陜西省渭南市臨渭區(qū)前進(jìn)路初級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年陜西省渭南市臨渭區(qū)前進(jìn)路中學(xué)九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知是關(guān)于x的一元二次方程，則（）

A.2 B.1 C. D.

2.在四邊形中，，.下列說法能使四邊形為矩形的是（）

A. B. C. D.

3.用配方法解下列方程，配方正確的是（）

A.可化為

B.可化為

C.可化為

D.可化為

4.一元二次方程的根的情況是（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根

5.已知是關(guān)于x的方程的一根，則C的值是（）

A.1 B.2 C.0 D.

6.菱形中，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，連接、、，則的周長為（）

A. B. C. D.3

7.若一個(gè)菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）

A. B. C. D.

8.在矩形中，，，P是上的動(dòng)點(diǎn)，于E，于F，則的值為（）

A. B.2 C. D.1二、填空題：本題共7小題，每小題3分，共21分。9.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______.

10.一種藥品原價(jià)每盒48元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒27元，兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為______.

11.如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知，則陰影部分的面積是______.

12.若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，，且，則p的值為______.

13.如圖，在中，，且，，點(diǎn)D是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，則線段的最小值為______.

14.如圖，四邊形是正方形，E、F分別在邊、上，將、分別沿、折疊后，、重合于的位置，且點(diǎn)G恰好在連線上．若正方形邊長為12，線段長為10，則的長為______.15.如圖所示，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)______秒鐘，能使的面積等于面積的.

三、解答題：本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題8分

（1）（配方法解）.（2）（公式法解）.（3）.（4）.

17.本小題8分

如圖，在平行四邊形中，E為線段的中點(diǎn)，連接，，延長，交于點(diǎn)F，連接，.

求證：四邊形是矩形；

若，，求四邊形的面積.18.本小題8分

已知關(guān)于x的一元二次方程.

（1）求證：無論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，求m的值.

19.本小題8分

如圖，矩形中，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交、邊于點(diǎn)E、F，.（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求的長.

20.本小題8分

已知關(guān)于x的一元二次方程.（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的一個(gè)根為，求k的值，并求出此時(shí)方程的另一根．

21.本小題8分

如圖，已知正方形，P是對角線上任意一點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且，，.（1）求證：四邊形是正方形；

（2）求證：.22.本小題8分

利用配方法證明：無論x取何實(shí)數(shù)值，代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)，并求它的最大值.

23.（本小題8分）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．

①若降價(jià)6元時(shí)，則平均每天銷售數(shù)量為多少件？

②當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元？

24.（本小題8分）如圖，平行四邊形中，、分別是、的平分線，且E、F分別在邊、上，.（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，的面積等于，求平行線與間的距離.

25.本小題8分

如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是每秒1個(gè)單位，連接、、.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是矩形；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（3）直接寫出以為對角線的正方形面積為96時(shí)t的值；

（4）求整個(gè)運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，線段掃過的面積是多少？

26.（本小題8分）如圖，是正方形的對角線，，E是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度先沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，再沿方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，以、為鄰邊作平行四邊形，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒

（1）當(dāng)時(shí)，試求的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段上時(shí)，求的長；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為菱形時(shí)，求t的值.答案和解析1.【答案】D

【解析】解：是關(guān)于x的一元二次方程，且，解得.

故選：D

根據(jù)一元二次方程的定義得到且，由此可以求得m的值．

本題考查了一元二次方程的定義．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）.特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．

2.【答案】C

【解析】解：A、，，四邊形是平行四邊形，

由，不能判定四邊形為矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、，，四邊形是平行四邊形，

由，不能判定四邊形為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、，，，，

，，的長為與間的距離，

，，，，

四邊形是矩形，故選項(xiàng)C符合題意；

D、，，，

，，，

四邊形是等腰梯形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選C.

由矩形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．

3.【答案】D

【解析】解：A、可化為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、可化為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、可化為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、可化為，故選項(xiàng)正確．

故選：D.利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)判斷即可得到結(jié)果．此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4.【答案】D

【解析】解：，

方程沒有實(shí)數(shù)根，

故選：D求出一元二次方程根的判別式；根據(jù)根的判別式即可判斷根的情況．

本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：

（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意知，滿足關(guān)于x的方程得，解得.

