湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校等多校2024--2025學(xué)年上學(xué)期九年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校等多校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過點(diǎn)（）A． B． C． D．2．方程的解是（）A． B．C． D．3．在函數(shù)（k是常數(shù)，且）的圖象上有三點(diǎn)，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．關(guān)于x的一元二次方程中，它的一個根為，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)隨x的增大而減小，另有函數(shù)，兩個函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象可能是（）A．B．C．D．6．某機(jī)械廠一月份生產(chǎn)零件50萬個，第一季度生產(chǎn)零件200萬個．設(shè)該廠二、三月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A． B．C． D．7．若一個直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積為（）A．12 B．10 C．7.5 D．68．某個亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實(shí)現(xiàn)．如圖所示的是該臺燈的電流與電阻的關(guān)系圖象，該圖象經(jīng)過點(diǎn)．根據(jù)圖象可知，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，B．I與R的函數(shù)關(guān)系式是C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，I的取值范圍是9．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸上，且．的面積為10，則k的值為（）A．6 B．7 C．8 D．910．《代數(shù)學(xué)》中記載，形如的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．”小唐按此方法解關(guān)于x的方程時，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為64，則該方程的正數(shù)解為（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的值等于______．12．某班同學(xué)畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1056張照片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為______．13．在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則k的值為______．14．如圖，已知A為反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為B，若的面積為3，則k的值為______．15．已知a是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為______．16．已知a，b，c分別是的三邊，其中且關(guān)于x的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的形狀為______．17．若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍是______．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若，且的面積是12，則k的值為______．三、解答題：本題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19．（本小題6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）；（2）．20．（本小題6分）先化簡，再求值：，其中x滿足．21．（本小題8分）關(guān)于x的一元二次方程．（1）如果方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）如果是這個方程的兩個根，且，求k的值．22．（本小題8分）如圖，已知是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求三角形AOB的面積．23．（本小題9分）學(xué)校的學(xué)生專用智能飲水機(jī)在工作過程：先進(jìn)水加滿，再加熱至?xí)r自動停止加熱，進(jìn)入冷卻期，水溫降至?xí)r自動加熱，水溫升至又自動停止加熱，進(jìn)入冷卻期，此為一個循環(huán)加熱周期，在不重新加入水的情況下，一直如此循環(huán)工作，如圖，表示從加熱階段的某一時刻開始計(jì)時，時間x（分）與對應(yīng)的水溫為函數(shù)圖象關(guān)系，已知AB段為線段，BC段為雙曲線一部分，點(diǎn)A為，點(diǎn)B為，點(diǎn)C為．（1）求出AB段加熱過程的y與x的函數(shù)關(guān)系式和a的值．（2）若水溫在時為不適飲水溫度，在內(nèi)，在不重新加入水的情況下，不適飲水溫度的持續(xù)時間為多少分？24．（本小題9分）已知關(guān)于x的一元二次方程（1）若方程有一個解為0，求k的值；（2）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（3）若的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)是直角三角形時，求k的值．25．（本小題10分）將代數(shù)式通過配方得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有廣泛的應(yīng)用．我們定義：一個整數(shù)能表示成（是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，所以5是“完美數(shù)”．（1）數(shù)52______“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；（2）已知（是整數(shù)，k是常數(shù)）要使s為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說明理由；（3）如圖，在中，，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C以的速度移動，點(diǎn)Q在CB邊上以的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動．若點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)的面積為，運(yùn)動時間為t秒，求S的最大值．26．（本小題10分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上，，動點(diǎn)P在x軸的上方，且滿足．（1）若點(diǎn)P在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）連接PO、PA，求的最小值；（3）若點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

答案和解析1．【答案】C【解析】解：由題知，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以．若兩個點(diǎn)在同一個反比例函數(shù)圖象上，則它們的橫、縱坐標(biāo)的積（即k的值）相等．因?yàn)椋蔄選項(xiàng)不符合題意．因?yàn)?，故B選項(xiàng)不符合題意．因?yàn)?，所以C選項(xiàng)符合題意．因?yàn)?，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知，同一個反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積（即k的值）相等，據(jù)此可解決問題．本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知同一個反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積（即k的值）相等是解題的關(guān)鍵．2．【答案】C【解析】解：直接因式分解得，解得．故選：C．在方程左邊兩項(xiàng)中都含有公因式x，所以可用提公因式法．本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運(yùn)用．3．【答案】C【解析】解：∵函數(shù)（為常數(shù)，且）中，∴函數(shù)圖象的兩個分支分別在一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減少，，，，，．故選：C．根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合三點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可．本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．4．【答案】C【解析】解：把代入方程得．故選：C．直接把代入方程得到a、b、c的關(guān)系，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5．【答案】B【解析】解：∵函數(shù)中y隨x的增大而減小，，且函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴函數(shù)的反比例系數(shù)大于零，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，故選：B．先由函數(shù)中y隨x的增大而減小得到，且函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，然后可知函數(shù)的反比例系數(shù)大于零，從而得知反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，即可得到結(jié)果．本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)．6．【答案】C【解析】解：依題意得二、三月份的產(chǎn)量為，．故選：C．主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量增長率），如果該廠二、三月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示二、三月份的產(chǎn)量，然后根據(jù)題意可得出方程．