四川省成都市某中學2024-2025學年高三（上）段考數學試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學年四川省成都市樹德中學高三（上）段考

數學試卷（10月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合Z={x|log2x<1},B={%|0<%<4},則ZUB=()

A.{x\x<2}B.{x\x<4}C.{x|0<%<4]D.{%|0<%<2]

2.設五=(-1,2),b=(4,fc),若219，則|a+b|=()

A.5B.2計C.20D.25

3.設甲:｛%｝為等比數列;乙：｛a”a“+i｝為等比數列，則（)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

sin3a—sina

4.已知tana=-3,則,sin（a+方）=（）

A3Bc

A.一4!4

5.已知關于x的不等式a/—2久+3a<0在（0,2］上有解，則實數a的取值范圍是（）

4

A.(-8,第B.(-8,今C.（￥，+8）D.?+°°)

6.已知拋物線E：y2=4%的焦點為F,以F為圓心的圓與E交于48兩點，與E的準線交于C,。兩點，若

\CD\=29則|訓=()

A.3B.4C.6D.8

7.在同一平面直角坐標系內，函數y=/（x）及其導函數y=（（久）的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一

個公共點，其坐標為（0,1）,貝1（）

A,函數y=/（%）?e、的最大值為1

B.函數y=f（x）-e工的最小值為1

C.函數y=零的最大值為1

D.函數y=管的最小值為1

.已知函數/)=下設則的大小關系是()

8'(X：2*a=f(0,32),b=/(log20.3),c=f(2Zn2),a,b,c

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A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.小明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析

得到，坐公交車平均用時10爪譏，樣本方差為9；騎自行車平均用時15nl譏，樣本方差為1.已知坐公交車所

花時間X與騎自行車所花時間y都服從正態(tài)分布，用樣本均值和樣本方差估計x,丫分布中的參數，并利用

信息技術工具畫出X和丫的分布密度曲線如圖所示.若小明每天需在早上8點之前到校，否則就遲到，則下列

判斷正確的是()

A.X?N(10,32)

B.若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車，則有60%以上的可能性會遲到

C.若小明早上7：42出發(fā)，則應選擇騎自行車

D.若小明早上7：47出發(fā)，則應選擇坐公交車

10.已知函數y=/(久)是定義在R上的偶函數，對于任意xeR,都有+4)=/(%)+/(2)成立.當

xG[0,2)時，/(%)=2，—1,下列結論中正確的有()

A)(2)=0B.函數y=/(久)在(2,4)上單調遞增

C.直線x=4是函數y=/(%)的一條對稱軸D.關于x的方程/(%)=log2|x|+2共有4個不等實根

11.我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體n?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強互作

用力(S/M)材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結果如圖

所示(水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣一液兩相界面的切線與液一固兩相交線所成的角)，圓法和橢

圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓(長軸平行于液一固兩者的相交線，橢圓

的短半軸長小于圓的半徑)的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為好，92,則下列結論

中正確的有()

附：橢圓總+:=l(a>b>0)上一點即%)處的切線方程為翳+賢=1.

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固體材料

A.圓法中圓的半徑為尚B.tandx=|

c.0i>02D.&<e2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.“五一”期間人民群眾出游熱情高漲，某地為保障景區(qū)的安全有序，將增派6名警力去4、B兩個景區(qū)執(zhí)

勤,要求力景區(qū)至少增派3名警力，B景區(qū)至少增派2名警力，則不同的分配方法的種數為.

13.已知圓臺的下底面半徑為6,上底面半徑為3,其側面積等于上、下底面積之和，則圓臺的高為

14.已知函數f(x)=a(x-xi)(x-久2)0-*3)色>0),設曲線y=/(x)在點(符,/(符))處切線的斜率為信

(i=1,2,3),若久1，%2>久3均不相等，且七=一2,則的+4k3的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△A8C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足2bcsin4=/(a2+°2-62).

(1)求B的大小；

(2)若b=3,△力BC的面積為竽，求△ABC的周長.

16.(本小題15分)

已知橢圓C：*+f1=l(a>6>0)經過點P為橢圓C的右頂點，。為坐標原點，△OPE的面積為

晅

2?

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)過點。(—1,0)作直線Z與橢圓C交于4B,4關于原點。的對稱點為C,若出4|=|BC|,求直線4B的斜

率.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐Q—力BCD中，CD//AB,BC1AB,平面Q4D1平面力BCD,QA=QD,M,N分別是

AD,CQ的中點.

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(1)證明：QM1BD；

(2)若4D=AB=2CD=2,直線MN與平面QBC所成角的正弦值為半，求QM的長度.

18.(本小題17分)

已知函數/(x)=x2—2x+alnx,(aeR).

(1)若a=l,求函數/(x)在點(1)(1))處的切線；

1，%2G00),C12)2f01)2)]>

(2)若對任意的久(0,+X±x2,有。一久?[久一久"(久。恒成立，求實數a的取值范

圍.

19.(本小題17分)

2023年10月11日，中國科學技術大學潘建偉團隊成功構建255個光子的量子計算機原型機“九章三號”，

求解高斯玻色取樣數學問題比目前全球最快的超級計算機快一億億倍.相較傳統(tǒng)計算機的經典比特只能處于

0態(tài)或1態(tài)，量子計算機的量子比特(qabit)可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基

于概率進行計算的.現假設某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態(tài)作為量子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下

旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立.現將兩個初始狀態(tài)均為疊

加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦佥斎氲诙肋壿嬮T后，粒子

的自旋狀態(tài)有P的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為X.

