高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 規(guī)范答題強(qiáng)化練（五）高考大題-解析幾何 文試題

規(guī)范答題強(qiáng)化練（五）解析幾何

（45分鐘48分）

1.（12分）如圖，已知橢圓E:+=l（a〉b>0）的離心率為,A,B為橢圓的左右頂點(diǎn)，焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為

2,P,Q為橢圓E上異于A,B的兩點(diǎn),且直線BQ的斜率等于直線AP斜率的2倍.

⑴求證:直線BP與直線BQ的斜率乘積為定值.

⑵求三角形APQ的面積的最大值.

【解析】⑴由題意知橢圓方程為+=LkSp,kBp=-,故kBp-kBQ=-l.（4分）

（2）當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)/pQ:y=kx+m,與x軸的交點(diǎn)為M,代入橢圓方程得（2k'+l）x'dkmx+Zm'YR.（6

分）

設(shè)P(xi,yi),Q(X2,y2),

則xi+x2=,xix2=,(7分)

由kBp,kBQ=-l得,=0,則yiy2+xiX2-2(xi+x2)+4=0,

2:

得(k+l)X1X2+(km-2)(xi+x2)+4+m=0,

4k2+8km+3m2=0,得m=-2k或m=-k.y=kx-2k或y=kx-k,所以過(guò)定點(diǎn)M(2,0)或，點(diǎn)為右端點(diǎn)，舍去，(8分)

SAAPQ=SAAPM+SAAQM=XX

8jk2(8k2-2m2+4)16)/c2(16/c2+9)

3J(2/c2+l)2=9：(2/+1)2

161ir71

9J2[2/C2+1(2/C2+l)2.

,(10分)

令=七(0<t<l),SAAK)=

161

4--(7t+t27)

,7t+t2>0,SAAPQ^,

PQAAPAAPQ

當(dāng)直線/的斜率k不存在時(shí)，P(xi,yi),Q(xi,-yi),kAP=kBQ,即=,解得xi=,yi=,SQ=XX=，所以S的最大值

為.(12分)

2.(12分)已知橢圓C:+=l(a>b〉O)的離心率為,且過(guò)點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得直線PN與直線QN關(guān)

于x軸對(duì)稱(chēng)?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【解析】(1)由題意得b=2,1=8,故橢圓C的方程為+=1.(4分)

⑵假設(shè)存在點(diǎn)N(m,0)滿(mǎn)足題設(shè)條件.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),設(shè)PQ的方程為y=k(x-l),

代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：

(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)

設(shè)P(xi,yi),Q(x2,ya),則xi+x2=,XiX2=,所以kPN+kQN=+=+

k(x1-1)(x2-m)+k(x2-1)(匕-m)

(%i-m)(x2-m)

k[2xrx7-(1+m)(xx+々)+2m]

二(8分)

(xtm)(x2m)

因?yàn)?xix2-(l+m)(xi+x2)+2m=-+2m=,(10分)

所以當(dāng)m=4時(shí),kpN+kQN=0,直線PN與直線QN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)PQ±x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知恒有直線PN

與直線QN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),綜上可得,在x軸上存在定點(diǎn)N(4,0),使得直線PN與直線QN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).(12

分)

3.(12分)已知Fj,Fz是橢圓Q:+=l(b〉0)的左、右焦點(diǎn).

⑴當(dāng)b=l時(shí)，若P是橢圓Q上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且?=-,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑵當(dāng)橢圓Q的焦點(diǎn)在x軸上且焦距為2時(shí)，若直線，:y=kx+m與橢圓Q相交于A(xi,y),B(x2,yz)兩點(diǎn)，且

3xix2+4yiy2=0,求證：△AOB的面積為定值.

【解析】⑴當(dāng)b=l時(shí),橢圓方程為+yJl,則儲(chǔ)(-,0),F?C0).設(shè)P(x,y)(x>0,y>0),則=(—x,-y),=(-x,-y),(2

分)

由?=-,得(+『=,與橢圓方程聯(lián)立解得x=l,y=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(4分)

⑵當(dāng)橢圓Q的焦距為2時(shí),c=l.則b2=a2-c2=3,所以橢圓Q的方程為+=1.

由

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分)

A=64k2mz-16(3+4k2)(m2-3)=48(3+4k2-m2)>0,所以3+4kz-m?>0,

所以Xl+X2=-,X1X2=.

22

所以yiy2=(kxi+m)(kx2+m)=kxix2+kni(xi+x2)+m=.

由3xix2+4yiy2=0,得

3,+4,=0.

所以2m=3+4k2.

因?yàn)閨AB|=?Ixi-Xzl

=；(%1+%2產(chǎn)-4%/2

,48(3+4/—

(3+4/c2)2

)48(2m2-m2)

二(2m2)2-

=?.(io分)

又點(diǎn)0到直線AB的距離d==,

所以SAAOB=?IABI?d=???=.即AAOB的面積為定值.(12分)

4.(12分)已知拋物線C:y?=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上位于第一象限的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線，交C于

另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D.

(1)若當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,且4ADF為以F為頂點(diǎn)的等腰三角形,求C的方程.

⑵對(duì)于(1)中求出的拋物線C,若點(diǎn)D,記點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E,AE交x軸于點(diǎn)P,且AP±BP,求證:點(diǎn)P

的坐標(biāo)為,并求點(diǎn)P到直線AB的距離d的取值范圍.

【解析】(1)由題知F,=3+,(2分)

則D(3+p,O),FD的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則+=3,解得p=2,故C的方程為y=4x.(4分)

(2)依題可設(shè)直線AB的方程為x=my+xo(mHO),A(xi,yi),B(x2,y2),

22

貝ijE(x2,-y2),由消去x,得y-4my-4xo=O,因?yàn)閄o2.LUA=16m+16x0>0,(6分)

yi+y2=4m,yiy2=-4x0,設(shè)P的坐標(biāo)為(xP,0),貝！J=(x2-xP,-y2),=(x-xP,yi),

由題知〃，所以3-XP)yi+y2(XI-XP)=0,

即x2yi+y2Xi=(yi+y2)xP==,顯然yi+y2=4m^0,所以xP==-x0,即P(-xo,0),由題知AEPB