故選：D.

將代入已知方程，列出關(guān)于C的新方程，通過解新方程來求C的值即可．

本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及勾股定理的運(yùn)用．

根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定方法，得三角形是等邊三角形．則，根據(jù)勾股定理求得的長，同理得到的長，根據(jù)已知可推出是等邊三角形，從而得到其周長是.

【解答】

解：連接，

四邊形是菱形，，，為等邊三角形，

，，，

E為的中點(diǎn)，，，又，，

，同理：，

，由對稱性可知，，

是等邊三角形，，的周長為.

故選：B

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì)，掌握菱形對角線與菱形的面積、邊長間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系及等式的變形是解決本題的關(guān)鍵．

先設(shè)出菱形兩條對角線的長，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關(guān)系求出菱形的邊長．

【解答】

解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，由題意，得.

菱形的邊長

.

故選：C.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)，.，；

，故①；同理可得，故②．

①+②得，

.故選A.

根據(jù)；找出關(guān)系式解答．

此題比較簡單，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)解答即可．

9.【答案】且

【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，

且，

解得且，故答案為：且.

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．

根據(jù)一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義列出不等式，解不等式求解即可．

本題考查了一元二次方程（，a，b，c為常數(shù)）的定義以及根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】25%【解析】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，

由經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒27元，得：，

解得：，（舍去）；

故答案為：25%.

設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)原價(jià)每盒48元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒27元，列出方程進(jìn)行求解即可．

本題考查從實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，如圖，作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，

，，，四邊形是平行四邊形，

，，，，

，，，

同理：，，四邊形是菱形，

，.故答案為：.

首先過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，由題意可得四邊形是平行四邊形，繼而求得的長，判定四邊形是菱形，則可求得答案．

此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線．

12.【答案】【解析】解：，，，

而，，，故答案為：.

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后通分，，從而得到關(guān)于p的方程，解方程即可．

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩實(shí)數(shù)根為，，則，.

13.【答案】2.4

【解析】解：如圖，連接，

在中，，且，，

由勾股定理得，

，，，

四邊形是矩形，，，

當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，

，的最小值為2.4，

故答案為：2.4.

由勾股定理求出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，的值最小，再利用三角形面積求出，即可解答．

本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、垂線段最短，關(guān)鍵是掌握矩形的對角線相等．

14.【答案】6或8

【解析】解：由圖形折疊可得，，

正方形的邊長為12，，，

，，，，

在直角中，，，

解得，或8，故答案為：6或8.

由圖形折疊可得，，根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段的和差求出，在直角中，運(yùn)用勾股定理求解即可．

本題主要考查了折疊問題、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)線段的關(guān)系，利用勾股定理求解線段．

15.【答案】2或4

【解析】解：設(shè)經(jīng)過x秒的面積等于8平方厘米，，，，由題意，得

，

解得：，.

答：設(shè)經(jīng)過2秒或4秒，的面積等于面積的.

故答案是：2或4.

設(shè)經(jīng)過x秒的面積等于8平方厘米，，，，由三角形的面積公式建立方程求出其解即可．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，抓住關(guān)鍵描述語“使的面積等于面積的”，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：（1），，，即，

，，.

（2），，，，，，，.（3），，，或，

，；（4），，，，或，，.【解析】（1）按要求的方法求解即可；

（2）按題目要求的方法求解即可；

（3）利用因式分解法求解即可；

（4）利用因式分解法求解即可．

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，以及配方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵．

17.【答案】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，

，，E為線段的中點(diǎn)，，

，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；

（2）解：，，，四邊形是矩形，

，，，

，四邊形的面積=平行四邊形.

【解析】（1）證明，得，所以四邊形是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出的值，由，可得四邊形的面積=平行四邊形，進(jìn)而可以解決問題．

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．

18.【答案】解：（1），這里，，，

，.

無論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，

則，.，即，

.整理，得..解得，.m的值為或1.

【解析】（1）先確定a、b、c，再計(jì)算根的判別式，利用根的判別式得結(jié)論；

（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與積，再代入已知中得關(guān)于m的方程，求解即可．

本題考查了一元二次方程，掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式的變形等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．

19.【答案】（1）證明：四邊形是矩形，，，

O是對角線的中點(diǎn)，，又，

，，又，四邊形是平行四邊形，

又，是菱形；

（2）解：四邊形是矩形，，

在中，，，，

.四邊形是菱形，

，，，，

令，則，在中，

，，

解得，即，，.

