試述GeoGebra在高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的應(yīng)用

試述GeoGebra在高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的應(yīng)用

一、教材的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容安排

本文教學(xué)設(shè)計(jì)所使用的是人教A版（2019）普通高中數(shù)學(xué)教科書

選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》。在內(nèi)容上以橢圓、雙

曲線、拋物線的概念、性質(zhì)和應(yīng)用的內(nèi)在統(tǒng)一性作為學(xué)習(xí)的明線，在

邏輯結(jié)構(gòu)上強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)展的合理性，結(jié)合數(shù)學(xué)史和學(xué)生的心理特征設(shè)

計(jì)邏輯連貫的數(shù)學(xué)活動(dòng)，循序漸進(jìn)地滲透坐標(biāo)法的思想，促進(jìn)學(xué)生的

直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的發(fā)展，這是學(xué)習(xí)的暗線。教材在圓

錐曲線的定義處理上采用了統(tǒng)一定義和個(gè)性定義相結(jié)合的方式。在本

章的章頭圖部分，教材通過(guò)平面截圓錐得到三種截線引入，這是阿波

羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中的定義，優(yōu)點(diǎn)是此定義便于學(xué)生容易區(qū)

分圓錐曲線的類型，缺點(diǎn)是每種圓錐曲線的幾何特征不明顯。所以在

橢圓、雙曲線的定義上，教材使用了幾何定義，這種定義便于作圖和

建立平面直角坐標(biāo)系研究曲線的方程和性質(zhì)。為了與拋物線的定義相

銜接，教材借助于例題拓展介紹了圓錐曲線的統(tǒng)一定義。這種兼顧共

性定義和個(gè)性定義的方式，利于學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

二、本單元的整體設(shè)計(jì)

學(xué)生在學(xué)完本章內(nèi)容后，普遍有一個(gè)疑惑，就是在章頭圖中通過(guò)

圓錐曲線的歷史介紹了圓錐截線定義后，在具體的教學(xué)內(nèi)容安排上又

采用了幾何定義的方式，這種截線得到的圓錐曲線是否滿足幾何定義

呢？現(xiàn)行蘇教版的高中數(shù)學(xué)選修教材2-1第一節(jié)標(biāo)題是“圓錐曲線”，

內(nèi)容上也是通過(guò)圓錐曲線的截線定義引出三種曲線，然后介紹了旦德

林雙球模型，分析模型中隱含的幾何特征得到三種曲線的第一定義，

然后分三個(gè)小節(jié)展開學(xué)習(xí)。這樣的編排有利于學(xué)生消除疑問(wèn)，從整體

上建構(gòu)圓錐曲線的概念，但如何發(fā)現(xiàn)并理解兩種定義之間的聯(lián)系是教

學(xué)的難點(diǎn)。在探討本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們提出了借助GeoGebra

軟件，在課堂教學(xué)時(shí)嘗試向?qū)W生講解截線定義和幾何定義的歷史，通

過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種定義之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生從整體上學(xué)習(xí)

和認(rèn)識(shí)圓錐曲線。筆者仔細(xì)閱讀了人教A版和蘇教版的教材后，基于

學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，根據(jù)教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，把本單元的教學(xué)分為橢圓、

雙曲線和拋物線三個(gè)小單元來(lái)實(shí)施，每個(gè)小單元的教學(xué)過(guò)程是“同構(gòu)”

的，包括定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)和應(yīng)用四個(gè)環(huán)節(jié)，單元教學(xué)的整體結(jié)

構(gòu)如圖1所示。橢圓是三個(gè)小單元教學(xué)的重點(diǎn)，橢圓定義的學(xué)習(xí)從截

線定義出發(fā)，通過(guò)旦德林雙球模型得到幾何定義，繼而推導(dǎo)出橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。通過(guò)橢圓的學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)A錐曲線的研究架構(gòu),

