13探索三角形全等的條件（七~八）

1.3探索三角形全等的條件（七~八）【推本溯源】1.角平分線的畫法：如圖，是任意一個角，在，邊上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點(diǎn)的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS那除了用刻度尺的畫法，我們還可以用圓規(guī)和直尺作角平分線嗎？作法：以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D；分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M；作射線OM。OM是∠ABC的角平分線。 2.如圖，PC=PD，QC=QD，PQ與CD相交與點(diǎn)E，證：PQ⊥CD由此，你能發(fā)現(xiàn)用直尺和圓規(guī)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法嗎？作法：（1）以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，使它與AB交于點(diǎn)C、D；（2）分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q；（3）作直線PQ。直線PQ是經(jīng)過直線AB外一點(diǎn)P的AB的垂線。3.按下列做法，用直尺和圓規(guī)作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點(diǎn)B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ與點(diǎn)A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形?？匆幌伦约鹤鞯娜切魏推渌瑢W(xué)完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運(yùn)用AAS證全等即可。通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）【解惑】例1：王師傅用角尺平分一個角，如圖①，學(xué)生小顧用三角尺平分一個角，如圖②，他們都在兩邊上分別取，前者使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點(diǎn)為；后者分別過，作，的垂線，交點(diǎn)為，則射線平分，均可由得知，其依據(jù)分別是（）A．； B．； C．； D．；【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：王師傅用角尺平分一個角時使得：，，，故王師傅的依據(jù)為：；學(xué)生小顧用三角尺平分一個角時使得：，，且，故學(xué)生小顧的依據(jù)為：；即可得到結(jié)果【詳解】∵王師傅用角尺平分一個角，在兩邊上分別取，使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點(diǎn)為；∴，，，∴，故王師傅的依據(jù)為：；∵學(xué)生小顧用三角尺平分一個角，在兩邊上分別取，分別過，作，的垂線，交點(diǎn)為，∴，，且，∴，故學(xué)生小顧的依據(jù)為：；故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和角平分線的概念，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵例2：如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，則______度．【答案】180【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由是的角平分線可得，可證出，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，是的角平分線，，，，

，，故答案為：180．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證出．例3：下面是小芳同學(xué)設(shè)計的“過直線外一點(diǎn)作這條直線垂線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P．作法：如圖2，①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A、B兩點(diǎn)；②連接PA和PB；③作∠APB的角平分線PQ，交直線l于點(diǎn)Q．④作直線PQ．∴直線PQ就是所求的直線．根據(jù)小芳設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡）；（2）補(bǔ)全下面證明過程：證明：∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵PA=，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（