(1)若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為2,且p=|,求兩個粒子通過第一道邏輯門后

上旋粒子個數為2的概率；

(2)若一條信息有n(n>l,neN*)種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為pi，P2,

pn,則稱H=/(pi)+/(「2)+…+(其中f(x)=-&。92久)為這條信息的信息焙.試求兩個粒子通

過第二道邏輯門后上旋粒子個數為X的信息燧”；

(3)將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復輸入第二道

邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數為丫(丫=1,2,3，…,小…).證明：

當幾無限增大時，丫的數學期望趨近于一個常數.

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參考答案

l.c

2.2

3.X

4.C

5.4

6.D

7.C

8.C

9.ACD

10.2C

11.AD

12.35

13.4

14.18

15.解:(1)因為2bcsinA=避(。2+?2-爐),

所以考著WX涼+c2—b2

2ac'

由余弦定理得，bsinA=y^acosB,

由正弦定理得sinBs譏A=y/^sinAcosB,

因為0<4<n,所以sinA片0,

所以sinB=yf^cosB,即tcmB=4，

TT

又。<B<7T,所以B=§.

(2)因為S=^acsinB=2居所以ac=9,

由余弦定理得，b2=a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

因為b=3,所以(a+c)2=b2+3ac=9+3x9=36,解得。+c=6,

所以△ABC的周長為。+b+c=9.

16.解：(1)因為P為橢圓C的右頂點，且△OPE的面積為岑，

所以Jxax*=§,

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解得a=2,

因為E(l*)在橢圓C上，

所以"+白=1'

解得b=1,

則橢圓C的標準方程為《+y=1；

(2)因為因川=\BC\,。為2C的中點,

所以。A1OB,

不妨設直線/的方程x=my-l,^(xi,yi)5(x2,y2)>

，%=my—1

聯立旺+y2=「消去％并整理得(而+4)y2_2?ny_3=0,

.4,

由韋達定理得月+及=得下月及二方七，

因為。41OB,

所以瓦？?赤=0,

即久62+%>2=0,

此時(血2+l)y1y2-m(y1+及)+1=。，

所以(小2+1)xx+1=0,

整理得胎誓=°，

1

解得機=±-.

故直線4B的斜率為±2.

17.解：(1)證明：M是4。中點，QA=QD,QM1AD,

?.,平面Q2D1平面ABC。，平面Q4DC平面力BCD=AD,QMu平面QW,

.-.QM1平面ABCD,又BDu平面力BCD,

QM1BD.

(2)取BC中點尸，連接MF,

M,F分另Ij為AD,8c中點，AB“CD,

MF//AB,又BC1AB,：.MF1BC,

以F為坐標原點，~FM,而正方向為x,y軸正方向，過F作z軸〃QM,可建立如圖所示空間直角坐標系,

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設QM=a(a>0),

???MF=^AB+CD)=|,BC=yjAD2-(AB-CD)2=5

M(|,0,0),Q(|,0,a),B(0忠0),C(O-^O),晦,一舞,

zzz，q4■乙

.??麗=4_*,|)，BC=(0-73,0),&=4，室a),

設平面QBC的法向量五=(%,y,z),

(BC-n=-#y=0

則CQ?ri=3%+—y+az=0，

I"22)

令久=2a,解得y=0,z=-3,

???n=(2a,0,-3),

\MN-n\_LZ^I--------_屈

\cos<MN,n>

|MN||n|-4a2+9-十

解得a=道或a=I，

故QM的長為平或|.

18.解：(l)/'(x)=2x-2+p當a=1,時，/(I)--1,/(x)=1,

故切線方程為：y+1=x-1,即y=久一2；

(2)不妨設0＜久1＜冷，貝年2人久1)一久"(久2)＜。，同除以孫冷，得等＜竽，

所以G(x)=?=久-2+*在(0,+8)單調遞增，

所以GQ)=]+以：產)20.

①若a=0,G(x)＞0恒成立，符合題意.

②若a＞0,則(2包滬恒成立.

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令F(x)=券，則F，Q)=號空，

令F，Q)=3-2fax>0,則o<%<漆，

33

所以F(x)在(0,謨)單調遞增，在(崗+8)單調遞減,

-131

所以22F(談)=點，所以ae(0,2e3].

③若a<0,同理，上生滬恒成立，

由②可知，當％—0+時，F(x)->-oo,所以不存在滿足條件的a.

綜上所述，ae[0,2e3].

19.解：(1)設4="兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數為i個"，i=0,1,2,

B="兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數為2個”，

則P(&)=0⑶)=(芥=pP(&)=C必2=1；

124

P(BMo)=/，P(B|4)號，P(B\A2)=l，

則P(B)=ELoP(4)P(B|4)=h|+|x|+|x|=|

14

故P(4|B)=%=P再常的=亨茨.

(2)由題知X=0,1,2,

1111

由(1)知P(X=2)=-p2+-p(l-p)+T(1-P)2=P

同理可得P(X=1)=1cp(l-p)+揚2+(l_p)2]+羽p(l-p)=1

4-2Z