試述GeoGebra在高中數(shù)學單元教學的應(yīng)用

試述GeoGebra在高中數(shù)學單元教學的應(yīng)用

一、教材的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容安排

本文教學設(shè)計所使用的是人教A版（2019）普通高中數(shù)學教科書

選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》。在內(nèi)容上以橢圓、雙

曲線、拋物線的概念、性質(zhì)和應(yīng)用的內(nèi)在統(tǒng)一性作為學習的明線，在

邏輯結(jié)構(gòu)上強調(diào)知識發(fā)展的合理性，結(jié)合數(shù)學史和學生的心理特征設(shè)

計邏輯連貫的數(shù)學活動，循序漸進地滲透坐標法的思想，促進學生的

直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的發(fā)展，這是學習的暗線。教材在圓

錐曲線的定義處理上采用了統(tǒng)一定義和個性定義相結(jié)合的方式。在本

章的章頭圖部分，教材通過平面截圓錐得到三種截線引入，這是阿波

羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中的定義，優(yōu)點是此定義便于學生容易區(qū)

分圓錐曲線的類型，缺點是每種圓錐曲線的幾何特征不明顯。所以在

橢圓、雙曲線的定義上，教材使用了幾何定義，這種定義便于作圖和

建立平面直角坐標系研究曲線的方程和性質(zhì)。為了與拋物線的定義相

銜接，教材借助于例題拓展介紹了圓錐曲線的統(tǒng)一定義。這種兼顧共

性定義和個性定義的方式，利于學生形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。

二、本單元的整體設(shè)計

學生在學完本章內(nèi)容后，普遍有一個疑惑，就是在章頭圖中通過

圓錐曲線的歷史介紹了圓錐截線定義后，在具體的教學內(nèi)容安排上又

采用了幾何定義的方式，這種截線得到的圓錐曲線是否滿足幾何定義

呢？現(xiàn)行蘇教版的高中數(shù)學選修教材2-1第一節(jié)標題是“圓錐曲線”，

內(nèi)容上也是通過圓錐曲線的截線定義引出三種曲線，然后介紹了旦德

林雙球模型，分析模型中隱含的幾何特征得到三種曲線的第一定義，

然后分三個小節(jié)展開學習。這樣的編排有利于學生消除疑問，從整體

上建構(gòu)圓錐曲線的概念，但如何發(fā)現(xiàn)并理解兩種定義之間的聯(lián)系是教

學的難點。在探討本單元的教學設(shè)計時，我們提出了借助GeoGebra

軟件，在課堂教學時嘗試向?qū)W生講解截線定義和幾何定義的歷史，通

過問題串引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)兩種定義之間的聯(lián)系，幫助學生從整體上學習

和認識圓錐曲線。筆者仔細閱讀了人教A版和蘇教版的教材后，基于

學生的認知基礎(chǔ)，根據(jù)教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，把本單元的教學分為橢圓、

雙曲線和拋物線三個小單元來實施，每個小單元的教學過程是“同構(gòu)”

的，包括定義、標準方程、性質(zhì)和應(yīng)用四個環(huán)節(jié)，單元教學的整體結(jié)

構(gòu)如圖1所示。橢圓是三個小單元教學的重點，橢圓定義的學習從截

線定義出發(fā)，通過旦德林雙球模型得到幾何定義，繼而推導(dǎo)出橢圓的

標準方程和性質(zhì)。通過橢圓的學習引導(dǎo)學生掌握圓錐曲線的研究架構(gòu),

理解坐標法研究幾何問題的過程與方法，雙曲線和拋物線的定義可以

類比橢圓讓學生通過合作探究來完成。

三、圓錐曲線定義的發(fā)展簡史

圓錐曲線的定義教材中出現(xiàn)了三種形式，分別是截線定義、第一

定義（幾何定義）和第二定義（焦點一準線定義）。圓錐曲線是如何

被發(fā)現(xiàn)的？一開始是如何定義的？圓錐曲線的定義經(jīng)歷了怎樣的發(fā)

展過程？帶著疑問，筆者認真查閱了圓錐曲線的發(fā)展史，從中發(fā)掘可

以輔助我們進行教學的關(guān)鍵歷史節(jié)點，經(jīng)過研究筆者梳理出下面的三

個關(guān)鍵階段。第一個階段是指圓錐曲線的圓錐截線定義。公元前4世

紀古希臘數(shù)學家在研究倍立方問題中發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，提出用垂直于

