教師招聘考試真題中學(xué)數(shù)學(xué)科目及答案

教師招聘考試真題［中學(xué)數(shù)學(xué)科目］（滿分為120分)第一部分 數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐一、簡答題（10分)教育改革已經(jīng)緊鑼密鼓，教學(xué)中應(yīng)確立這樣的思想“以促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展為本，以提高全體學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)為綱”,作為教師要該如何去做呢?談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)新課程改革對教師的要求。二、論述題（10分）如何提高課堂上情境創(chuàng)設(shè)、合作學(xué)習(xí)、自主探究的實(shí)效性？第二部分 數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)(1+i)（1—i）=（）A．2 B．—2 C．2i D．—2i2．(3x2+k）dx=10，則k=（）A．1 B．2 C．3 D．43．在二項(xiàng)式(x—1）6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是（)A．—15 B．15 C．—20 D．204．200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如右圖所示，時速在［50,60）的汽車大約有(）A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛5．某市在一次降雨過程中,降雨量y（mm）與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為f（t）=，則在時刻t=10min的降雨強(qiáng)度為（）A．mm/min B．mm/min C．mm/min D．1mm/min6．定義在R上的函數(shù)f(x）滿足f(x+y）=f(x)+f(y)+2xy（x，y∈R）,f（1)=2，則f(-3）等于（)A．2 B．3 C．6 D．97．已知函數(shù)f(x）=2x+3,f—1(x)是f（x)的反函數(shù)，若mn=16(m，n∈R+），則f—1（m)+f—1（n)的值為（）A．—2 B．1 C．4 D．108．雙曲線=1（a〉0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2,過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．如圖,α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A,B到l的距離分別是a和b，AB與α，β所成的角分別是θ和φ，AB在α,β內(nèi)的射影分別是m和n，若a>b,則(）A．θ>φ，m>n B．θ>φ，m<n C．θ<φ,m<n D．θ<φ，m〉ny≥110．已知實(shí)數(shù)x，y滿足 y≤2x—1如果目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為—1，則實(shí)數(shù)m等于（)x+y≤mA．7 B．5 C．4 D．3二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）把答案填在題中橫線上。11．x2+4y2=16的離心率等于，與該橢圓有共同焦點(diǎn),且一條漸近線是x+y=0的雙曲線方程是。12．不等式|x+1｜+|x-2｜≥5的解集為。y=sinθ+113．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是x=cosθ(θ是參數(shù)），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸,則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫為。14．已知函數(shù)f(x)=2x,等差數(shù)列｛ax｝的公差為2,若f(a2+a4+a6+a8+a10）=4,則log2［f(a1）·f(a2)·f（a3)·…·f（a10）］=.15．已知：如右圖,PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)且與直徑CT交于點(diǎn)D,CD＝2，AD＝3，BD＝6，則PB＝.三、解答題（本大題共5小題，共45分。）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（本小題滿分8分)在△ABC中，∠B=,AC=2,cosC=。(Ⅰ）求sinA；(Ⅱ）記BC的中點(diǎn)為D,求中線AD的長。17．（本小題滿分8分）在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題。規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題。設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為.