(diǎn)睛】

17

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段的垂直平分線，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì),

菱形的判定和性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?福州三牧中學(xué)九年級(jí)二模)如圖，Rt&ABC中,ZACff=90°,一同學(xué)利用直

尺和圓規(guī)完成如下操作：

①以點(diǎn)C為圓心，以笫為半徑畫弧，交AB于息G；分別以點(diǎn)G、8為圓心，以大于;仍

的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)《作射線皈

②以點(diǎn)5為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交員7于點(diǎn)M交/5的延長線于點(diǎn)M分別以

點(diǎn)"、"為圓心，以大于g的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)巴作直線分交2C的延長

線于點(diǎn)D,交射線X于點(diǎn)E.

請(qǐng)你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題;

(1)線段Q與密的大小關(guān)系是；

(2)過點(diǎn)〃作砒_力夕交Z8的延長線于點(diǎn)E若應(yīng)=12,BC=5,求的分■的值.

3

【答案】(1)CD=CE；(2)-

2

【分析】

(1)由作圖知廢_1月6,BD斗分4CBF,據(jù)此得Nl=N2=/3,結(jié)合/四5+N3=

N2+NCDE=90°矩/CEB=/CDE,從而得出答案；

18

（2）由（1）可得CO=DF,選△BCgXBFD得BC=BF,從而設(shè)求出45=

13,由s/o/加尸的值得到x：（12+x）=5：13,解之求得尸7.5,結(jié)合反方545可得

答案.

【詳解】

解：⑴CD=CE,

由作圖知BD平分乙CBF,

*?N1=N2=N3,

?：4CEB+/3=/2+/CDE=90°,

：?4CE4乙CDE,

JCD=CE,

故答案為：CD=CE：

(2)'：BD平分/CBF,BCLCD,BFLDF,

：.CD=DF,

：.在RTADCB和RTADFB中，BD=BD,DC=DF,

：.RTADCB^RTADFB,

BC=BF,

19

設(shè)CD=DF=x,

在Rt/XACB中，AB=AC2+BC2=7122+52=13,

x5

:.sinZDAF=DF：AD=BC：AB,即

12+%一13'

解得k7.5,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=7.5是原方程的根且符合題意,

,:BC=BS,

:.tan/DBF=DF：BF=7S：5=1.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查尺規(guī)作圖的綜合應(yīng)用，熟練掌握幾何中的基本作圖方法、角平分線的性質(zhì)、三

角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理及?:角函數(shù)的意義是解題關(guān)鍵.

7.(2021?蒙城縣莊子體育藝術(shù)中等專業(yè)學(xué)校九年級(jí)其他模擬)在等腰直角中，/員4c

=90°,點(diǎn)〃、后分別在4氏47上，且力〃=4F,連接。C,點(diǎn)M、"分別為〃仄8c的中

點(diǎn).

(1)如圖①，若點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，連接MV,PM、PN.

①求證：PM=PN；

②求證：AADEsAPNM；

20

(2)如圖②，若點(diǎn)〃在氏4的延長線上，點(diǎn)尸為EC的中點(diǎn)，求的值.

MP

【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)夜.

【分析】

(1)①根據(jù)中位線的性質(zhì)可證得PN=L8。，PM=-CE,再證明況占斯即可得到結(jié)

22

論；②根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余證明△&WV是等腰直角三角形即可證明

結(jié)論；

(2)連接根據(jù)必S證明aABE絲△ACO,利用全等三角形及中位線的性質(zhì)證得

MP=NP,再利用平行線的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余證得是等腰直角三角形，然

后利用特殊角的三角函數(shù)求值即可.

【詳解】

(1)①證明：；點(diǎn)2/V分別是CO,3c的中點(diǎn)，

PN//BD.PN」BD,

2

:點(diǎn)P,"分別是必1的中點(diǎn)，

PMHCE,PM=-CE,

2

：AB=AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN；

②證明：???PN〃5O,

ZDPN=ZADC,

???PM//CE,

...ZDPM=ZDCA.

21

???ABAC=90°,

：.NAOC+NACO=90°,

/.NMPN=ZDPM+NDPN=NDCA+ZADC=90°,

NMPN=4BAC=9G0,

又由①知PM=PN,

...□PMN為等腰宜角三角形，

又???□AOE為等腰直角三角形，

：.\2ADE^/\PNM：

（2）解：如圖，連接BE，

VAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,

：./\ABEg△ACO,

/.BE=DC,NABE=ZACD,

?.?點(diǎn)/、N、。分別為瓦；BC,EC中點(diǎn)，

PM//DC,MP=-DC,PN//BE,NP=-BE,

22

:.MP=NP,NNPA=NBEA,ZMPA=ZDCA,

ZBAC=90°,

22

...AABE+ZAEB=90°,

ZNPM=NNPA+ZAPM=ZBEA+NACD=ZBEA+NABE=90°,

...△用2代為等腰直角三角形,

cos/NMP-cos45°=，

MN2

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)判定定理是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?安徽九年級(jí)二模)如圖1,點(diǎn)片為菱形2比。內(nèi)一點(diǎn)，EB^ED,NBED=90°,

點(diǎn)尸在CD上,ZDBF=；ABAD.

