2024高考壓軸卷數(shù)學(xué)（理）（全國乙卷）

2024高考壓軸卷全國乙卷理數(shù)試題本試卷共4頁，23題（含選考題）.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.5.考試結(jié)束后'，請將本試題卷和答題卡一并上交.第I卷一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知，則（）A.2B.C.D.13.已知曲線在點處的切線方程為，則A. B. C. D.4．為落實黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)、人才、文化、生態(tài)、組織振興”的目標，某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù)．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關(guān)于還款人的年收入x（單位：萬元）的Logistic模型：．已知當貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比例為50％，若貸款人的年收入約為5萬元，則實際還款比例約為（）．（參考數(shù)據(jù)：）A．30％ B．40％ C．60％ D．70％5.下列說法不正確的是（）①命題“，”的否定是“,”；②“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件；③命題，，命題,，則為真命題；④“函數(shù)在上是減函數(shù)”，為真命題.A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④6.函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.7.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（）A.8種 B.14種 C.20種 D.16種8.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個圓臺．現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑40cm，盆底直徑20cm．現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當水深6cm時，盆內(nèi)水的體積近似為（）A. B. C. D.9.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，若中存在兩項，，使得為其等比中項，則的最小值為（）A.4 B.9 C. D.10.設(shè)為雙曲線的上?下焦點，點為的上頂點，以為直徑的圓交的一條漸近線于兩點，若，則的離心率為（）A.B.C.D.11.如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱的中點，則下列說法錯誤的是（

）A.直線共面B.C.直線與平面所成角的正切值為D.過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為912.已知定義在上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為__________．14.展開式的常數(shù)項為__________.15.拋物線上的動點到點的距離之和的最小值為________．16.已知是球的球面上的三點，，且三棱錐的體積為，則球的體積為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在①，②中任選一個作為已知條件，補充在下列問題中，并作答．問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若的外接圓半徑為2，且，求ac．注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分．18.已知等差數(shù)列滿足，前項和為是關(guān)于的二次函數(shù)且最高次項系數(shù)為1.（1）求的通項公式；（2）已知，求的前項和.19.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點是的中點，是線段上（包括端點）的動點，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面的夾角為，求的值.20.在平面直角坐標系中，已知點是拋物線上的一點，直線交于兩點.（1）若直線過的焦點，求的值；（2）若直線分別與軸相交于兩點，且，試判斷直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.21．已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對任意的，，．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C與l的直角坐標方程；（2）若P是C上的一個動點，求P到l的距離的取值范圍．[選修45：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若是的最小值，且正數(shù)滿足，證明：．2024高考壓軸卷全國乙卷理數(shù)試題答案1【答案】D【解析】由可解得：或，即，由函數(shù)有意義可得：，解得：，即，于是.故選：D.【答案】D【解析】由，得，所以，所以.故選D.3【答案】D【解析】，將代入得，故選D．【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系．4．【答案】B【解析】由題意得當時，％，則％，得，所以，得，所以．當時，％．故選B．5【答案】C【解析】對于①：命題“，”的否定是“,”，故①不正確；對于②：若，則的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；若函數(shù)為奇函數(shù)，且的定義域為，可得，整理得恒成立，解得，即必要性不成立；所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件，故②正確；對于③：因為恒成立，即命題,為假命題，所以為假命題，故③不正確；對于④：當時，當時，但，可得，所以函數(shù)在上不是減函數(shù)，故④不正確；故選：C.6【答案】C【解析】由，可知是奇函數(shù)，且定義域為，排除BD；當時，，排除A.