理解坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的過(guò)程與方法，雙曲線和拋物線的定義可以

類比橢圓讓學(xué)生通過(guò)合作探究來(lái)完成。

三、圓錐曲線定義的發(fā)展簡(jiǎn)史

圓錐曲線的定義教材中出現(xiàn)了三種形式，分別是截線定義、第一

定義（幾何定義）和第二定義（焦點(diǎn)一準(zhǔn)線定義）。圓錐曲線是如何

被發(fā)現(xiàn)的？一開始是如何定義的？圓錐曲線的定義經(jīng)歷了怎樣的發(fā)

展過(guò)程？帶著疑問(wèn)，筆者認(rèn)真查閱了圓錐曲線的發(fā)展史，從中發(fā)掘可

以輔助我們進(jìn)行教學(xué)的關(guān)鍵歷史節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)研究筆者梳理出下面的三

個(gè)關(guān)鍵階段。第一個(gè)階段是指圓錐曲線的圓錐截線定義。公元前4世

紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家在研究倍立方問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，提出用垂直于

母線的平面去截頂角分別為直角、鈍角和銳角的正圓錐，得到直角圓

錐曲線（即拋物線）、鈍角圓錐曲線（即雙曲線）和銳角圓錐曲線（即

橢圓）。阿波羅尼奧斯使用對(duì)頂斜圓錐來(lái)表示圓錐曲線，從而發(fā)現(xiàn)了

雙曲線有兩支，他所著的《圓錐曲線論》用綜合幾何的方法得到目前

高中數(shù)學(xué)涉及的幾乎所有圓錐曲線的性質(zhì)。第二個(gè)階段是指圓錐曲線

的第二定義。公元4世紀(jì)，古希臘幾何學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中

用幾何方法證明了歐幾里得《面軌跡》中的一個(gè)引理：平面上定點(diǎn)和

定直線的距離之比等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線，常數(shù)大于、等于

和小于1時(shí)，軌跡分別為雙曲線、拋物線和橢圓。第三個(gè)階段是指圓

錐曲線的第一定義（幾何定義）。17世紀(jì)初期，笛卡爾創(chuàng)立了解析

幾何，數(shù)學(xué)家們開始注重從代數(shù)的視角，運(yùn)用解析的方法，研究圓錐

曲線的定義、方程和各種性質(zhì)。18世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)

（1661~1704）在其著作《圓錐曲線分析論》中給出了橢圓的第一定

義，即將橢圓定義為平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡,

并據(jù)此推導(dǎo)出橢圓方程。雖然數(shù)學(xué)家們先后給出了圓錐曲線的截線定

義和幾何定義，并借助坐標(biāo)系推導(dǎo)出了圓錐的方程，研究了圓錐曲線

的性質(zhì)，但圓錐截線定義與幾何定義之間是孤立的。直到1822年，

比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林在一篇論文中利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球，直接在圓

錐上作出橢圓截面的焦點(diǎn)，推導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而證明了截

線定義與幾何定義的統(tǒng)一性。

四、小單元的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）章節(jié)引入的教學(xué)設(shè)計(jì)

“章引言”是一章教學(xué)的起點(diǎn)，本章的引言部分有5段，介紹了

圓錐曲線的截線定義、在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用和坐標(biāo)法的研究思路，說(shuō)

明了圓錐曲線是什么、為什么學(xué)、學(xué)什么和怎樣學(xué)的問(wèn)題。通過(guò)學(xué)習(xí)

學(xué)生可以獲得本章內(nèi)容的整體感知，從結(jié)構(gòu)的角度形成認(rèn)知地圖，尤

其截線定義和坐標(biāo)法是貫穿本單元學(xué)習(xí)的一明一暗兩條主線，可以讓

學(xué)生明確本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法，形成良好的認(rèn)知狀態(tài)。上課之前

布置學(xué)生完成課前作業(yè)：1.圓錐曲線的名稱是怎么來(lái)的？它和我們學(xué)

過(guò)的圓錐有什么關(guān)系？2.圓錐曲線在日常生活中有哪些應(yīng)用？3.平面

解析幾何的基本思想是什么？課前作業(yè)的設(shè)計(jì)一是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱

