福建省泉州市四校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期5月期中考試數(shù)學試題

南星中學?泉港二中?晉江陳埭民族中學?福師大泉州附中四校聯(lián)盟20232024學年度下學期期中考高二年段數(shù)學學科試卷考試時間：120分鐘，滿分150分，命卷人：康湫婉審核人：謝輝陽一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.）1.曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A.1B.2C.3D.42.二項式的展開式中含項的系數(shù)為（）A.B.C.D.3.元宵節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，當天人們會吃湯圓?賞花燈?猜燈謎.小明爸爸手里有6個燈謎，其中4個事物謎，2個字謎，小明隨機抽取2個燈謎，事件為“取到的2個為同一類燈謎”，事件為“取到的2個為事物謎”，則（）A.B.C.D.4.中國古代中的“禮?樂?射?御?書?數(shù)”合稱“六藝”.為傳承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學社團開展“六藝”講座活動，每藝安排一次講座，共講六次.講座次序要求“禮”在第一次，“射”和“御”兩次相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（）A.48種B.36種C.24種D.20種5.設隨機變量，若，則（）A.B.C.2D.16.若，則的值為（）A.45B.55C.120D.1657.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）9.已知離散型隨機變量的分布列如下所示，則下列結論正確的是（）213A.B.C.D.10.已知，則下列結論正確的是（）A.展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項B.展開式中所有項的系數(shù)和為1C.D.11.已知函數(shù)在處取得極值，則下列結論正確的是（）A.B.C.函數(shù)的圖像與直線只有一個公共點D.對任意的三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.設是等差數(shù)列的前項和，若，則__________.13.中國空間站的主體結構包括天和核心艙?問天實驗艙和夢天實驗艙.假設空間站要安排甲?乙等6名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有__________種.（用數(shù)字作答）14.近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風景線.他們根據(jù)外賣平臺提供的信息到外賣店取單，某外賣小哥每天來往于個外賣店（外賣店的編號分別為，其中，約定：每天他首先從1號外賣店取單，稱為第1次取單，之后，他等可能的前往其余個外賣店中的任何一個店取單，稱為第2次取單，依此類推.假設從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的個外賣店取單.設事件表示“第次取單恰好是從1號店取單是事件發(fā)生的概率，顯然，則__________，與的關系式為__________.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（13分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，若是等比數(shù)列的連續(xù)三項.（1）求數(shù)列的公比；（2）若，數(shù)列的前項和為且，求的最小值.16.（15分）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元.ChatGPT所用到的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中.某學習小組設計了如下問題進行探究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球?2個白球，乙箱中有4個紅球?1個白球.（1）從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，求2個球都是紅球的概率；（2）拋一枚質地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4，從甲箱子隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球.求抽到的球是紅球的概率；（3）在（2）的條件下，若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率.17.（15分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調性；（2）不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.18.（17分）某冰糖橙是甜橙的一種，以味甜皮薄著稱.該橙按照等級可分為四類：珍品?特級?優(yōu)級和一級.某采購商打算訂購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機抽取100箱（每箱有），利用橙子的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下表：等級珍品特級優(yōu)級一級箱數(shù)40301020（1）若將頻率作為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機抽取4箱，求恰好有2箱是一級品的概率；（2）利用樣本估計總體，果園老板提出兩種方案供采購商參考：方案一：不分等級出售，價格為27元；方案二：分等級出售，橙子價格如下表.