）（填推理依據(jù)）．∴∠PQA=∠PQB（

）（填推理依據(jù)）．又∵∠PQA＋∠PQB＝180°，∴∠PQA=∠PQB＝90°．∴PQ⊥l．【答案】（1）見詳解；（2）PB，兩邊及其夾角相等的兩三角形全等，全等三角形對應(yīng)角相等．【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分線PQ即作出所求圖；（2）根據(jù)作圖過程知PA=PB，再根據(jù)三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性質(zhì)．【詳解】（1）如圖：（2）PB；兩邊及其夾角相等的兩三角形全等；全等三角形對應(yīng)角相等．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生的動手能力——尺規(guī)作圖中角平分線和垂直平分線的作法，涉及到三角形全等的判定和性質(zhì)，難度一般．例4：如圖，在8×6的方格紙中有線段AD，其中A，D在格點(diǎn)上，請分別按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一個即可．）（1）在圖1中，作△ABC，使AD為△ABC的中線，點(diǎn)B，C在格點(diǎn)上．（2）在圖2中，作△ABC，使AD為△ABC的高線，點(diǎn)B，C在格點(diǎn)上．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可．【詳解】解：（1）如圖1中，△ABC即為所求．（答案不唯一）（2）如圖2中，△ABC即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．例5：如圖，四邊形中，，，，，與相交于點(diǎn)F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)即可證明．（2）根據(jù)得到，結(jié)合得到，即可得結(jié)論．【詳解】（1）解：在和中，∴．（2）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，常用的判定方法有：、、、、等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2022·四川廣元·統(tǒng)考一模）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點(diǎn)P、Q，接著在射線MN上以點(diǎn)M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點(diǎn)N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點(diǎn)，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數(shù)為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°【答案】D【分析】利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：連接CN、DN．由作圖可知，CM=DM，CN=DN,在△MCN和△MDN中，，∴△MCN≌△MDN（SSS），∴∠CMN=∠DMN，∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，∴∠CMD=2∠AOB=40°，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．2．（2022秋·天津·八年級天津市第五十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的平分線OC的作法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)D，E；（2）分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C；（3）畫射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線．在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS【答案】C【分析】連接EC，DC，根據(jù)作圖的過程證明三角形全等即可；，【詳解】【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線作圖和全等三角形的判定，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，利用尺規(guī)作∠AOB的平分線，做法如下：①在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于一點(diǎn)C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線．在用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【分析】利用基本作圖得到，，加上公共邊線段，則利用“SSS”可證明△EOC≌△DOC，于是有∠EOC＝∠DOC．【詳解】由作法得，，而OC＝OC，所以△EOC≌△DOC(SSS)，所以∠EOC＝∠DOC，即射線OC就是∠AOB的角平分線，故選：A．【點(diǎn)睛】本題屬于角平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握三角形的全等判定是解決本題的關(guān)鍵.4．（2022秋·湖南·八年級期中）如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H；再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于GH的長為半徑作圓弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫射線BO，交AD于點(diǎn)E．連結(jié)OG、OH．若∠A＝124°，則∠AEB的大小是___度．【答案】28．【分析】由作圖可知BE平分∠ABC，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)求出∠AEB的大小即可．【詳解】解：由作圖可知：∠ABE＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠A＋∠ABC=180°，∵∠A＝124°，∴∠ABC=56°，∴∠AEB＝∠ABC=＝28°，故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作法和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確角平分線的作法和熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理計算．5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，則________（填“”、“”或“”）．【答案】=【分析】根據(jù)作圖步驟可判定MN為線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質(zhì)和題中的條件，即可確定線段BD與AC的大?。驹斀狻坑勺鲌D步驟①可得：直線MN是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)D在MN上∴BD=CD又∵CD=AC∴BD=AC故答案為：=【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)作圖的過程判定直線MN是線段BC的中點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，中，，是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，，若，則的值為____________.

【答案】【分析】先證明，然后得到求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．7.（2021秋·北京·八年級北京四中?？计谥校┤鐖D，已知．按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交、于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)C．則射線是的角平分線．根據(jù)上面的作法，完成以下問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，作出射線（請保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過程．（注：括號里填寫推理的依據(jù)）．連接，．在和中，∵∴（

），∴________（

），即平分．【答案】（1）見解析；（2），，全等三角形的對應(yīng)角相等【分析】（1）根據(jù)題目中的作圖步驟畫圖即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)，補(bǔ)充完整即可．【詳解】（1）如圖所示，射線即為所求；（2）連接，．在和中，∵∴（SSS

