2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(一)(第六章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.(+)+(+)+化簡(jiǎn)后等于 ()A. B. C. D.【解析】選C.原式=++++=.2.以a=(-1,2),b=(1,-1)為基底表示c=(3,-2)為 ()A.c=4a+b B.c=a+4C.c=4b D.c=a-4b【解析】選B.令c=xa+yb,得QUOTE所以QUOTE即c=a+4b.3.向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b與cA.1 B.-3 C.-2 D.-1【解析】選D.向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),則3a-b=(1,-1),又3a-b與4.點(diǎn)C在線段AB上,且||=QUOTE||,若=λ,則λ= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.點(diǎn)C在線段AB上,且||=QUOTE||.如圖所示:若=λ,即=-QUOTE,所以λ=-QUOTE.5.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,若B=45°,C=60°,c=1,則最短邊長(zhǎng)為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.A=180°-(60°+45°)=75°,故最短邊為b,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即b=QUOTE=QUOTE=QUOTE.6.向量=(4,-3),向量=(2,-4),則△ABC的形態(tài)為 ()A.等腰非直角三角形B.等邊三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】選C.因?yàn)?(4,-3),=(2,-4),所以=-=(-2,-1),所以·=(2,1)·(-2,4)=0,所以C=90°,且||=QUOTE,||=2QUOTE,||≠|(zhì)|.所以△ABC是直角非等腰三角形.7.(2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則·的取值范圍是 ()A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)【解析】選A.設(shè)P(x,y),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由題意可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為-1,所以-1<x<3,所以-2<·<6.8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-QUOTE,則QUOTE= ()A.6 B.5 C.4 D.3【解析】選A.因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,asinA-bsinB=4csinC,cosA=-QUOTE,所以QUOTE解得3c2=QUOTEbc,所以QUOTE=6.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.對(duì)于隨意的平面對(duì)量a,b,c,下列說(shuō)法正確的是 ()A.若a∥b且b∥c,則a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,則b=cD.a+b+c=a+c+b【解析】選BD.a∥b且b∥c,當(dāng)b為零向量時(shí),則a與c不肯定平行,即A錯(cuò)誤;由向量乘法的安排律可得:(a+b)·c=a·c+b·c,即B正確;因?yàn)閍·b=a·c,則a·(b-c)=0,又a≠0,則b=c或a⊥(b-c),即C錯(cuò)誤;向量加法滿意交換律,即:a+b+c=a+c+b,即D正確.10.(2024·青島高一檢測(cè))已知平面對(duì)量a,b,c滿意|a|=|b|=|c|=1,若a·b=QUOTE,則(a-b)·(2b-c)的值可能為 ()A.-2 B.3-QUOTE C.0 D.-QUOTE【解析】選ACD.已知|a|=|b|=|c|=1,a·b=QUOTE,設(shè)a,b的夾角為θ,則cosθ=QUOTE,θ=60°,所以|b-a|=QUOTE=1,則(a-b)·(2b-c)=2a·b-a·c-2b2+b·c=1-2+c·(b-a)=-1+cosα(其中α為c與b-a的夾角,且α∈[0,π]),因?yàn)閏osα∈[-1,1],所以cosα-1∈11.在△ABC中,=c,=a,=b,在下列說(shuō)法中,正確的有 ()A.若a·b>0,則△ABC為銳角三角形B.若a·b=0.則△ABC為鈍角三角形C.若a·b=c·b,則△ABC為等腰三角形D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,則△ABC為直角三角形【解析】選CD.如圖所示,在△ABC中,=c,=a,=b,A.若a·b>0,則∠BCA的補(bǔ)角為銳角,∠BCA是鈍角,△ABC是鈍角三角形,A錯(cuò)誤;B.若a·b=0,則⊥,△ABC為直角三角形,B錯(cuò)誤;C.若a·b=c·b,b·(a-c)=0,·(-)=0,·(+)=0,取AC中點(diǎn)D,則·=0,所以BA=BC,即△ABC為等腰三角形,C正確;D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,則a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b·c,即QUOTE=-cosA,由余弦定理可得:cosA=-cosA,即cosA=0,即A=QUOTE,即△ABC為直角三角形,D正確.12.已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a=6,4sinB=5sinC,以下四個(gè)說(shuō)法中正確的有 ()A.滿意條件的△ABC不行能是直角三角形B.當(dāng)A=2C時(shí),△ABC的周長(zhǎng)為15C.當(dāng)A=2C時(shí),若O為△ABC的內(nèi)心,則△AOB的面積為QUOTED.△ABC的面積的最大值為40【解析】選BCD.a=6,4sinB=5sinC即4b=5c,設(shè)b=5t,c=4t(t>0),由36+16t2=25t2,可得t=2(負(fù)值舍去),滿意條件的△ABC可能是直角三角形,故A錯(cuò)誤;a=6,4sinB=5sinC,A=2C,可得:B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=QUOTE,由QUOTE=QUOTE,sinC≠0,可得:4cos2C-1=QUOTE,解得:cosC=QUOTE,sinC=QUOTE,可得sinA=2sinCcosC=QUOTE,可得:c=4,b=5,則a+b+c=15,故B正確;S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為R,則R=QUOTE=QUOTE,S△ABO=QUOTEcR=QUOTE,故C正確.以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸,可得B(-3,0),C(3,0),4sinB=5sinC,可得4b=5c,設(shè)A(m,n)(n≠0),可得4QUOTE=5QUOTE,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+QUOTEm+9=0,化為QUOTE+n2=QUOTE(n≠0),則A的軌跡為以QUOTE為圓心,QUOTE為半徑的除去x軸上兩點(diǎn)的圓,可得△ABC的面積的最大值為QUOTE×6×QUOTE=40,故D正確.三、填空題(每小題5分,共20分)13.已知向量a=(1,m),b=(3,1),若a⊥b,則m=.