讀章引言，二是讓學(xué)生通過(guò)收集和整理資料的過(guò)程，初步獲得本單元

的整體感知。引言部分提出用一個(gè)平面去截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面

所成的角度不同時(shí)得到了圓、橢圓、雙曲線和拋物線四種不同的截口

曲線，并用章頭圖展示了這幾種不同的曲線。課堂教學(xué)中教師首先是

讓學(xué)生展示課前作業(yè)中第一個(gè)問(wèn)題的研究成果，同時(shí)利用GeoGebra

軟件動(dòng)態(tài)地展示這四種曲線的形成和變化過(guò)程（圖2）,目的是借助

圓錐的截線定義，讓學(xué)生容易區(qū)分圓錐曲線的不同類型，明確不同圓

錐曲線之間是有著自然的聯(lián)系的，但如何去畫一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線，

每一種曲線有什么幾何性質(zhì)卻不明顯，這容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,

形成一種求知的良好心態(tài)。然后分組展示兩個(gè)問(wèn)題的研究成果，通過(guò)

豐富的實(shí)例展示讓學(xué)生體會(huì)圓錐曲線的廣泛應(yīng)用，明確幾何圖形源于

生活，又服務(wù)于生活，明白為什么要學(xué)圓錐曲線。接著教師介紹圓錐

曲線的發(fā)展歷史，回顧總結(jié)直線與圓的研究架構(gòu)，使學(xué)生了解解析幾

何的核心思想，通過(guò)類比明確圓錐曲線的研究路徑，為本章的學(xué)習(xí)奠

定基礎(chǔ)。

（二）橢圓定義的教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)筆者借鑒了2005年初審?fù)ㄟ^(guò)的人教版選修教材2-1

第42頁(yè)“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中“為什么截口曲線是橢圓”專題的內(nèi)

容，通過(guò)平面截圓錐形成圓和橢圓的動(dòng)態(tài)演示，提出問(wèn)題：在平面內(nèi)

到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡是圓，橢圓是否也有類

似的幾何性質(zhì)呢？歷史上很多數(shù)學(xué)家想要證明橢圓的這個(gè)幾何特征。

直到19世紀(jì)，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林建構(gòu)了雙球模型，才嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟o出

了證明。然后介紹數(shù)學(xué)家GerminalDandelin的研究方法，教學(xué)中學(xué)生

難于理解的一點(diǎn)是這么巧妙的模型是如何想到的。為了降低旦德林雙

球模型的理解難度，教師可以借助學(xué)生比較熟悉的直觀形象的“球在

光源下的投影”，課堂上通過(guò)手電筒照射籃球，在桌面上的投影呈現(xiàn)

橢圓形狀，引導(dǎo)學(xué)生理解此時(shí)球與桌面相切于一點(diǎn)，手電筒發(fā)出的光

束是圓錐狀的，光線與球相切在桌面上投影出橢圓，從而理解球內(nèi)切

于圓錐的幾何特征。在根據(jù)光線可逆性，從點(diǎn)光源發(fā)出的光束也可以

看作是一束光聚焦到點(diǎn)光源上，從而建構(gòu)出旦德林雙球模型，同時(shí)利

用GeoGebra演示旦德林雙球模型，在圓錐里放置兩個(gè)球，用一平面

與兩個(gè)球相切（圖3）。圖中在圓錐內(nèi)兩球與圓錐內(nèi)表面相切，球心

分別為01、02,用一個(gè)不平行于圓錐底面的平面去截圓錐，并且平

面與兩球分別相切于F1和F2,在橢圓上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P的圓錐

母線交兩個(gè)圓（兩球與圓錐內(nèi)表面的切線）于點(diǎn)M、N。因?yàn)镻F1=PM,

PF2=PN,從而PM+PN=MN>F1F2,且MN為定值。教學(xué)中借助GeoGebra

動(dòng)畫演示，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)切點(diǎn)的距離之和

為定值的幾何特征，從而順利完成從截面定義到幾何定義的過(guò)渡。然

后結(jié)合課本中的探究活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)細(xì)繩、鉛筆和畫板親自動(dòng)手畫