(1)求證：BFLCD-,

(2)如圖2,延長BF至G,使得BG=AB,連接DG,取Z8中點(diǎn)M,連接EM.

BF

①若4D,G三點(diǎn)在同一條直線上，求三的值

FG

②求證：DG=2EM.

23

圖1圖2

BFr-

【答案】（1）證明見詳解；（2）（D—=72+1；②證明見詳解.

FG

【分析】

(1)連結(jié)4C交BD于"，由菱形ABCD,可得ZC平分ZBAD與/BCD,AC1BD,UJ證

NDBF=NBAH=NDAH=NDCH,可求ZDBF+ZBDF=ZCDH+ZDCH=90°,

由三角形內(nèi)角和得NDFB=180°-90°=90°即可；

(2)①在6尸上截取7：7仁。尸，連結(jié)心，由5G=25,可得N8GA=N6AG=N8CD,可

求ZBGA=ZBCD^45°,ZFKD=NKDF=45。,可證NBDK=ZDBK,可得BK=DK,

在RtADKF中,由勾股定理DK=JZD?+K產(chǎn)=&DF，求出BF=(e+1)DF即可；

②由①知點(diǎn)E在月6■上，可證4后兩點(diǎn)在劭的垂直平分線47上，可證ABE。是等腰直

角三角形，可得NEBD=NEDB=45°,證再證△5〃￡s△切力，可得

BEME,BEV2DF

-——?cosZEBD-cos45==——=，可rZH得

BDFDBD2DG

FD=yf^ME,DG=y/iFD即可.

24

【詳解】

解：(1)連結(jié)力C1交BD于H,

,：菱形ABCD,

：.4C平分ZBAD與/BCD,ACA.BD,ZBAD=ZBCD,

：.ZDBF=NBAH=ZDAH=ZDCH

：ZDBF+ZBDF=ZCDH+ZDCH=90°,

ZDFB=180o-90o=90°,

二BFLCD-.

(2)①在班1上截取FK=DF,連結(jié)KD,

"：BG=AB,

：.NBGA=NBAG,

NBGA=ZBAG=ZBCD

25

,:ADHBC,

NBGA=NCBG=/BCD,

???ZBFC=90°,

??.ZBGA=ZBCD=45°,

??.ZABC+AADC=3600-2ZBAD=270°,

??.ZABC=ZADC=135°,

：.NDBC=NBDC=-ZABC=67.5°,

2

ZDBG=ZDBC-NGBC=67.5°-45°=22.5°,

NKFD=9。。,FD=FK,

：.NFKD=NKDF=45°,

ZBDK=4BDF-NKDF=67.5-45°=22.5°=NDBK,

BK=DK,

在Rt^DKF中,由勾股定理DK=VFD2+KF2=42DF'

：.BF=BK+KF=DK+DF=y/2DF+DF=(y[2+[)DF,

,/GD//BC,

：.ZFDG=NBCF=45°=NDGF,

26

A

圖2

/.FD=FG,

.?"J國—國I.

FGDF

②?：EB=ED,AB^AD,

：.A,￡?兩點(diǎn)在劭的垂直平分線力。上，

■:NBED=9Q°,

ABE。是等腰直角三角形，

/.ZEBD=ZEDB=45°,

/.NBAE=ZDAE=-ZBAD=22.5°=NEBA

2

AE=BE,

丁點(diǎn)〃是力笈的中點(diǎn)，

:,ME上AB,

27

，ZBME=90°,

在△用座■和△6注7中，

?/ZMBE=NFBD/EMB=NDFB=90°,

JXBMEsXBFD,

.BE_ME

"~BD~~FD'

BE42_DF

Z.EBD

cos=cos45°~BD~^2~~DG

.ME_y[lFDy/2

~FD~~2，~DG~~2

：.FD=叵ME,DG=6FD,

?*-DG=j2FD=y/2x^/2ME=2ME-

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形判定與性質(zhì)，相似三角形判

定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形判定

與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

9.（2021?山西九年級(jí)其他模擬）閱讀與思考

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，我們學(xué)習(xí)了如何利用尺規(guī)作圖，過直線/外一點(diǎn)P向已知直線/作垂線，小

明同學(xué)在自我反思復(fù)習(xí)的時(shí)候想到了這樣的一個(gè)方法并完成了證明：

28

方法：如圖1,在直線/上任取兩點(diǎn)aB；分別以點(diǎn)45為圓心，AP,破長為半徑畫弧，

兩弧相交于點(diǎn)Q;作直線R2即為所求.

