查補重難點01 整式相關(guān)運算與探索表達(dá)規(guī)律（原卷版）

查補重難點01.整式相關(guān)運算與探索表達(dá)規(guī)律考點一：冪運算與乘法公式1.冪運算公式： 2.乘法公式：（1）平方差公式：（2）完全平方公式：題型1.冪運算與乘法公式基本運算1）符號處理不當(dāng)：在冪的運算中，很多同學(xué)計算時符號容易出錯。計算時，可以先確定計算符號，負(fù)數(shù)進(jìn)行運算時，看次方，負(fù)數(shù)的奇次冪結(jié)果為負(fù)，偶次冪結(jié)果為正。2）忽視指數(shù)為“1”的冪：在冪的運算中，有些同學(xué)會忽視指數(shù)為“1”的冪，從而導(dǎo)致計算的錯誤。指數(shù)為“1”時通常省略不寫，但是計算時不能漏加。3）忽視0指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪成立的條件：在計算零指數(shù)冪或負(fù)指數(shù)冪時，要注意，底數(shù)不能等于0.4）運用完全平方公式時，①丟掉系數(shù)的平分；②丟掉中間乘積項或漏了系數(shù)的“2倍”；③不能正確區(qū)分中間項符號特征。5）運用平方差公式時，沒找準(zhǔn)“a”與“b”。例1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）下列運算中，結(jié)果正確的是(

)A． B． C． D．變式1.（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于（

）

A．128 B．64 C．32 D．16變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）下列計算正確的是（

）A．B．C．D．題型2.完全平方公式變形求值（知二求二）乘法公式求值類的題目，關(guān)鍵在于恒等變形，反復(fù)利用平方差公式和完全平方公式，結(jié)合公式中各項的情況，做出相應(yīng)的變形。用可推導(dǎo)除一些變式（知二求二）：=1\*GB3①；=2\*GB3②；特殊結(jié)構(gòu)：；。例1.（2023·江蘇宿遷·中考真題）若實數(shù)m滿足，則．變式1．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知：，則________．變式2.（2020·江蘇宿遷·中考真題）已知a+b＝3，a2+b2＝5，則ab的值是．題型3.完全平分公式含參運用任意給一個二次三項式是完全平方式求解參數(shù)的值：先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定參數(shù)的值，要注意的是第一項和第三項都是平方項，即第一項可寫成±a的平方，第三項可寫為±b的平方，那么參數(shù)的值也有兩個。例1.（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）已知是完全平方式，則的值是．變式1．（2022·黑龍江·中考真題）已知代數(shù)式是一個完全平方式，則實數(shù)t的值為__．變式2．（2023·浙江·九年級期中）將16y2+1再加上一個整式，使它成為一個完全平方式，則加上的整式為______．題型4.乘法公式的幾何驗證利用求面積的兩種方法（公式法與補割法），列式（公式法求面積=補割法求面積），化簡求解。例1.（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：①

②

③

④

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式1．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題）設(shè)有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為(

)

A．6 B．7 C．8 D．9變式2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對應(yīng)公式______，圖2對應(yīng)公式______，圖3對應(yīng)公式______，圖4對應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．考點二：探究與表達(dá)規(guī)律探究與表達(dá)規(guī)律是中考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，往往以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點的坐標(biāo)規(guī)律等。規(guī)律探索問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、思路點撥、推理，探究其中所蘊含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問題，因其獨特的規(guī)律性和探究性，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現(xiàn)規(guī)律探究題，而且“花樣百出”。題型1.數(shù)與式規(guī)律問題1）從簡單的情況入手﹕求出前三到四個結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)正確答案；新定義型問題一般與代數(shù)、坐標(biāo)、函數(shù)知識結(jié)合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個數(shù)的立方和、連續(xù)n個數(shù)的平方和、階乘等。2）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細(xì)觀察變量的變化與序號（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個關(guān)系就找到了規(guī)律所在。3）掌握一些數(shù)學(xué)思想方法：規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律。它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力。例1.（2023·江蘇鹽城·一模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“1”，所有的偶數(shù)記為“0”，則前4行如圖②，前8行如圖③，求前32行“1”的個數(shù)為．變式1.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為．變式2．（2023年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下面的等式：，，，，…．(1)嘗試：___________．(2)歸納：___________（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．(3)推理：運用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．題型2.圖形變化規(guī)律問題圖形變化規(guī)律題常見處理辦法：(1)利用特殊點、特殊圖形、特殊位置等進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般找規(guī)律，進(jìn)而得出解決問題的方法；(2)當(dāng)問題的結(jié)論不能唯一確定時，則需要按可能出現(xiàn)的情況加以分類討論；(3)利用一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似的問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密論證。例1.（2021·江蘇揚州·中考真題）將黑色圓點按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點的個數(shù)依次為：1，3，6，10，……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個數(shù)為．變式1.（2023年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．變式2.（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

題型3.坐標(biāo)變化規(guī)律問題探究點的坐標(biāo)變化，先明確動點的運動方式，有時需要制作表格或者畫圖，來幫助尋找變化規(guī)律。在初中階段，探究點的規(guī)律通常用不完全歸納法來解決。通過一些點的特殊情況，作出一般性的歸納推理。這是一種很好的推理手段。但是在歸納坐標(biāo)變化規(guī)律時，有時需要將坐標(biāo)進(jìn)行整理，按照一定方式呈現(xiàn)，如豎排、利用表格等，能將規(guī)律體現(xiàn)得明顯，有助于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。坐標(biāo)變化規(guī)律題常見處理辦法：①找出第一周期的幾個數(shù)，確定周期數(shù)；②算出題目中的總數(shù)和待求數(shù)；③用總數(shù)÷周期數(shù)=m……n（表示這列數(shù)中有m個整周期，最后余n個）；④最后余幾，待求數(shù)就和每周期的第幾個一樣。例1.（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：；；；；…如果單把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個數(shù)對：．

