1230°45°60°角的三角函數(shù)值（分層練習(xí)）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.230°，45°，60°角的三角函數(shù)值精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：原式故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)，掌握并熟練使用相關(guān)知識(shí)，同時(shí)注意解題中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵．2．（2022·山東·乳山市乳山寨鎮(zhèn)中心學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可．【詳解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，∴∠C=180°105°45°=30°，∴故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和公式，正弦定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知∠A，∠B均為銳角，且cosA＝，sinB＝，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：∵∠A，∠B均為銳角，cosA=，sinB=，∴∠A=60°，∠B=30°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，則=(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后利用正弦的定義即可求解．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，，則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解三角形、銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．5．（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級(jí)期末）在下列數(shù)值tan45°、﹣1、﹣π、0中最小的是（

）A．﹣π B．﹣1 C．tan45° D．0【答案】A【分析】正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】tan45°＝1，∵﹣π＜﹣1＜0＜tan45°，∴在數(shù)值tan45°、﹣1、﹣π、0中最小的是﹣π．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，三角函數(shù)值，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?．（2022·山東日照·中考真題）在實(shí)數(shù)，x0（x≠0），cos30°，中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實(shí)數(shù)，x0（x≠0）=1，，中，有理數(shù)是，x0=1，所以，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·河南鄭州·九年級(jí)期末）________．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)代入求值即可．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8．（2022·重慶八中九年級(jí)期中）計(jì)算：___________．【答案】##【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）已知，則銳角________．【答案】【分析】先由變形為，即可求解．【詳解】解：，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，靈活變形，熟記公式是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則＝____．【答案】##0.5【分析】利用直角三角形的兩銳角互余求得∠ABC的度數(shù)，再利用特殊角的三角函數(shù)即可求得的值．【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示．∵在Rt△ABC中，，，∴，∴．故答案為∶．【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·江蘇蘇州·九年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）將特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊銳角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是牢記特殊銳角三角函數(shù)值．12．（2022·江西·豐城九中八年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中，．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，再求出m，n的值代入計(jì)算即可．【詳解】原式===．因?yàn)?，，所以原?．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值確定m，n的值是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·山東·巨野縣教學(xué)研究中心九年級(jí)期中）計(jì)算：=________．【答案】【分析】由題意代入特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，即可得答案．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．2．（2022·山東·乳山市乳山寨鎮(zhèn)中心學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：__________．【答案】【分析】先根據(jù)特殊三角函數(shù)值求值，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】解：，=，=，因?yàn)?，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握特殊三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì).3．（2022·廣東惠州·二模）__________．【答案】1【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)值，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)等計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)值，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海嘉定·九年級(jí)期末）如圖，飛機(jī)在目標(biāo)的正上方處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)的俯角，如果地面目標(biāo)、之間的距離為千米，那么飛機(jī)離地面的高度等于________千米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】根據(jù)題意，得∠ACB=30°，利用正切函數(shù)的定義，變形計(jì)算即可．【詳解】∵地面目標(biāo)的俯角，∴∠ACB=30°，∴tan30°=，∴AB=BCtan30°=6=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了俯角視線與水平線所成的角，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握俯角的意義，熟記特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．（2022·遼寧遼寧·中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是_______．【答案】16【分析】連接EF交CD于O，先證明四邊形CFDE為菱形，從而求出CO的長(zhǎng)度，然后根據(jù)余弦定義求出CE即可得出答案．【詳解】解：連接EF交CD于O，如圖：∵DEAC，DFBC，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠FCD＝∠ECD，∵DEAC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四邊形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四邊形CEDF的周長(zhǎng)是4CE＝4×4＝16，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，余弦的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷出四邊形CEDF為菱形．二、解答題6．（2022·陜西師大附中九年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)乘方、立方根、特殊角度三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)乘方、絕對(duì)值、二次根式、零指數(shù)冪的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.【詳解】（1）解：（2）解：.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)、三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、立方根、二次根式、乘方的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.7．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二五中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式：的值，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出x的值，最后將x的值代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)，二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是將分式正確化簡(jiǎn)．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知中，，、是的兩條高，直線與直線交于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)為銳角時(shí)，①求證：；②如果，求的正切值；(2)如果，，求的面積．【答案】(1)①見解析；②2(2)或【分析】（1）①由題可知，即可證明，之后證明即可；②設(shè)，則，，根據(jù)可得，故在中，可求；（2）設(shè)，即可證得，根據(jù)，可得根據(jù)與，