【解析】因?yàn)閍⊥b,所以a·b=3+m=0,所以m=-3.答案:-314.在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊.若2asinB=QUOTEb,b+c=5,bc=6,則a=.

【解析】因?yàn)?asinB=QUOTEb,所以2sinAsinB=QUOTEsinB.所以sinA=QUOTE,因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以cosA=QUOTE,因?yàn)閎c=6,b+c=5,所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×6×QUOTE=7,所以a=QUOTE(負(fù)值舍).答案:QUOTE15.在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若·=2,則的模為.

【解析】因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中,=+=QUOTE-,又=,=,所以=QUOTE-,所以·=·=QUOTE·-=QUOTE||||cos60°-||2=QUOTE||-1=2,所以||=12.答案:1216.(2024·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=,cos∠ABD=.

【解析】在△ABD中,由正弦定理有:QUOTE=QUOTE,而AB=4,∠ADB=QUOTE,AC=QUOTE=5,sin∠BAC=QUOTE=QUOTE,cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosQUOTEcos∠BAC+sinQUOTEsin∠BAC=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)已知兩向量a=(1,0),b=(2,1).(1)當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b共線?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值.【解析】(1)ka-b=(k,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+(4,2)=(5,2).當(dāng)ka-b與a+2b共線時(shí),2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-QUOTE.(2)由已知可得=2a+3b=(2,0)+(6,3)=(8,3),=a+mb=(1,0)+(2m,m)=(2m+1,m).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以∥,所以8m-3(2m+1)=0.解得m=QUOTE.18.(12分)如圖所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點(diǎn),若=a,=b,試用a,b表示,,.【解析】如圖所示,連接CN,則四邊形ANCD是平行四邊形.則==QUOTE=QUOTEa,=-=-QUOTE=b-QUOTEa,=-=--QUOTE=--QUOTE=QUOTEa-b.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知cosC=QUOTE.(1)若·=QUOTE,求△ABC的面積;(2)設(shè)向量x=QUOTE,y=QUOTE,且x∥y,求sin(B-A)的值.【解析】(1)由·=QUOTE,得abcosC=QUOTE.又因?yàn)閏osC=QUOTE,所以ab=QUOTE=QUOTE.又C為△ABC的內(nèi)角,所以sinC=QUOTE.所以△ABC的面積S=QUOTEabsinC=3.(2)因?yàn)閤∥y,所以2sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosB,即sinB=QUOTEcosB,因?yàn)閏osB≠0,所以tanB=QUOTE.因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角,所以B=QUOTE.所以A+C=QUOTE,所以A=QUOTE-C.所以sin(B-A)=sinQUOTE=sinQUOTE=QUOTEsinC-QUOTEcosC=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.20.(12分)如圖,在△OAB中,P為線段AB上一點(diǎn),且=x+y.(1)若=,求x,y的值;(2)若=3,||=4,||=2,且與的夾角為60°,求·的值.【解析】(1)若=,則=QUOTE+QUOTE,故x=y=QUOTE.(2)若=3,則=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE,·=·(-)=-QUOTE||2-QUOTE·+QUOTE||2=-QUOTE×42-QUOTE×4×2×cos60°+QUOTE×22=-3.21.(12分)如圖,A,B兩個(gè)小島相距21海里,B島在A島的正南方,現(xiàn)甲船從A島動(dòng)身,以9海里/時(shí)的速度向B島行駛,而乙船同時(shí)以6海里/時(shí)的速度離開(kāi)B島向南偏東60°方向行駛,行駛多少時(shí)間后,兩船相距最近?求出兩船的最近距離.【解析】設(shè)行駛th后,甲船行駛了9t海里到達(dá)C處,乙船行駛了6t海里到達(dá)D處.①當(dāng)9t<21,即t<QUOTE時(shí),C在線段AB上,此時(shí)BC=21-9t.BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理知CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t·QUOTE=63t2-252t+441=63(t-2)2+189.所以當(dāng)t=2時(shí),CD取得最小值3QUOTE.②當(dāng)t=QUOTE時(shí),C與B重合,則CD=6×QUOTE=14>3QUOTE.③當(dāng)t>QUOTE時(shí),BC=9t-21,則CD2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t·cos60°=63t2-252t+441=63(t-2)2+189>189.綜上可知,