2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項突破：平面向量的數(shù)量積（學(xué)生版）

考點(diǎn)32平面向量的數(shù)量積(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合

提升練+拓展沖刺練)

D1【考試提醒】

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.

2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題

dl【知識點(diǎn)】

1.向量的夾角

已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點(diǎn)，作=OB=b,則

伏OWGWTI)叫做向量a與b的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為0,我們把數(shù)量___________叫做向量a與b的數(shù)量

積，記作.

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

設(shè)。，力是兩個非零向量，它們的夾角是ae是與6方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,

過N2的起點(diǎn)/和終點(diǎn)3,分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為小，Bi，得到我們

稱上述變換為向量。向向量b,/山1叫做向量a在向量6上的.記為.

4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)?7>=.

(2)(2〃)?〃==.

(3)(〃+方)?c=.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi，乃)，b=(X2,g)，。與A的夾角為。

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積atb=\a\\b\cos0a?b=__________

模|?|=_______|?|=_________

夾角cos6=_____cos0=___________

alb的充要條件ab=0

,的十為了2年J(行+貫)(送+次)

?臼與同網(wǎng)的關(guān)系依方丹同網(wǎng)

【常用結(jié)論】

1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(i)(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)(a±by=a2±2a-b+b2.

2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論

(1)若。與分的夾角為銳角，則〃力＞0；若a力＞0,則"與6的夾角為銳角或0.

(2)若"與b的夾角為鈍角，則.為＜0；若“為＜0,則。與6的夾角為鈍角或兀

■【核心題型】

題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

計算平面向量數(shù)量積的主要方法

(1)利用定義:a-6=|a||6|cos(a,b〉.

(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a=(xi,%),b=(X2,y2)＞則^'b=x\X2~^~y\y2-

(3)利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義

【例題1】(2024,陜西西安,模擬預(yù)測)已知平行四邊形/BCD中,

AB=4,AD=3,ZBAD=60°,DP=ADC(A>0),APB?=9,則4的值為()

【變式1](2024?浙江金華?三模)已知同=4,問=3,歸+4=5-可，則小(”B)=()

A.-16B.16C.-9D.9

【變式2](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知向量，石的夾角為60°,若(4@-3)石=-8,|初=1,

則出|=.

【變式3](2024,遼寧丹東,一模)記內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A48c

面積為S,S.a2+b2-c2=443S.

⑴求c；

⑵若。=2百，BA-BC=6<求S.

題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用同=及(〃士〃)2=|砰±2〃力+回2；

②幾何法：利用向量的幾何意義.

(2)求平面向量的夾角的方法

ab

①定義法：COS0=---;

同創(chuàng)

②坐標(biāo)法.

(3)兩個向量垂直的充要條件

.，〃0〃力=0臺|。一〃=|〃+"(其中0WO,bWO)

命題點(diǎn)1向量的模

【例題2】(2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測)已知向量G,B滿足同=1,忖=百，且日與B的夾

角為乎,則恒一步()

611

A.yB.V13C.1D.13

【變式1](2024?河北三模)已知非零向量屋3的夾角為(",孚口，|力|=1，則

卜+，=()

A.1B.也C.V2D.y/3

2

【變式2】2024?河南?三模)已知“BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,C=60。,

c=1,若a-b=3,O為22中點(diǎn)，則8=.

【變式3](2023?福建福州?模擬預(yù)測)在“8C中，角4式。的對邊分別是。，瓦且

27r

tzsinC=csinB,C=.

⑴求B;

(2)若。3C面積為邁，求3c邊上中線的長.

4

命題點(diǎn)2向量的夾角

【例題3】（2024?北京?三模）若同=1,⑻=2,（ZR），Z，則向量&與C的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【變式1】（2024,江蘇南通?三模）已知三個單位向量￡花,工滿足￡=?+）,則向量員工的夾角

為（）

71-2%一5萬

A.—B.—C.—-D.——

6336

1一

【變式2］（2024?江西?模擬預(yù)測）已知平面內(nèi)非零向量方在向量B上的投影向量為-且

同=3問，則3與B夾角的余弦值為.

【變式3】Q024?江西?模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱/BC-4耳G中，P是棱4月的中點(diǎn)，。

是棱/C上一點(diǎn)，且坐=1,AB=2BBi=2.

AC3

(1)求證：BP1B.C.

（2）求平面尸。片與平面2尸片的夾角的余弦值.