考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識．7．【答案】D【解析】解：，，或，所以，即三角形的兩條邊長分別3、5，所以第三邊長為，所以該三角形的面積．故選：D．先利用因式分解法解方程得到三角形的兩條邊長分別3、5，再利用勾股定理計(jì)算出第三邊長為4，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算該三角形的面積．本題考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．8．【答案】D【解析】解：設(shè)I與R的函數(shù)關(guān)系式是，∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，與R的函數(shù)關(guān)系式是，故B不符合題意；當(dāng)時，，，隨R增大而減小，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，I的取值范圍是，故A、C不符合題意，D符合題意．故選：D．設(shè)I與R的函數(shù)關(guān)系式是，利用待定系數(shù)法求出，然后求出當(dāng)時，，再由，得到I隨R增大而減小，由此對各選項(xiàng)逐一判斷即可．本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．【答案】C【解析】解：如圖，連接OA，∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，的面積為10，，即，解得：．故選：C．在反比例圖象上任意一點(diǎn)，從這一點(diǎn)分別向x、y軸作垂線，所圍成的四邊形的面積等于．根據(jù)比例函數(shù)k的幾何意義可得，根據(jù)可得，根據(jù)的面積為10列方程即可得答案．本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，正確得出是解題關(guān)鍵．10．【答案】A【解析】解：∵陰影部分的面積為64，，設(shè)，則，先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為3x的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為，故選：A．由題意得出，設(shè)，則，再根據(jù)題意先構(gòu)造一個面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為3x的矩形，得到大正方形的面積為，即可得解．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．11．【答案】【解析】解：是反比例函數(shù)，，．故答案為．根據(jù)反比例函數(shù)的定義先求出m的值，再根據(jù)系數(shù)不為0進(jìn)行取舍．本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點(diǎn)是將一般式轉(zhuǎn)化為的形式．12．【答案】【解析】解：∵全班有x名同學(xué)，∴每名同學(xué)要送出張；又∵是互送照片，∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是．故答案為：．如果全班有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出張，共有x名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是張，即可列出方程．本題考查一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用．計(jì)算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關(guān)鍵．13．【答案】2【解析】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，，，故答案為：2．利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，然后解關(guān)于m的方程即可．本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)是（為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即是解題的關(guān)鍵．14．【答案】【解析】解：軸，，而，．故答案為：．利用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得到，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定k的值．本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．15．【答案】【解析】解：把代入，得，所以，所以故答案為：．把代入方程即可求得的值，然后將其整體代入所求的代數(shù)式并求值即可．本題考查了一元二次方程的解．解題時，逆用一元二次方程解的定義易得出所求式子的值，在解題時要重視解題思路的逆向分析．16．【答案】等腰三角形【解析】解：根據(jù)題意得，解得，，，為等腰三角形．故答案為等腰三角形．利用判別式的意義得到，解得，然后根據(jù)三角形的分類進(jìn)行判斷．本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．17．【答案】【解析】解：當(dāng)時，方程為，顯然有實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時，，解得且；綜上，．故答案為：．分和兩種情況，其中時根據(jù)題意列出關(guān)于k的不等式求解可得．本題主要考查根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．18．【答案】5【解析】解：∵四邊形OCBA是矩形，，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，∵點(diǎn)D，E在反比例函數(shù)的圖象上，，，，．故答案為5．設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及，表示出E、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，求出B的橫縱坐標(biāo)的積，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)．此題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，求出ab的值是解題的關(guān)鍵．19．【答案】解：（1），，，，，，，；（2），，，．【解析】（1）用配方法求解；（2）用公式法求解；本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)、靈活選用解方程的方法是關(guān)鍵．20．【答案】解：；滿足，，或，，且，∴當(dāng)時，原式．【解析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后解一元二次方程，求出x的值，再代入求值即可．本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解答此題的關(guān)鍵．21．【答案】解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，，解得：；（2）是這個方程的兩個根，，，，，解得：．【解析】（1）利用根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再整理所求的式子，代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．本題主要考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，明確是一元二次方程的兩根時，是解答的關(guān)鍵．22．【答案】解：（1）把點(diǎn)代入得，，即；將代入，得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，得，解得，；（2）當(dāng)時，，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，．【解析】（1）根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)三角形的面積公式，三角形面積的和差，可得答案．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求解析式，三角形面積公式及三角形面積的和差，熟練的求解函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．23．【答案】解：（1）設(shè)直線AB的表達(dá)式為，則，即，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：，解得，故直線AB的表達(dá)式為，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：，解得，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為，當(dāng)時，即，解得，即；（2）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，則，即不適飲水溫度的持續(xù)時間為分．【解析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，則，即可求解．本題考查的是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，正確得出函數(shù)解析是解題關(guān)鍵．24．【答案】解：（1）把代入原方程得，解得；（2）在中，，，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（3），即，解得，當(dāng)BC為直角邊時，，解得，當(dāng)BC為斜邊時，，解得：（不合題意，舍），綜上：k的值為12或3；【解析】（1）把代入原方程求解即可；（2）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出進(jìn)而可證出方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（3）利用因式分解法可求出AB，AC的長，分BC為直角邊及BC為斜邊兩種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三邊關(guān)系判定其是否構(gòu)成三角形）即可得出結(jié)論．本題考查一元二次方程綜合，涉及一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與直角三角形結(jié)合等，熟練掌握一元二次方程相關(guān)定義與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．25．【答案】是