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用證明，得到，得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，即可得證；

勾股定理求出的長，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求出x的值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．

本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】（1）證明：這里，，，

，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：把代入方程得：，解得：，

即方程為：，設(shè)另一根為m，根據(jù)題意得：，解得：.

【解析】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

（1）表示出方程根的判別式，判斷其值大于0即可得證；

（2）把代入方程求出k的值，確定出方程，即可求出另一根．

21.【答案】解：

（1）證明：四邊形是正方形，，平分，

，，，，

四邊形是矩形，，四邊形是正方形；

（2）證明：四邊形是正方形，，，，

，，

在和中，，

，.

【解析】（1）由四邊形是正方形，易得，平分，又由，，即可證得四邊形是正方形；

（2）由四邊形是正方形，易證得，即可證得：.

本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的各種性質(zhì)是證題的關(guān)鍵．

22.【答案】證明：

，，，

即無論x取何實(shí)數(shù)值，代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)，

當(dāng)時(shí)，有最大值.

【解析】先配方得到：，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，，即可得到結(jié)論；并且時(shí)，有最大值.

題考查了配方法的應(yīng)用：對于求代數(shù)式的最值問題，先通過配方，把代數(shù)式變形成一個(gè)完全平方式加上一個(gè)數(shù)的形式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定代數(shù)式的最值．

23.【答案】解：①根據(jù)題意得：

若降價(jià)6元，則多售出件，

則平均每天銷售數(shù)量為：件，

答：若降價(jià)6元時(shí)，則平均每天銷售數(shù)量為32件；

②設(shè)每件商品降價(jià)x元，

根據(jù)題意得：

，

化簡得，，

解得：，，

當(dāng)時(shí)，，符合題意，

當(dāng)時(shí)，，舍去，

答：當(dāng)每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元．

【解析】①根據(jù)“平均每天可售出20件，每件盈利40元，銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件，若降價(jià)6元”，列出平均每天銷售的數(shù)量即可，

②設(shè)每件商品降價(jià)x元，根據(jù)“平均每天可售出20件，每件盈利40元，銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出關(guān)于x的一元二次方程，解之，根據(jù)實(shí)際情況，找出盈利不少于25元的答案即可．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，

、分別是、的平分線，，，，，，

，，四邊形是平行四邊形，

，四邊形是菱形；

（2）解：連接，四邊形是平行四邊形，

，，平分，

，，，，

是等邊三角形，，

的面積等于，，，

即，由（1）知四邊形是菱形，

，，是的一個(gè)外角，

，，

，即，

由勾股定理得，

即平行線與間的距離是.

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形對角相等得到，再根據(jù)、分別是、的平分線，可得到，再根據(jù)平行四邊形對邊平行得到，于是有，得出，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；

（2）連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可證得，結(jié)合已知得到是等邊三角形，從而求出，，再證得，即可得到，根據(jù)勾股定理求出的長，從而得出平行線與間的距離．

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是此題的關(guān)鍵，理解平行線間的距離的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定．

25.【答案】解：（1）在矩形中，，，，，由題意可得，，，

在矩形中，，，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，

，解得：，

當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形；

（2）四邊形為菱形；理由如下：，

，，，，

，，四邊形為平行四邊形，

在中，，

，平行四邊形為菱形，

當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；

（3）以為對角線的正方形面積為96時(shí)t的值為：或；

（4）連接、，、相交于點(diǎn)E，

則整個(gè)運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，線段掃過的面積是：的面積的面積，如圖3所示：

的面積的面積矩形的面積，

整個(gè)運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，線段掃過的面積矩形的面積.

【解析】【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定、三角形面積公式以及分類討論等知識(shí)；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．

（1）由矩形性質(zhì)得出，，由已知可得，，，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，得出方程，解方程即可；

（2）時(shí)，，，得出，，，，四邊形為平行四邊形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況：求出正方形的邊長為，則對角線為，由勾股定理求出的長，由題意得出方程，解方程即可；（4）連接