寒假作業(yè)14相似三角形的基本模型

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)14相似三角形的基本模型相似三角形是初中幾何中的重要內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型．本課時(shí)就相似三角形的基本模型：（雙）A字模型、（雙）8（X）字模型、母子模型（共邊共角模型）、“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）、一線三等角（K字）模型、半角模型、對(duì)角互補(bǔ)模型等進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握．1．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)E，連接，則與的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【解析】如圖，由題意可知，，，∴，而，∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴，∴，，∴，∴．故選D．2.如圖，相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在同一條直線上．已知，則之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，即，故選C．3．如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點(diǎn)、、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為______．【答案】1∶3【解析】∵四邊形和四邊形均為正方形，∴設(shè)四邊形和四邊形的邊長(zhǎng)為x，則EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得x＝2.5，∴AP＝2.5，EM＝5，∴，又∵＝25，∴＝，∴∶＝1∶3，故答案為：1∶3．4．如圖，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足．(1)證明：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【解析】（1）在與中，，，∴.（2）∵，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，解得，∴，．5．在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長(zhǎng)．【解析】（1）∵是斜邊上的高，∴，，∴，∴.又∵，∴.（2）∵，∴，又，∴．6．如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∵，∴，解得．7．如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側(cè)作等腰和等腰，且．在線段上取一點(diǎn)，使，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【解析】（1）由題知和均為等腰三角形，且，，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴.（2）如圖，取的中點(diǎn)H，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（負(fù)值已舍），經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，且符合題意，∴．8．(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．求的值．【解析】(1)∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE.(2).理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，.(3)∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，．9．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作射線CP∥AB，D為射線CP上一點(diǎn)，E在邊BC上（不與B、C重合）且∠DAE＝45°，AC與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求證：CD2＝CO?CA．【解析】(1)∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∵∠DAE=45°，∴，∴，∴∠DAC=∠EAB，∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB，∴，又∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB．(2)∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°90°45°=45°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠CAD=180°∠ADE∠CDE∠ACD=180°90°22.5°45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE，又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO?CA．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長(zhǎng)是．【答案】【解析】如圖，取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，交AF于H，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝MH，連接AG，∵點(diǎn)M，點(diǎn)N是AD，BC的中點(diǎn)，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴ABG≌AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE，∴AEG≌AEH（SAS），∴EH＝EG，∴EH＝BE+BG=BE+MH=2+MH，在RtHEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝．∵M(jìn)N∥CD，∴AHM∽AFD，∴，∴DF＝×＝，故答案為：．11．(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，交于點(diǎn)G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．若平分，求的長(zhǎng)．【解析】(1)∵，∴，∴，∴．∵，∴．(2)由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．(3)如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，作，垂足為N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．12．【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形和擺放在一起，點(diǎn)為公共頂點(diǎn)，，若固定不動(dòng)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，邊，與邊分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），則結(jié)論是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【類比引申】（2）如圖2，在正方形中，為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)角，兩邊分別與，交于點(diǎn)，，且滿足，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，菱形的邊長(zhǎng)為，，的兩邊分別與，相交于點(diǎn)，，且滿足，若，則線段的長(zhǎng)為______．【解析】（1）結(jié)論成立.理由：如圖1，∵和都是等腰直角三角形，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：成立．（2）如圖2，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴.（3）線段的長(zhǎng)為．理由：如圖3，在上取一點(diǎn)，使，過(guò)作于，∵四邊形為菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴2AN=AD，2AN=，∴，∵，∴，∴，∵菱形的邊長(zhǎng)為，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴線段的長(zhǎng)為．故答案為．13．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯是公元1世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線與三角形的三邊或其延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不能是三角形的頂點(diǎn)），可以得到六條線段，三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡(jiǎn)稱梅氏定理．如圖1，直線交線段于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可截得六條線段，，，，，，則這六條線段滿足．下面是該定理的一部分證明過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有（依據(jù)），…(1)上述過(guò)程中的依據(jù)指的是________；(2)請(qǐng)將該定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)在圖1中，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的值為________；(4)在圖1中，若，，則的值為________．【解析】（1）上述過(guò)程中的依據(jù)指的是：平行線分線段成比例.（2）該定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整如下：，，，，即．（3）點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，,即，，，．故答案為3.（4）如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為．14．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)，并直接寫出的面積．【解析】（1）在中，∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴，．由賽瓦定理可得：，∴，∴，即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）∵為等邊三角形，，∴．∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴．由賽瓦定理可得：；如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BCBG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴．15．（2023·陜西·中考真題）如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【解析】是的中位線，，，，，，∴．故選C．16．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線，的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】∵和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設(shè)，∴,∴，∴，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示．

∵，，∴，∴．∵，．∴，，∴，∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，∵，∴當(dāng)在的下方且與相切時(shí)，的值最小，，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，故④正確，故選D．17．（2023·海南·中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F，則．若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【答案】；【解析】如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，∴由題意可得：，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．過(guò)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條平行于的線段，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，∴，∵，∴，∴，即，解得，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.故答案為：；.18．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在邊上（不與點(diǎn)A，C重合），連接，以Q為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)M．若，（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．【解析】（1）在正方形中，，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)N，如圖所示：∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴．∵，∴，如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)N，

∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．19．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．【探究一】如