變式1.（2023·河南漯河·二模）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，其邊長依次為2，4，6．…，其中點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為…，按此規(guī)律排下去，則點的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．變式2.（2023·山東煙臺·二模）自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，13，……畫出米的螺旋曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，依次以這組數(shù)為半徑作的圓弧，得到一組螺旋線，連接，得到一組螺旋折線，如圖所示．已知點的坐標(biāo)分別為，則點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．考點三：整式的化簡求值1）整式化簡是初中數(shù)學(xué)的一大要點，主要內(nèi)容包括整式的加減乘除、乘方運算，方差公式、完全平方公式的運用。一般運算順序為：先乘方、再乘除、最后加減。2）求代數(shù)式的值的一般方法是先用數(shù)值代替代數(shù)式中的每個字母，然后計算求得結(jié)果。3）對于特殊的代數(shù)式，也可以采用如下方法來解：（1）給出代數(shù)式中所有字母的值。該類題一般是先化簡代數(shù)式，再代入字母的值，然后進(jìn)行計算。（2）給出代數(shù)式中所含幾個字母之間的關(guān)系，不直接給出字母的值，該類題一般是把所要求的代數(shù)式通過恒等變形，轉(zhuǎn)化為可以用已知關(guān)系表示的形式，再代入計算。題型1.先化簡，再代入求值化簡求值易錯點：①多項、漏項：主要是因為在計算的過程中，沒有注意運算順序；②符號錯誤：單項式乘多項式的運算過程中，搞錯了所得項的正負(fù)性；③公式用錯；④冪的運算錯誤：混淆冪的運算法則。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）先化簡，再求值：，其中，.變式1．（2023·江蘇·中考真題）先化簡，再求值：，其中．變式2．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：；其中．題型2.整體代入求值整體代入法：①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關(guān)系；②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進(jìn)行變形，使它們成倍分關(guān)系；③把已知代數(shù)式看成一個整式代入所求代數(shù)式中計算求值。例1.（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）若，則的值為（

）A．24 B．20 C．18 D．16變式1．（2020·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像交于點，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．變式2．（2021·江蘇蘇州·中考真題）若，則的值為．題型3.利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值利用根與系數(shù)的關(guān)系求解：如果代數(shù)式可以看作某兩個“字母”的輪換對稱式，而這兩個“字母”又可能看作某個一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值。例1．（2023·江蘇鹽城·二模）若方程的兩根為，，則的值為．變式1．（2023·江蘇南京·二模）若、為的兩根，則的值為．變式2．（2023·四川成都·三模）若是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．題型4分式的化簡求值分式化簡的易錯點：（1）分式化簡與分式方程混淆，通分后去掉分母。（2）丟掉符號：分式化簡中最關(guān)鍵的步驟是通分，不僅要考慮最簡公分母，也要注意符號的變化。（3）求值時，代值錯誤：當(dāng)所給值不唯一時，一定要注意選值時應(yīng)該使原分式和化簡過程中的分式都有意義，即保證分母不為0。例1．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，其中是方程的根．變式1．（2024·江蘇連云港·一模）先化簡，再求值：，其中．變式2．（2023·江蘇·九年級校考階段練習(xí)）先化簡，當(dāng)時，取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)并求出代數(shù)式的值．考點四：因式分解1.因式分解：把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.2.因式分解的基本方法：1）提取公因式法：；2）運用公式法：平方差與完全平方公式；3）十字相乘：；4）分組分解。3.分解因式的一般步驟：“一提，二套，三十字，四分組，五檢查”。題型1.因式分解因式分解易錯點：①概念錯誤：概念不清，發(fā)生了因式分解的結(jié)果不是整式的積的情形；②公式用錯型：平方差公式和完全平方公式的本質(zhì)形式?jīng)]有分清，搞懂；③分解不徹底。因式分解步驟：1）如果多項式各項有公因式，應(yīng)先提取公因式；2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項時，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止。例1.（2023·江蘇無錫·中考真題）分解因式：．變式1．（2024·江蘇南京·一模）分解因式：．變式2．（2024·江蘇宿遷·一模）因式分解：．題型2.因式分解的應(yīng)用1）因式分解分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；2）因式分解必須是恒等變形；3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止；4）因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式。例1.（2022·江蘇蘇州·中考真題）已知，，則．變式1．（2021·江蘇揚州·中考真題）計算：．變式2.（2023·河南·八年級期末）邊長為a，b的長方形的周長14，面積10，則的值為．專項訓(xùn)練1.（2023·江蘇揚州·中考真題）若，則括號內(nèi)應(yīng)填的單項式是(

)A．a(chǎn) B． C． D．2．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）若，則(

)A．5 B．1 C． D．03．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，下列計算正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．20235．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）我國宋朝時期的數(shù)學(xué)家楊輝，曾將大小完全相同的圓彈珠逐層堆積，形成“三角垛”，頂層記為第1層，有1顆彈珠；第2層有3顆彈珠；第3層有6顆彈珠，往下依次是第4層，第5層，…；如圖中畫出了最上面的四層．若用表示第n層的彈珠數(shù)，其中n＝1，2，3，…，則＋…＋＝（

）

A． B． C． D．6．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）若是不為的有理數(shù)，則我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)為，的差倒數(shù)為，已知：，是差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，，依次類推，的值是（）A． B． C． D．7．（2023·河南周口·二模）如圖，在四邊形中，頂點，分別在軸，軸上，，，，，軸，交軸于點將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．8．（2023·江蘇泰州·二模）、為正整數(shù)，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2023·山東菏澤·三模）設(shè)m、n是方程的兩個實