2.5 等腰三角形的軸對(duì)稱性 同步練習(xí)

第2章軸對(duì)稱圖形2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)1.在等腰三角形ABC中，若∠A=80°，則∠B的度數(shù)是()A.20° B.50° C.80° D.20°或50°或80°2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=28°，且AD=AE，求∠EDC的度數(shù)()知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的判定3.如圖所示，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，那么下列結(jié)論：①BP=CP；②MN=BM+CN；③△BMP和△CNP都是等腰三角形；④△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC.其中正確的有()A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)4.在△ABC中，∠A=80°，當(dāng)∠B的度數(shù)為時(shí)，△ABC是等腰三角形.()

5.如圖，在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，交BC于E，求證：BD=BE.知識(shí)點(diǎn)3等邊三角形的概念、性質(zhì)和判定6.如圖，兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長(zhǎng)均為1cm，一個(gè)微型機(jī)器人由A點(diǎn)開始按A-B-C-D-B-E-A的順序沿兩個(gè)等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)，行走2023cm停下，則這個(gè)微型機(jī)器人停在()A.點(diǎn)A處 B.點(diǎn)B處 C.點(diǎn)C處 D.點(diǎn)E處7.(2022吉林長(zhǎng)春期末)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)求證：DC=CF.知識(shí)點(diǎn)4直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)8.(2023江蘇興化月考)如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點(diǎn)，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí)，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng)，則下滑過程中OP長(zhǎng)度的變化情況是()A.逐漸變大 B.不斷變小 C.不變 D.先變大再變小9.(2022江蘇高郵期中)如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，連接EF，CF.(1)求證：EF=CF；(2)若∠BAC=30°，AD=6，求C，E兩點(diǎn)間的距離.能力提升全練10.(2022江蘇淮安中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB=10，則DE的長(zhǎng)是()A.8 B.6 C.5 D.411.(2022浙江湖州中考)如圖，已知在銳角△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連接EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，則△EBC的面積是()()A.12 B.9 C.6 D.3212.(2022海南中考)如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上，直線m交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若∠1=140°，則∠2的度數(shù)是()A.80° B.100° C.120° D.140°13(2022江蘇蘇州中考)定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”.若等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為.

14.(2023江蘇常州期中)如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求證：AB=AC+CD.15.(2022浙江溫州中考)如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E.(1)求證：∠EBD=∠EDB；(2)當(dāng)AB=AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說明理由.素養(yǎng)探究全練16定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做對(duì)頂三角形.如圖1，在△OAB與△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD.(1)如圖1，△OAB與△OCD是對(duì)頂三角形，且A，O，C三點(diǎn)共線，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，△OAB與△OCD是對(duì)頂三角形，∠AOB=∠COD=90°，連接AC，BD，試探究線段AC，BD之間的關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，△OAB與△OCD是對(duì)頂三角形，∠AOB=∠COD=90°，連接AD，BC，取AD的中點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)OE至點(diǎn)G，使EG=OE，連接AG，求證：EF⊥BC. 圖1 圖2 圖317.已知在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC.(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB(填“>”“<”或“=”).

(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB(填“>”“<”或“=”)；理由如下：過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F(請(qǐng)你完成后續(xù)解答過程).