等級珍品特級優(yōu)級一級價格/（元）36302418從采購商的角度考慮，應該采用哪種方案？（3）用分層隨機抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，表示抽取的珍品的箱數(shù)，求的分布列及均值.19.（17分）英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設，根據(jù)以上信息，并結合高中所學的數(shù)學知識，解決如下問題.（1）證明：；（2）設，證明：；（3）設，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.南星中學、泉港二中、晉江陳埭民族中學、福師大泉州附中四校聯(lián)盟20232024學年度下學期期中考高二年段數(shù)學學科試卷參考答案1.C【詳解】解：由得，因為曲線在處的切線與直線平行所以，解得.故選：C.2.B【詳解】由二項式定理可知，的展開式的通項為，令，解得，所以，所以二項式的展開式中含項的系數(shù)為.故選：B.3.B【詳解】由題意可得，，所以，故選：B.4.A【詳解】依題意，“禮”在第一次，固定，“射”和“御”兩次相鄰，兩者捆綁，與另外3藝進行排列，所以“六藝”講座不同的次序共有種，故選：A5.A【詳解】即，所以，故選A.6.【答案】D【詳解】因為，則，解得，故.故選：.7.D【詳解】，則是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，排除C，當且，排除A，當時，，則，，則有兩個不同的零點，即當時，函數(shù)至少有三個單調區(qū)間，排除故選：D.8.D【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，所以，則，又因為函數(shù)也是偶函數(shù)，所以，得，因為為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，令，得，所以時，在上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)的性質可知，函數(shù)在上單調遞增，所以，即，即，得或，所以不等式的解集為.故選：D9.【答案】BD【詳解】對于，由分布列的性質可得，解得，故錯誤；對于，故B正確；對于，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10.【答案】BCD【詳解】對于，由二項展開式中的二項式系數(shù)性質可知二項式系數(shù)最大為，易知應為第1013項，即A錯誤對于，令，可得，即展開式中所有項的系數(shù)和為1，可得正確；對于，令，可得，令，可得，所以，即C正確；對于，將等式兩邊同時求導可得，，再令，可得，即D正確.故選：BCD11.ACD【詳解】對于，因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得，故A正確.即對于，因為真數(shù)，所以所以，欲證，只需證因為，定義域為所以，令，解得所以當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，所以，即，所以，即，故B錯誤對于，欲證與只有一個交點，只需證只有一個根，即證只有一個根，即只有一個根，由上述可得在遞減，在遞增，所以，故C正確對于，由上述得恒成立，即恒成立，所以當時，，即因為所以且所以，即證，故D正確故選：ACD.12.10【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：10.13.450【詳解】若6名航天員三個實驗艙，三個實驗艙每個至少一人至多三人，若每組人數(shù)分別為，共有種，若每組人數(shù)分別為，共有種，綜上所有不同的安排方法共有.故答案為：45014.；【詳解】根據(jù)題意，事件表示“第3次取單恰好是從1號店取單”，因此同理.故答案為：.15.（滿分13分）【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由是等比數(shù)列的連續(xù)三項，得即，化簡得..設數(shù)列的公比的公比為，則.（2）若，則，.由，得，故的最小值為1011.16.（滿分15分）【詳解】（1）記事件表示“抽出的2個球中有紅球”，事件表示“兩個球都是紅球”，則，故（或直接用也給5分）（2）設事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”（3）在（2）的條件下.（公式2分，計算1分）17.（滿分15分）【詳解】（1）的定義域為，，當時，，所以在上單調遞增，當時，令，解得，若，則，所以在上單調遞增，若，則，所以在上單調遞減，綜上，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減（2）在上有解在上有解，在上有解，令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，且所以，所以，故實數(shù)的取值范圍是.18.（滿分17分）【詳解】（1）設“從這100箱橙子中隨機抽取1箱，抽到一級品”為事件，則，現(xiàn)有放回地隨機抽取4箱，設抽到一級品的箱數(shù)為，則，所以恰好有2箱是一級品的概率為.（2）設方案二中每千克橙子的價格為元，則，因為，所以從采購商的角度考慮應該采用方案一.（3）用分層隨機抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再從中隨機抽取3箱，則珍品的箱數(shù)服從超幾何分布，其中，.的分布列為：0123.19.（滿分17分）【詳解】（1）設，則.當時，：當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得，，所以.即.