(Ⅰ）其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率；(Ⅱ）設(shè)這4名考生中選做第15題的學(xué)生數(shù)為ξ個，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（本小題滿分8分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)。(Ⅰ）EF//平面PAD；(Ⅱ）求證:平面PDC⊥平面PAD;（Ⅲ)求二面角B—PD—C的正切值。19．（本小題滿分9分)已知函數(shù)fx=x3+3ax—1,gx=f′x—ax—5，其中f′x是f(x）的導(dǎo)函數(shù)。（Ⅰ）對滿足—1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)x〈0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)a=-m2，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)y=fx的圖像與直線y=3只有一個公共點(diǎn)。20．(本小題滿分12分)把由半橢圓=1(x≥0)與半橢圓=1(x≤0）合成的曲線稱作“果圓"，其中a2=b2+c2，a〉0,b>c>0。如下圖所示,點(diǎn)F0，F(xiàn)1,F2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),A1，A2和B1，B2分別是“果圓"與x,y軸的交點(diǎn).（1）若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形,求“果圓"的方程；（2）當(dāng)｜A1A2|〉｜B1B2｜時，求的取值范圍；（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究:是否存在實(shí)數(shù)k，使斜率為k的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個橢圓上?若存在,求出所有可能的k值；若不存在，說明理由。四、教學(xué)技能（10分）21．結(jié)合教學(xué)實(shí)際,談?wù)勗诰唧w數(shù)學(xué)教學(xué)中如何有效處理生成與預(yù)設(shè)的關(guān)系。教師招聘考試模擬考卷［中學(xué)數(shù)學(xué)科目］第一部分?jǐn)?shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐一、簡答題【答案要點(diǎn)】（1)首先是從更新教育觀念出發(fā),建立由應(yīng)試數(shù)學(xué)變?yōu)榇蟊姅?shù)學(xué)的新觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、懂?dāng)?shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識,使之具有基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。（2)牢牢抓住課堂教學(xué)這個主陣地,從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)意識、邏輯推理和信息交流四個層面入手，向40分鐘要效益，克服重理論，輕實(shí)踐，重結(jié)果,輕過程的傾向，沖破“講得多”,“滿堂灌”等束縛,更新教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量。（3)數(shù)學(xué)教師素質(zhì)的提高刻不容緩，教師必須有能力進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，這就需要教師在觀念層次、知識層次、方法層次等方面都能達(dá)到相應(yīng)的高度，這樣才能有效地開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，達(dá)到提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的最終目的。“大眾數(shù)學(xué)的目標(biāo)是人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)，人人學(xué)好數(shù)學(xué)，人人學(xué)更多的數(shù)學(xué)”.它要求教學(xué)要重過程，重推理，重應(yīng)用,以解決問題為出發(fā)點(diǎn)和歸宿，它要求教學(xué)是發(fā)展的，動態(tài)的，這有利于學(xué)生能力發(fā)展的要求。教師要在新的教學(xué)觀的指導(dǎo)下，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生逐步學(xué)會求知和創(chuàng)新，從而為學(xué)生獲得終身學(xué)習(xí)的能力、創(chuàng)造的能力和長遠(yuǎn)發(fā)展的能力打好基礎(chǔ)。二、論述題【答案要點(diǎn)】談到課堂教學(xué)的實(shí)效性大家都不約而同地談到一個問題—-數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)。