），∴∠BOC（全等三角形對應(yīng)角相等），即平分．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的畫法和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確角平分線畫法，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明．8．（2020秋·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖,在△ABC中,∠BAC是鈍角,按要求完成下列畫圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）①用尺規(guī)作∠BAC的角平分線AE．②用三角板作BC邊上的高AD．③用尺規(guī)作AB邊上的垂直平分線．【答案】見解析.【分析】（1）根據(jù)角平分線的做法作圖即可；（2）利用直角三角板，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊過點(diǎn)B，再畫垂線即可；（3）根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖．【詳解】解：(1)如圖所示：AE即為所求；(2)如圖所示：AD即為所求；(3)如圖所示：MN即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握角平分線和線段垂直平分線的基本作圖方法．【知不足】1．（2021·河北·九年級專題練習(xí)）圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關(guān)于四條?、?、②、③、④有四種說法：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的??；（2）?、谑且訮為圓心，任意長為半徑所畫的??；（3）?、凼且訟為圓心，任意長為半徑所畫的?。唬?）?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的??；其中正確說法的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)基本作圖的方法即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確；（2）?、谑且訮為圓心，大于點(diǎn)P到直線的距離為半徑所畫的弧，錯誤；（3）?、凼且訟為圓心，大于AB的長為半徑所畫的弧，錯誤；（4）?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧，正確．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握基本作圖的方法．2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】A【分析】根據(jù)判定三角形全等的方法分析即可求解．【詳解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了判定三角形全等的方法，熟練掌握判定三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點(diǎn)M，N作，OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線，則平分的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用判定方法“”證明和全等，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，，，在和中，，，，是的平分線．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·遼寧鐵嶺·八年級校考期末）如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動，要使和全等，則______．【答案】6或12/12或6【分析】分情況討論：①，此時，可據(jù)此求出P的位置；②，此時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．【詳解】解：①當(dāng)時，∵，在與中，∴，∴；②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時，，在與中，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，才能和全等，綜上所述，或12，故答案為：6或12．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩個三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵，當(dāng)題中沒有明確全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角時，要分情況討論，以免漏解．5．（2023秋·福建莆田·八年級期末）如圖，在中，，，，P，Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動，，要使與全等，則_____．【答案】12或者6/6或12【分析】分、兩種情況討論即可作答．【詳解】∵，∴，∴是直角三角形，分情況討論：∵，，∴當(dāng)時，結(jié)合，利用“”即有；當(dāng)時，結(jié)合，利用“”即有；即的值為12或者6，故答案為：12或者6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等直角三角形的判定的知識，掌握利用“”證明兩個直角三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定與全等的依據(jù)是________________．【答案】【分析】根據(jù)判斷出．【詳解】解：∵滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，在和中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題．7．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在與中，，，，，則______．【答案】40°【分析】根據(jù)HL，可以證明，則，再根據(jù)余角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，∴∴，∵，∴，故答案為：40°【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)．8．（2021秋·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖①，點(diǎn)P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn)，我們可以分別OA、OB在截取點(diǎn)M、N，使OM=ON，連結(jié)PM、PN，就可得到.（1）請你在圖①中,根據(jù)題意，畫出上面敘述的全等三角形和，并加以證明．（2）請你參考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列問題：（Ⅰ）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系.（Ⅱ）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（Ⅰ）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）（Ⅰ）FE=FD，證明見詳解；（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由見詳解.【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形，直接根據(jù)SAS，即可證明；（2）（Ⅰ）過點(diǎn)F作FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，由角平分線性質(zhì)，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，又∠FDH=FEG=75°，由AAS證明△EFG≌△DFH，即可得到FE=FD；（Ⅱ）與（Ⅰ）同理，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，由∠ABC=60°，得到∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，又∠FEG=∠BAF+60°，則∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，然后利用AAS證明△EFG≌△DFH，即可得到結(jié)論成立.【詳解】解：（1）如圖，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC=∠BOC，∵OM=ON，OP=OP，∴△POM≌△PON（SAS）；（2）（Ⅰ）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴點(diǎn)F為內(nèi)心，則BF平分∠ABC，∵FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，∴FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠DAC=15°，∠ACE=45°，∴∠FEG=∠BAC+ACE=30°+45°=75°，∠FDH=90°15°=75°，∴∠FDH=FEG=75°，∴△EFG≌△DFH（AAS），∴FE=FD；（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由如下：如圖，與（Ⅰ）同理，過點(diǎn)F作FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，由（Ⅰ）可知，F(xiàn)G=FH，∠FGE=∠FHD=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠BCA=120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠BCA）=，∵∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，∠FEG=∠BAC+∠FCA=∠BAF+∠FAC+∠FCA=∠BAF+60°，∴∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，∴△EFG≌△DFH（AAS），∴FE=FD.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定理，以及三角形外角性質(zhì).解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形的條件，從而證明三角形全等.【一覽眾山小】1．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，，若cm，則的值為（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】B【分析】由條件可證明，則可求得，可求得答案．【詳解】∵，∴∴，在和中，