一畫，加深對(duì)幾何定義的理解。通過(guò)上面一系列的教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)了

學(xué)生自主探究與合作學(xué)習(xí)的能力，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與

邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（三）雙曲線定義的教學(xué)設(shè)計(jì)

課堂上先通過(guò)問(wèn)題“在橢圓的學(xué)習(xí)中，主要研究了哪些內(nèi)容？研

究的過(guò)程是怎樣的？”引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思橢圓的研究歷程，經(jīng)過(guò)師

生共同研討形成研究圓錐曲線的路徑，即從形到數(shù)再到形，用以指引

雙曲線的學(xué)習(xí)。通過(guò)橢圓定義的探究學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于旦德林雙球模型

有了一定的認(rèn)識(shí)，會(huì)用球的切線長(zhǎng)度來(lái)探究動(dòng)點(diǎn)和切點(diǎn)之間的幾何關(guān)

系，所以本節(jié)課繼續(xù)借助旦德林雙球模型來(lái)探究雙曲線的幾何定義。

教學(xué)時(shí)借助GeoGebra畫出一個(gè)對(duì)頂圓錐和兩個(gè)半徑相同的內(nèi)切球，

并動(dòng)態(tài)演示平面與兩球相切且與對(duì)頂圓錐相交時(shí)形成的截口曲線，讓

學(xué)生類比橢圓的定義探究雙曲線的定義。學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察分析，在教師

的引導(dǎo)下得出了曲線上任意一點(diǎn)到兩切點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為一

個(gè)定值。然后再結(jié)合新教材中的內(nèi)容，借助GeoGebra演示在平面內(nèi)

根據(jù)雙曲線的幾何定義作圖的過(guò)程，以加深學(xué)生對(duì)定義的理解。

（四）拋物線定義的教學(xué)設(shè)計(jì)

在新舊版本的教材的教學(xué)中，教師都是借助于信息技術(shù)，畫出平

面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線I(I不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌

跡，從而得出拋物線的定義。但這種設(shè)計(jì)會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生兩個(gè)疑問(wèn)：一

是初中所學(xué)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象是拋物線，是否也

滿足上面的定義？二是在章頭圖中展示的截口曲線中的拋物線是否

也滿足上面的定義？對(duì)于學(xué)生的疑問(wèn)，教學(xué)中我們?nèi)匀唤柚诘┑铝?/p>

雙球模型，讓學(xué)生借助于信息技術(shù)進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，利用GeoGebra

軟件動(dòng)態(tài)地演示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，幫助學(xué)生理解拋物線的定義。課堂小結(jié)

時(shí)進(jìn)一步總結(jié)整個(gè)圓錐曲線的研究路徑、定義之間的聯(lián)系，通過(guò)這樣

的教學(xué)活動(dòng)完善學(xué)生對(duì)圓錐曲線的整體認(rèn)知。圓錐曲線從截線定義到

幾何定義，實(shí)現(xiàn)了從三位空間到二維平面的轉(zhuǎn)化，這種過(guò)渡對(duì)學(xué)生的

直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的要求較高，GeoGebra輔助圓錐曲線的教

學(xué)顯示了該軟件在3D作圖上的優(yōu)勢(shì)，將靜態(tài)的章頭圖動(dòng)態(tài)地展示給

學(xué)生，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了學(xué)生的直觀想象能力，加深了

學(xué)生對(duì)定義的理解。運(yùn)用純幾何方法來(lái)研究圓錐曲線存在一定的局限

性，旦德林雙球模型解釋了圓錐曲線上的點(diǎn)都滿足幾何定義，但無(wú)法

說(shuō)明滿足幾何定義的點(diǎn)都在圓錐曲線上，所以隨著解析幾何的建立,

數(shù)學(xué)家們漸漸拋棄了純幾何的方法，而