證明：如圖2,連接ZP、AQ,BP、BQ,由作圖可知：AP=AQ,BP=BQ

...點(diǎn)4夕在線段尸。的垂直平分線上（依據(jù)1）

二直線/是線段PQ的垂直平分線（依據(jù)2）

（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？

（2）小明的好朋友小亮也想到一種利用尺規(guī)過直線/外一點(diǎn)尸向已知直線I作垂線的方法，

請(qǐng)你幫助他完成尺規(guī)作圖的過程并證明；

方法：如圖3,在直線/上任取一點(diǎn)4連接期；作線段處的垂直平分線，交處于點(diǎn)用

以點(diǎn)E為圓心，ZE的長度為半徑畫弧，交直線/于Q,作直線卬即為所求.

（3）若（2）中的線段的長度恰好等于線段ZQ的長度，且AE=4,則線段尸。的長

為_____

【答案】（1）到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一

條直線；（2）見解析；（3）

【分析】

29

（1）到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線;

（2）直線/上取一點(diǎn)4連接力只以點(diǎn)力、點(diǎn)尸為圓心，畫弧交于點(diǎn)C■、點(diǎn)8,連接以7交

力尸于石以點(diǎn)￡為圓心，為半徑畫圓弧，交直線/于點(diǎn)Q,。。即為直線/的垂線；通過

直徑所對(duì)的圓周角是直角即可證明；

（3）RtAAPQ中,運(yùn)用勾股定理即可求出尸Q的長；

【詳解】

（1）依據(jù)1：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；依據(jù)2：兩

點(diǎn)確定，一條直線：

（2）尺規(guī)作圖如圖:

PQVI

是。￡的半徑，且￡3是工尸的垂直平分線,

：.EP=EA,BPAP=2EA

0為的直徑，

：.ZAQP=f）Qa,即尸。是/的垂線

30

(3)若力E=4,則4之2/￡=8

'：AQ=A

.?.在RtXAPQ中，PQ=^AP2-AQ2=782-42=473

...PQ的長為4jG

【點(diǎn)睛】

本題考查了尺規(guī)作圖，垂直平分線的性質(zhì)，圓周角的相關(guān)知識(shí)，正確畫出圖形是解決本題的

關(guān)鍵.

10.(2021?河北九年級(jí)一模)如圖，直線a〃b,點(diǎn)M、"分別為直線a和直線b上的點(diǎn)，

連接MN,Zl=70°,點(diǎn)尸是線段MV上一動(dòng)點(diǎn)，直線。E始終經(jīng)過點(diǎn)凡且與直線a,

b分別交于點(diǎn)。、E,設(shè)4NPE=a.

(1)證明△MPMANPE.

(2)當(dāng)9與全等時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸的位置.

(3)當(dāng)石是等腰三角形時(shí)，求a的值.

【答案】(1)見解析；(2)點(diǎn)尸是“V的中點(diǎn)；(3)40°或70°或55°

【分析】

(1)利用相似三角形的判定定理證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到MP=NP,即點(diǎn)P是MV的中點(diǎn)；

(3)需要分類討論：PN=PE、PE=NE、PN=NE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算即可.

31

【詳解】

(1)證明：,:a〃b,

:.△MPMXNPE.

NMDP=Z.NEP,

.?.當(dāng)△聞尸〃與全等時(shí)，MP=NP,即點(diǎn)「是MV的中點(diǎn)；

⑶

：.N\=NPNE=70°,

①若1時(shí)，

：./PNE=/PEN=1Q°.

：.a=180°-NPNE-NPEN=180°-70°-70°=40°.

.?./a=40°；

②若仍=￡7V時(shí)，則^=/0出￡=70。；

③若NP=NE時(shí)，貝l]NP￡W=a,此時(shí)2<7=180°-ZP7V￡^110°,

a=/PE懺S5°；

綜上所述，a的值是40°或70°或55°.

【點(diǎn)睛】

32

本題考查了相似三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知相

關(guān)性質(zhì)，會(huì)根據(jù)等腰三角形底邊不同進(jìn)行分類討論.

11.(2021?云南昆明市?九年級(jí)一模)如圖，在中，AB=AC,NB4490°,BC

=14,過點(diǎn)力作/ZLL8C于點(diǎn)〃，￡為腰47上一動(dòng)點(diǎn)，連接。E以Z7E為斜邊向左上方作

等腰直角△〃即連接ZE

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸落在線段2〃上時(shí)，求證：AF=EF-,

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在線段左側(cè)時(shí)，(1)中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，若出之夜，求線段宓的長.

2

【答案】(1)見解析；(2)成立，見解析；(3)4a或3&

【分析】

(1)先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得,再證明/n/可得結(jié)

論；

(2)仍然成立，如圖2,取/C的中點(diǎn)G,連接〃G