∴，∴，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證全等及邊的轉(zhuǎn)換．2．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知的兩邊上分別取點(diǎn)，，使，再過點(diǎn)畫的垂線，過點(diǎn)畫的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，畫射線．可以得到，所以．那么射線就是的平分線．的依據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【答案】C【分析】根據(jù)作圖過程可以證明RtRt（HL），進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】∵，在Rt和Rt中，，∴RtRt（HL），∴，∴射線就是的平分線故選：C【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：已知線段a，b．求作：，使得斜邊，一條直角邊．作法：（1）作射線、，且．（2）以A為圓心，線段b長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C．（3）以C為圓心，線段a長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)B．（4）連接．則就是所求作的三角形．上述尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作法可知，根據(jù)即可判定三角形全等．【詳解】解：題干尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在課堂上，老師發(fā)給每人一張印有（如圖所示）的卡片，然后，要同學(xué)們嘗試畫一個，使得.小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示老師評價：他倆的做法都正確.請你選擇一位同學(xué)的做法，并說出其作圖依據(jù).我選______的做法（填“小趙”或“小劉”），他作圖判定的依據(jù)是______【答案】小劉(或小趙)（或）【分析】由圖可知小趙同學(xué)確定的是兩條直角邊，根據(jù)三角形全等判定定理為．由圖可知小劉同學(xué)確定了一個直角邊和斜邊，根據(jù)三角形全等判定定理為．【詳解】小趙同學(xué)畫了后，再截取兩直角邊等于兩已知線段，所以確定的依據(jù)是定理；小劉同學(xué)畫了后，再截取一直角邊和一個斜邊，所以確定的依據(jù)是定理．故答案為：小劉(或小趙)；（或）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握每種證明方法，做出判斷是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·吉林長春·八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學(xué)的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點(diǎn)O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點(diǎn)M，N作OA，OB的垂線，交點(diǎn)為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請根據(jù)以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據(jù)是．(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據(jù))(3)小剛的作法正確嗎?請說明理由【答案】（1）等腰三角形三線合一定理；（2）CM=CN，邊邊邊；（3）正確，證明見詳解．【分析】（1）利用等腰三角形三線合一定理，即可得到結(jié)論成立；（2）利用SSS，即可證明△OMC≌△ONC，補(bǔ)全條件即可；（3）利用HL，即可證明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到結(jié)論成立．【詳解】解：（1）∵OM=ON，∴△OMN是等腰三角形，∵OP⊥MN，∴OP是底邊上的高，也是底邊上的中線，也是∠MON的角平分線；故答案為：等腰三角形三線合一定理；（2）證明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，∴△OMC≌△ONC（邊邊邊）；∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB；故答案為：CM=CN，邊邊邊；（3）小剛的作法正確，證明如下：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°，∵OM=ON，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB；小剛的作法正確．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．6．（2021·吉林·九年級專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題老師說：“小華的作法正確”請回答：小華第二步作圖的依據(jù)是______．【答案】等腰三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：小華第二步作圖的依據(jù)是等腰三角形的性質(zhì)，故答案為等腰三角形的性質(zhì)．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖：五種基本作圖一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，逐步操作．7．（2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）按要求完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．已知：在中，，．(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點(diǎn)．(2)求所作圖形中的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用基本作圖，過點(diǎn)作于，再利用基本作圖作的平分線，與相交于點(diǎn)；（2）首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余計算出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)同角的余角相等得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）如圖，線段是邊上的高，線段是的角平分線．（2），，，，是的角平分線，，線段是邊上的高，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖——基本作圖，也考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)，熟練掌握基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上，點(diǎn)C在內(nèi)部.(1)若，①如圖1，若，求證：.②如圖2，若，求證：OC平分.(2)如圖3，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動，點(diǎn)C隨之運(yùn)動，且，P為OM上定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到何處時，PC的長度最短？請用尺規(guī)作圖作出PC最短時C點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不要寫作法）【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到PC⊥OC時，PC最短，作圖見解析【分析】（1）①如圖1，連接OC，可證得Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），即可得出CA=CB．②如圖2，過點(diǎn)O作OD⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OC，可證得△OAE≌△OBD（AAS），Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），即可得出OC平分∠ACB．（2）如圖3，過點(diǎn)C作CD⊥OM于點(diǎn)D，CE⊥ON于點(diǎn)E，作射線OC，可證得△CAD≌△CBE（AAS），Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），得出點(diǎn)C在∠MON的平分線上運(yùn)動，所以當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到PC⊥OC時，PC最短時C點(diǎn)的位置．【詳解】（1）證明：①如圖1，連接OC，∵CA⊥OM，CB⊥ON，∴∠OAC=∠OBC=90°，在Rt△OAC和Rt△OBC中，，∴Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），∴CA=CB．②如圖2，過點(diǎn)O作OD⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OC，則∠OEA=∠ODB=90°，∵∠ACB=∠MON=90°，∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°，∴∠OAE+∠OBC=180°，∵∠OBD+∠OBC=180°，∴∠OAE=∠OBD，在△OAE和△OBD中，，∴△OAE≌△OBD（AAS），∴OE=OD，在Rt△OCE和Rt△OCD中，，∴Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），∴∠OCE=∠OCD，∴OC平分∠ACB．（2）如圖3，過點(diǎn)C作CD⊥OM于點(diǎn)D，CE⊥ON于點(diǎn)E，作射線OC，則∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=∠MON=90°，∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°，∴∠CAD+∠OBC=180°，∵∠CBE+∠OBC=180°，∴∠CAD=∠CBE，在△CAD和△CBE中，，∴△CAD≌△CBE（AAS），∴CD=CE，在Rt△OCD和Rt△OCE中，