母線的平面去截頂角分別為直角、鈍角和銳角的正圓錐，得到直角圓

錐曲線（即拋物線）、鈍角圓錐曲線（即雙曲線）和銳角圓錐曲線（即

橢圓）。阿波羅尼奧斯使用對頂斜圓錐來表示圓錐曲線，從而發(fā)現(xiàn)了

雙曲線有兩支，他所著的《圓錐曲線論》用綜合幾何的方法得到目前

高中數(shù)學涉及的幾乎所有圓錐曲線的性質(zhì)。第二個階段是指圓錐曲線

的第二定義。公元4世紀，古希臘幾何學家帕普斯在《數(shù)學匯編》中

用幾何方法證明了歐幾里得《面軌跡》中的一個引理：平面上定點和

定直線的距離之比等于常數(shù)的動點軌跡為圓錐曲線，常數(shù)大于、等于

和小于1時，軌跡分別為雙曲線、拋物線和橢圓。第三個階段是指圓

錐曲線的第一定義（幾何定義）。17世紀初期，笛卡爾創(chuàng)立了解析

幾何，數(shù)學家們開始注重從代數(shù)的視角，運用解析的方法，研究圓錐

曲線的定義、方程和各種性質(zhì)。18世紀初，法國數(shù)學家洛必達

（1661~1704）在其著作《圓錐曲線分析論》中給出了橢圓的第一定

義，即將橢圓定義為平面上到兩定點距離之和等于常數(shù)的動點軌跡,

并據(jù)此推導(dǎo)出橢圓方程。雖然數(shù)學家們先后給出了圓錐曲線的截線定

義和幾何定義，并借助坐標系推導(dǎo)出了圓錐的方程，研究了圓錐曲線

的性質(zhì)，但圓錐截線定義與幾何定義之間是孤立的。直到1822年，

比利時數(shù)學家旦德林在一篇論文中利用圓錐的兩個內(nèi)切球，直接在圓

錐上作出橢圓截面的焦點，推導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，從而證明了截

線定義與幾何定義的統(tǒng)一性。

四、小單元的教學設(shè)計

（一）章節(jié)引入的教學設(shè)計

“章引言”是一章教學的起點，本章的引言部分有5段，介紹了

圓錐曲線的截線定義、在實際中的廣泛應(yīng)用和坐標法的研究思路，說

明了圓錐曲線是什么、為什么學、學什么和怎樣學的問題。通過學習

學生可以獲得本章內(nèi)容的整體感知，從結(jié)構(gòu)的角度形成認知地圖，尤

其截線定義和坐標法是貫穿本單元學習的一明一暗兩條主線，可以讓

學生明確本單元的學習內(nèi)容和方法，形成良好的認知狀態(tài)。上課之前

布置學生完成課前作業(yè)：1.圓錐曲線的名稱是怎么來的？它和我們學

過的圓錐有什么關(guān)系？2.圓錐曲線在日常生活中有哪些應(yīng)用？3.平面

解析幾何的基本思想是什么？課前作業(yè)的設(shè)計一是引導(dǎo)學生認真閱

讀章引言，二是讓學生通過收集和整理資料的過程，初步獲得本單元

的整體感知。引言部分提出用一個平面去截圓錐，當圓錐的軸與截面

所成的角度不同時得到了圓、橢圓、雙曲線和拋物線四種不同的截口

曲線，并用章頭圖展示了這幾種不同的曲線。課堂教學中教師首先是

讓學生展示課前作業(yè)中第一個問題的研究成果，同時利用GeoGebra

軟件動態(tài)地展示這四種曲線的形成和變化過程（圖2）,目的是借助

圓錐的截線定義，讓學生容易區(qū)分圓錐曲線的不同類型，明確不同圓

錐曲線之間是有著自然的聯(lián)系的，但如何去畫一個標準的圓錐曲線，

每一種曲線有什么幾何性質(zhì)卻不明顯，這容易激發(fā)學生的學習興趣,

形成一種求知的良好心態(tài)。然后分組展示兩個問題的研究成果，通過

豐富的實例展示讓學生體會圓錐曲線的廣泛應(yīng)用，明確幾何圖形源于

生活，又服務(wù)于生活，明白為什么要學圓錐曲線。接著教師介紹圓錐

曲線的發(fā)展歷史，回顧總結(jié)直線與圓的研究架構(gòu)，使學生了解解析幾

何的核心思想，通過類比明確圓錐曲線的研究路徑，為本章的學習奠

定基礎(chǔ)。

（二）橢圓定義的教學設(shè)計

教學設(shè)計時筆者借鑒了2005年初審?fù)ㄟ^的人教版選修教材2-1

第42頁“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中“為什么截口曲線是橢圓”專題的內(nèi)

容，通過平面截圓錐形成圓和橢圓的動態(tài)演示，提出問題：在平面內(nèi)

到一個定點的距離等于定長的動點形成的軌跡是圓，橢圓是否也有類

似的幾何性質(zhì)呢？歷史上很多數(shù)學家想要證明橢圓的這個幾何特征。

直到19世紀，比利時數(shù)學家旦德林建構(gòu)了雙球模型，才嚴謹?shù)亟o出

了證明。然后介紹數(shù)學家GerminalDandelin的研究方法，教學中學生

難于理解的一點是這么巧妙的模型是如何想到的。為了降低旦德林雙

球模型的理解難度，教師可以借助學生比較熟悉的直觀形象的“球在

光源下的投影”，課堂上通過手電筒照射籃球，在桌面上的投影呈現(xiàn)