創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境是為了更有效地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué),是為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)的。而不是為了創(chuàng)造情境而創(chuàng)造情境，創(chuàng)設(shè)情境一定是圍繞著教學(xué)目標(biāo)，緊貼教學(xué)內(nèi)容，遵循兒童的心理發(fā)展和認(rèn)知規(guī)律。在課堂實(shí)踐中教師們用智慧為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了多種有利于促進(jìn)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)環(huán)境。1．創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系的學(xué)習(xí)環(huán)境2．創(chuàng)設(shè)有思維價值的數(shù)學(xué)活動情境3．創(chuàng)設(shè)源于數(shù)學(xué)知識本身的問題情境4．創(chuàng)設(shè)思維認(rèn)知沖突的問題情境合作、自主探究學(xué)習(xí)首先要給學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的空間。一個人沒有自己的獨(dú)立思考,沒有自己的想法拿什么去與別人交流？因此，獨(dú)立思考是合作學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).其次，合作學(xué)習(xí)要有明確的問題解決的目標(biāo)，明確小組成員分工，組織好組內(nèi)、組際之間的交流。對學(xué)生的自主探索、合作交流，教師要加強(qiáng)指導(dǎo).除了培養(yǎng)學(xué)生合作的意識外，還要注意對學(xué)生合作技能的訓(xùn)練和良好合作習(xí)慣的培養(yǎng).如傾聽的習(xí)慣、質(zhì)疑的能力，有條理匯報交流的能力，合作探究的方法策略等。對良好習(xí)慣的養(yǎng)成，合作探究技能的培養(yǎng)要持之以恒。當(dāng)然，自主探究、合作學(xué)習(xí)都需要空間，教師要為學(xué)生的活動搭好臺，留有比較充分的時間和空間，以確保自主探究、合作學(xué)習(xí)的質(zhì)量，使課堂教學(xué)的實(shí)效性得以落實(shí)。第二部分?jǐn)?shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識一、選擇題1．A【解析】(1+i)(1—i)=1—i2=22．A【解析】原式==8+2k—0=10∴k=13．C【解析】略4．C【解析】0．03×10×200=605．A【解析】(mm/min）6．C【解析】令x=y=0，f（0+0)=f(0）=f(0)+f（0）∴f（0）=0令x=1,y=—1，f（-1)=f(0）=f(1）+f(—1)—2=0∴f(-1）=0f（-2)=f(-1-1)=f（—1）+f（—1)+2=2f(-3）=f(-1）+f(—2）+4=67．A【解析】f-1（x)=log2x—3f-1(m）+f—1(n)=log2m+log2n—6=log2(mn）-6=log216-6=4—6=—28．B【解析】|MF1｜=2｜MF2｜ |MF2|=2a b2=2a2|MF1｜-｜MF2|=2a ｜MF2|=∴9．D【解析】m>n10．B【解析】Zmin=x—y=∴m=5二、填空題11．【解析】∴a=4,b=2,c=∴e=設(shè)雙曲線方程為∴a2=9,b2=3∴12．x∈（—∞，—2）∪（3,+∞）【解析】利用絕對值的幾何意義。13．ρ=2sinθ【解析】略14．—6【解析】a2+a4+a6+a8+a10=5a6∴f(5a6）=25a6=4∴5a6=2∴a6==a1+5d∴a1=原式==a1+a2+…+a10=+a1+9d)=—615．15【解析】利用勾股定理和余弦定理。三、解答題16．【解析】（Ⅰ）由cosC=，C是三角形內(nèi)角，得sinC=1－cos2C=∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×（Ⅱ）在△ACD中，由正弦定理,=6×AC=，CD=BC=3，cosC=,·由余弦定理得:AD==17．【解析】（Ⅰ）設(shè)事件A表示“甲選做14題”,事件B表示“乙選做14題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB+AB”,且事件A、B相互獨(dú)立∴P(AB+AB)=P(A）P(B）+P(A)P（B）…=×+(1－)×（1－)=(Ⅱ)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1,2，3，4．且ξ~B（4，)．∴P(ξ=k)=（k=0，1,2，3,4）所以變量ξ的分布列為Ξ01234PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=2或Eξ=np=4×=218．