(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果). 圖1 圖2

第2章軸對(duì)稱圖形2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D當(dāng)∠A=∠B時(shí)，∠B=80°；當(dāng)∠A=∠C時(shí)，∠C=80°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-80°-80°=20°；當(dāng)∠B=∠C時(shí)，∵∠A+∠B+∠C=180°，即80°+∠B+∠B=180°，∴∠B=50°.綜上所述，∠B的度數(shù)為20°或50°或80°.故選D.2.解析∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠DAE=∠BAD=28°，∠ADC=90°.∵AD=AE，∴∠ADE=12=12×(180°-28°)=76°∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-76°=14°.3.B∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠MBP=∠PBC，∠PCN=∠PCB.∵M(jìn)N∥BC，∴∠PBC=∠MPB，∠NPC=∠PCB，∴∠MBP=∠MPB，∠NPC=∠PCN，∴BM=MP，PN=CN，∴MN=MP+PN=BM+CN，△BMP和△CNP都是等腰三角形，故②③正確.∵△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN，MN=BM+CN，∴△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC，故④正確.當(dāng)∠ABC≠∠ACB時(shí)，2∠PBC≠2∠PCB，∴∠PBC≠∠PCB，∴BP≠CP，故①錯(cuò)誤.故選B.4.答案20°或50°或80°解析①若∠A是頂角，則∠B=(180°-∠A)÷2=50°.②若∠A是底角，∠B也是底角，則∠B=∠A=80°.③若∠A是底角，∠B是頂角，則∠A=∠C=80°，∴∠B=180°-80°×2=20°.∴當(dāng)∠B的度數(shù)為20°或50°或80°時(shí)，△ABC是等腰三角形.故答案為20°或50°或80°.5.證明∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90°.∵AB=BC，∴∠A=∠C，∴∠EFC-∠A=∠DFA-∠C.∵∠D=∠EFC-∠A，∠CEF=∠DFA-∠C，∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF，∴∠D=∠BED，∴BD=BE.6.B∵兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長(zhǎng)均為1cm，∴機(jī)器人由A點(diǎn)開始按A-B-C-D-B-E-A的順序沿兩個(gè)等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)一圈的路程為6cm，∵2023÷6=337……1，∴這個(gè)微型機(jī)器人停在B處.故選B.7.解析(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°.(2)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠EDC=∠ECD=60°，∴△DEC是等邊三角形，∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF，∠F=30°，∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F，∴EC=CF，∴DC=CF.8.C∵P是AB的中點(diǎn)，∠AOB=90°，∴OP=12∵木桿AB的長(zhǎng)是定值，∴OP的長(zhǎng)度不變.故選C.9.解析(1)證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°.∵點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，∴EF=12AD,CF=∴EF=CF.(2)如圖，連接CE，由(1)得EF=AF=CF=12AD=3∴∠FEA=∠FAE，∠FCA=∠FAC，∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°，∴△EFC是等邊三角形，∴CE=EF=3，∴C，E兩點(diǎn)間的距離是3.能力提升全練10.C∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE=1211.B∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD=12BC=3，在Rt△EBD中，∠EBC=45°，∴ED=BD=3，∴S△EBC=12BC·ED=112.B如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°，∴∠AEF=140°-60°=80°，∴∠DEB=∠AEF=80°.∵m∥n，∴∠2+∠DEB=180°，∴∠2=180°-80°=100°.故選B.13.答案6解析∵等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，BC是底邊，∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=6，則△ABC的三邊長(zhǎng)分別是63，符合題意，∴腰AB的長(zhǎng)為6.若BC=3=2AB，則AB=1.5，△ABC的三邊長(zhǎng)分別是1.5，1.5∵1.5+1.5=3，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在.綜上所述，腰AB的長(zhǎng)是6.故答案為6.14.證明方法1(截長(zhǎng)法)：如圖，在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE.∵AE=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△AED≌△ACD(SAS)，∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B.又∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+EB=AC+CD.方法2(補(bǔ)短法)：如圖，延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連接DE，則∠CDE=∠E，∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E.∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠E.∵∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD≌△AED(AAS)，∴AB=AE=AC+CD.15.解析(1)證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD=∠EBD.∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED.理由如下：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴CD=BE.由(1)得∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∴CD=ED.素養(yǎng)探究全練16.解析(1)AB∥CD.理由：∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，∴∠OCD=∠ODC=12(180°-∠COD)∠OAB=∠OBA=12(180°-∠AOB)∴∠OCD=∠OAB.∵A，O，C三點(diǎn)共線，∴AB∥CD.(2)AC=BD，AC⊥BD.理由：如圖，設(shè)BD交AC于點(diǎn)M，交OC于點(diǎn)J.∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中，OA=OB,∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM，∴∠CMJ=∠DOJ=90°，即AC⊥BD.(3)證明：如題圖3，∵E為AD中點(diǎn)，∴AE，DE，在△AEG和△DEO中，AE=DE,∴△AEG≌△DEO(SAS)，∴AG=OD，∠G=∠DOE，∴AG∥OD，∴∠OAG+∠AOD=180°.∵∠COD=∠AOB=90°，∴∠AOD+∠BOC=180°，∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC，∴AG=OC.在△GAO和△COB中，AG=OC,∴△GAO≌△COB(SAS)，∴∠AOG=∠OBC.∵∠AOG+∠BOF=90°，∴∠OBC+∠BOF=90°，∴∠BFO=90°，即EF⊥BC.17.解析(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，AE=DB.(2)AE=DB.理由：如圖，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE=AF=EF，∴BE=CF.∵ED=EC，∴∠D=∠ECD.∵∠