故選：C7【答案】B【解析】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有種；第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有種，然后排問天實驗艙與夢天實驗艙有種，所以，甲、乙恰好有一人天和核心艙共有種.綜上，甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗共有種.故選：B8【答案】B【解析】如圖所示，畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長與于點.根據(jù)題意，，，，，設(shè)，所以，解得，，所以，故選：B.9【答案】D【解析】因，，成等差數(shù)列，所以，又為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為q，所以，所以，解得或（舍），又為，的等比中項，所以，所以，所以，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：D【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差中項、等比中項、基本不等式等知識，并靈活應(yīng)用，數(shù)列中應(yīng)用基本不等式時，應(yīng)注意取等條件，即角標m，n必須為正整數(shù)，屬中檔題.【答案】C【解析】由題意知以為直徑的圓的方程為，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)一條漸近線方程為，聯(lián)立得，又，所以，則，即.所以離心率.故選C.11【答案】D【解析】對于A項，如圖①，分別連接,,在正方體中，易得矩形,故有，又E，G分別是棱的中點，則,故,即可確定一個平面，故A項正確；對于B項，如圖②，,故B項正確；對于C項，如圖③，連接,因平面，故直線與平面所成角即,在中，,故C項正確；對于D項，如圖④，連接,易得,因平面平面，則為過點B，E，F(xiàn)的平面與平面的一條截線，即過點B，E，F(xiàn)的平面即平面.由可得四邊形為等腰梯形，故其面積為：，即D項錯誤.故選：D.12【答案】C【解析】令，則，即，故函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當,時，，則，故在,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，則，則不等式，即，故，解得．故選：C．13．【答案】或【解析】因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，，解得，，∵，∴，，因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得．經(jīng)檢驗，當時，，當時，均滿足題意．【答案】48【解析】因為的展開式的通項是，所以所求常數(shù)項為.15【答案】【解析】拋物線的焦點為，準線為，設(shè)是拋物線上任意一點，則題目所求為的最小值，過作，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，所以題意所求為的最小值，根據(jù)圖象可知，當三點共線時，的值最小，故最小值為.故答案為：16【答案】【解析】在中，，由余弦定理得，即，整理得，而，解得，顯然，即，則外接圓的半徑，令球心到平面的距離為，而的面積為，由棱錐的體積為，得，解得，球的半徑，則有，，所以球的體積.故答案為：17【答案】（1）（2）【分析】（1）選①利用余弦定理即可求出；選②根據(jù)正弦定理進行邊換角即可得到答案；（2）首先求出，再利用正弦定理整體求出即可.【小問1詳解】選擇條件①：因為，在中，由余弦定理可得，即，則，因為，所以.選擇條件②：因為，在中，由正弦定理可得，即，則，因為，所以，則，因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，則，即，又，所以.因為的外接圓半徑，所以由正弦定理可得，所以.18.解：（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，，...（2），..19.解：（1）證明：如圖，連接交于點，連接，四邊形是正方形，為的中點，是的中點，，平面平面平面.（2）易知兩兩垂直，以為原點，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則.，設(shè)，則..設(shè)平面的法向量為，則即令，則.又直線與平面的夾角為，，解得..20.解：（1）因為點是拋物線上的一點，所以，解得，所以的方程為，所以的焦點為.顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得，所以，所以，所以.（2）設(shè)，顯然直線的斜率存在，且斜率為，所以直線的方程為，所以，即，同理可得，，所以，所以，即，①顯然直線的斜率存在，且斜率為，所以直線的方程為，②將①式代入②式，整理得，所以直線恒過定點.21．（1）解：的定義域為，，若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增．若，令，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當時，．所以，．要證，即證，即證．由，得，即，，故只需證．下面給出證明：設(shè)，則，當時，恒成立，單調(diào)遞減，當時，，，所以；當時，，所以；當時，，，所以．所以對任意的，恒成立，即對任意的，恒成立．綜上所述，恒成立，故對任意的，，．22【答案】（1），；（2）.【分析】（1）消去參數(shù)求出曲線C的普通方程；利用極坐標與直角坐標的互化公式求出l的直角坐標方程.（2）利用點到直線的距離公式，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出取值范圍.【小問1詳解】消去曲線C的參數(shù)方程中的參數(shù)得：，把代入直線l的極坐標方程得：，所以