【解析】解法一：（Ⅰ)證明：連結(jié)AC，在△CPA中EF//PA且PA∈平面PAD∴EF//平面PAD（Ⅱ）證明:因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD所以，CD⊥平面PAD∴CD⊥PA又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD面PCDPA⊥面PDC又PA面PAD面PAD⊥面PDC(Ⅲ)解：設(shè)PD的中點(diǎn)為M，連結(jié)EM,MF，則EM⊥PD由(Ⅱ)知EF⊥面PDC，EF⊥PDPD⊥面EFMPD⊥MF∠EMF是二面角B－PD－C的平面角Rt△FEM中,EF=PA=aEM=CD=atan∠EMF=故所求二面角的正切值為解法二：如圖,取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OF。∵PA=PD,∴PO⊥AD?！邆?cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD，而O,F分別為AD,BD的中點(diǎn),∴OF//AB，又ABCD是正方形,故OF⊥AD．∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD,OP=OA=。以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA，OF，OP為x，y，z軸建立空間直線坐標(biāo)系，則有A（，0，0),F（0,，0）,D(－,0,0),P（0，0,),B(,a,0）,C（－,a，0）．∵E為PC的中點(diǎn)，∴E（－，，）．（Ⅰ）易知平面PAD的法向量為=(0,,0)而=（,0,－)，且=（0，,0)·(，0,－)=0,∴EF//平面PAD．（Ⅱ）∵=（,0,－)，=（0，a,0)∴=(，0,－)·（0,a，0）=0,∴，從而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，∴PA⊥平面PDC，而PA平面PAD,∴平面PDC⊥平面PAD（Ⅲ)由（Ⅱ）知平面PDC的法向量為=（，0，－a2）．設(shè)平面PBD的法向量為=（x,y，z)．∵=(,0，）,=(－a,a，0)，∴由可得·x+0·y+·z=0，－a·x+a·y+0·z=0,令x=1,則y=1，z=－1,故=（1，1，－1)∴cos〈,>=，即二面角B－PD－C的余弦值為，二面角B－PD－C的正切值為．19．【解析】(Ⅰ）由題意gx=3x2－ax+3a－5，令φx=3－xa+3x2－5，－1≤a≤1對－1≤a≤1，恒有g(shù)x〈0，即φa<0∴φ1〈03x2－x－2〈0φ－1<0即3x2+x－8<0,解得－<x<1故x∈（－，1)時，對滿足－1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)x〈0(Ⅱ）f′x=3x2－3m2①當(dāng)m=0時，fx=x3－1的圖象與直線y=3只有一個公共點(diǎn)②當(dāng)m≠0時，列表：x（－∞,|m|）－|m｜(－｜m|,｜m|）|m｜(｜m|，+∞)f′(x)+0－0+F（x）↗極大↘極小↗∴f(x)極小=f｜x｜=－2m2|m｜－1<－1又∵fx的值域是R,且在(|m|，+∞）上單調(diào)遞增∴當(dāng)x>｜m|時函數(shù)y=f(x）的圖像與直線y=3只有一個公共點(diǎn).當(dāng)x<｜m｜時，恒有f（x)≤f（－|m|)由題意得f（－｜m|）<3,即2m2｜m｜－1=2｜m｜3－1<3，解得m∈（－,0∪0，）綜上，m的取值范圍是（－，)20．【解析】(1)∵F0(c，0),F1（0，－），F(xiàn)2（0,）∴｜F0F1｜＝=b=1,|F1F2｜＝2=1于是c2=，a2=b2+c2=，所求“果圓”方程為x2+y2=1（x≥0)，y2+x2=1（x≤0）(2）由題意，得a＋c＞2b，即>2b－a∵(2b）2＞b2＋c2,∴a2－b2＞（2b－a）2，得又b2＞c2＝a2－b2,∴∴∈（)(3)設(shè)“果圓”的方程為(x≥0）（x≤0）設(shè)平行弦的斜率為k當(dāng)k＝0時，直線y＝t(－b≤t≤b）與半橢圓(x≥0）的交點(diǎn)是p(a，t)，與半橢圓（x≤0）的交點(diǎn)是Q（－c，t)．∴P、Q的中點(diǎn)M（x,y）滿足 x=y=t得．·∵a＜2b,∴．·綜上所述，當(dāng)k＝0時,“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個橢圓。當(dāng)k＞0時，以k為斜率過B1的直線l與半橢圓（x≥0）的交點(diǎn)是()由此,在直線l右側(cè),以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線y=上,即不在某一橢圓上。當(dāng)k＜0時，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上。四、教學(xué)技能21．【答案要點(diǎn)】(1)普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程理念、課程目標(biāo)、課程體系、課堂內(nèi)容、課程學(xué)習(xí)方式以及課程評價等方面充分體現(xiàn)了課程改革的精神，而課堂教學(xué)是積極實(shí)施新課程、滲透教學(xué)新理念的主要渠道。課堂教學(xué)作