橢圓形狀，引導(dǎo)學生理解此時球與桌面相切于一點，手電筒發(fā)出的光

束是圓錐狀的，光線與球相切在桌面上投影出橢圓，從而理解球內(nèi)切

于圓錐的幾何特征。在根據(jù)光線可逆性，從點光源發(fā)出的光束也可以

看作是一束光聚焦到點光源上，從而建構(gòu)出旦德林雙球模型，同時利

用GeoGebra演示旦德林雙球模型，在圓錐里放置兩個球，用一平面

與兩個球相切（圖3）。圖中在圓錐內(nèi)兩球與圓錐內(nèi)表面相切，球心

分別為01、02,用一個不平行于圓錐底面的平面去截圓錐，并且平

面與兩球分別相切于F1和F2,在橢圓上任取一點P,過點P的圓錐

母線交兩個圓（兩球與圓錐內(nèi)表面的切線）于點M、N。因為PF1=PM,

PF2=PN,從而PM+PN=MN>F1F2,且MN為定值。教學中借助GeoGebra

動畫演示，引導(dǎo)學生深刻理解橢圓上任意一點到兩個切點的距離之和

為定值的幾何特征，從而順利完成從截面定義到幾何定義的過渡。然

后結(jié)合課本中的探究活動，讓學生通過細繩、鉛筆和畫板親自動手畫

一畫，加深對幾何定義的理解。通過上面一系列的教學活動，培養(yǎng)了

學生自主探究與合作學習的能力，提升了學生數(shù)學抽象、直觀想象與

邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（三）雙曲線定義的教學設(shè)計

課堂上先通過問題“在橢圓的學習中，主要研究了哪些內(nèi)容？研

究的過程是怎樣的？”引導(dǎo)學生回顧和反思橢圓的研究歷程，經(jīng)過師

生共同研討形成研究圓錐曲線的路徑，即從形到數(shù)再到形，用以指引

雙曲線的學習。通過橢圓定義的探究學習，學生對于旦德林雙球模型

有了一定的認識，會用球的切線長度來探究動點和切點之間的幾何關(guān)

系，所以本節(jié)課繼續(xù)借助旦德林雙球模型來探究雙曲線的幾何定義。

教學時借助GeoGebra畫出一個對頂圓錐和兩個半徑相同的內(nèi)切球，

并動態(tài)演示平面與兩球相切且與對頂圓錐相交時形成的截口曲線，讓

學生類比橢圓的定義探究雙曲線的定義。學生經(jīng)過觀察分析，在教師

的引導(dǎo)下得出了曲線上任意一點到兩切點的距離之差的絕對值為一

個定值。然后再結(jié)合新教材中的內(nèi)容，借助GeoGebra演示在平面內(nèi)

根據(jù)雙曲線的幾何定義作圖的過程，以加深學生對定義的理解。

（四）拋物線定義的教學設(shè)計

在新舊版本的教材的教學中，教師都是借助于信息技術(shù)，畫出平

面內(nèi)到一個定點F和一條定直線I(I不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌

跡，從而得出拋物線的定義。但這種設(shè)計會讓學生產(chǎn)生兩個疑問：一

是初中所學的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象是拋物線，是否也

滿足上面的定義？二是在章頭圖中展示的截口曲線中的拋物線是否

也滿足上面的定義？對于學生的疑問，教學中我們?nèi)匀唤柚诘┑铝?/p>

雙球模型，讓學生借助于信息技術(shù)進行小組合作學習，利用GeoGebra

軟件動態(tài)地演示動點的軌跡，幫助學生理解拋物線的定義。課堂小結(jié)

時進一步總結(jié)整個圓錐曲線的研究路徑、定義之間的聯(lián)系，通過這樣

的教學活動完善學生對圓錐曲線的整體認知。圓錐曲線從截線定義到

幾何定義，實現(xiàn)了從三位空間到二維平面的轉(zhuǎn)化，這種過渡對學生的

直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的要求較高，GeoGebra輔助圓錐曲線的教

學顯示了該軟件在3D作圖上的優(yōu)勢，將靜態(tài)的章頭圖動態(tài)地展示給

學生，提高了學生的學習興趣，提升了學生的直觀想象能力，加深了

學生對定義的理解。運用純幾何方法來研究圓錐曲線存在一定的局限

性，旦德林雙球模型解釋了圓錐曲線上的點都滿足幾何定義，但無法

說明滿足幾何定義的點都在圓錐曲線上，所以隨著解析幾何的建立,

數(shù)學家們漸漸拋棄了純幾何的方法，而