，∴Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），∴∠COD=∠COE，∴OC平分∠MON．∴點(diǎn)C在∠MON的平分線上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到PC⊥OC時，PC最短，可以過點(diǎn)P作OC的垂線段找到，如圖3所示，點(diǎn)C′即為所求作的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2023春·全國·七年級期末）已知ABC．(1)如圖1，按如下要求用尺規(guī)作圖：①作出ABC的中線CD；②延長CD至E，使DE＝CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)在（1）中，直線AE與直線BC的關(guān)系是；(3)如圖2，若∠ACB＝，CD是中線．試探究CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)如圖3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中線，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，交CD于點(diǎn)F，連接DE．若CF＝4，則DE的長是．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析(4)【分析】（1）①根據(jù)三角形的中線的定義，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接即可．②根據(jù)要求，延長CD至E，使DE＝CD，連接AE即可．（2）結(jié)論：，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．（3）結(jié)論：．利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．（4）利用全等三角形的性質(zhì)證明，再利用（3）中結(jié)論解決問題．【詳解】（1）①如圖1所示，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則線段CD即為所求；②如圖1中，線段DE，AE即為所求；（2）結(jié)論：．理由：在△CDB和△EDA中，，∴△CDB≌△EDA（SAS），∴∠B=∠DAE，∴．故答案為：．（3）AB與CD的數(shù)量關(guān)系是：AB=2CD，理由如下：如圖32，延長CD至E，使DE=DC，連接BE，∵CD是中線，∴AD=BD，在△ADC和△BDE中，，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴∠E=∠ACD，AC=BE，∴，∴∠ACB+∠EBC=，∵∠ACB=，∴∠EBC=，在△ACB和△EBC中，，∴△ACB≌△EBC（SAS），∴AB=CE，∵CE=2CD，∴AB=2CD．（4）如圖3中，∵BE⊥AC，∠ACB=，∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=，∴EC=EB，∵AC=BC，CD是中線，∴CD⊥AB，∵∠CEF=∠BDF=，