命題點(diǎn)3向量的垂直

【例題4】（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）若向量玩，亢滿足同=1,同=2,且（應(yīng)V），而,

則同-司=（）

A.1B.V3C.41D.2

【變式11Q024?重慶?模擬預(yù)測）己知@=1,板1=2,且方與B不共線，若向量）+而與a-防

互相垂直，則實數(shù)上的值為（）

11,1

A.--B.-c.±-D.±2

【變式2］（2024?寧夏銀川?三模）已知3是單位向量，且7與1+B垂直，3與B的夾角為

135。，則2+B在B上的投影數(shù)量為.

【變式3】（2023高三?全國?專題練習(xí)）四面體48cD中，AB2+CD2=AD2+BC2,求證：

AC1BD.

題型三平面向量的實際應(yīng)用

用向量方法解決實際問題的步驟

【例題5】Q024?廣東梅州?二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子42上.已知物體M

的重力大小為20牛，且N/（W=150。，在下列角度中，當(dāng)角6取哪個值時，繩08承受的

拉力最小.（）

M

O

A.45°B.60°C.90°D.120°

【變式1］（2020?寧夏中衛(wèi)?二模）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部

分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60。，每只

胳膊的拉力大小均為400N,則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（）

（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10機(jī)/s,,百處1.732）

A.63B.69C.75D.81

【變式2］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，某物體作用于同一點(diǎn)。的三個力與工，F(xiàn)3使物體

處于平衡狀態(tài)，已知耳=1N,工=2N,片與鳥的夾角為120。，則月的大小為.（牛

【變式3］（2022?內(nèi)蒙古赤峰?三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為30。的斜面上，物

體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力不，垂直斜面向上的彈力耳，沿著斜面向

上的摩擦力耳.已知：同=806N,同=160N,則瓦的大小為.

30°

【課后強(qiáng)化】

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

1.（2024?山西太原?模擬預(yù)測）已知單位向量心B滿足（1-3）刀=；，則@一26與B的夾角

為（）

7C兀2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

2.（2024?四川眉山,三模）已知向量癡忑滿足同=問=1,同=6且a+b+c=0>貝I

3.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）記AA8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若6=2,

cosBcosA+cosC

2AM=MC，則忸7川可能是（

4.（2024,重慶?模擬預(yù)測）如圖，圓。內(nèi)接邊長為1的正方形/BCQP是弧8C（包括端點(diǎn)）

上一點(diǎn)，則赤.刀的取值范圍是（）

4+V22+V21+V2

4，2

二、多選題

5.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）已知向量2=（-1,2）,9=（6,-2）,則

A.(2a+b)±aB.\a-b\=V65

c.Z與3的夾角為:D.Z在行上的投影向量為

6.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測）己知單位向量共面，則下列說法中正確的是（）

A.若卜+q=卜-可，則￡/區(qū)B,若卜+可=|\a-b\,則

c.若Z+B+"=6,則《,。〉=三D.若￡+3+)=0,則(礴=與

三、填空題

7.（2024?遼寧丹東?二模）設(shè)向量入3的夾角為60。，且同=1,W=2,則

a+2b^-b=

8.（2021?云南昆明?三模）兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則耳與巴大

B滿足同=2間,（a+b\vb,則向量N與B的夾

角為_____?

四、解答題

10.（23-24高三下?山東荷澤,階段練習(xí)）記。8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,

c,向量7=(b,siiL4+sinC),v=(sirt4+sia5,?-c)//±v.

（1）求角C的大?。?/p>

⑵若AABC的面積為cosAcosB=-,求C.

44

11.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）在AA8C中，角A,B,C所對的邊分別為。，6,c,已

知a=2,c2=BA-BC-243S,其中S為A/8C的面積.

（1）求角A的大??；

⑵設(shè)。是邊8c的中點(diǎn)，若48：。，求40的長.

【綜合提升練】

一、單選題

1.（2024?寧夏固原?一模）已知向量,=（1,-1）,B=（OJ）,若），（3+2可，則網(wǎng)=（）

A.—B.1C.72D.2

2

2.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知|口=2,b=（l,42）,\a-2b\=2,則向量汗與B的夾角

為（）

7L7C27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

3.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知兩個向量用B滿足33=網(wǎng)=1，b-*6,則同=

（）

A.1B.C.573D.2

4.（2024?浙江紹興?二模）已知,，％是單位向量，且它們的夾角是60。，若4=26+6，

b-九］_4，且a_LB，則4=()

24

A.-B.一C.1D.2

55

5.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）在“5。中,

Z.BAC-60°,|^45|=6,|24C|=3,AM-2MB^CN=NM,則.c月=()

A.-9B.—C.9D.18

2

6.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知向量。力滿足同=陷=1%=2,又非零向量c滿足

c-a=c-b，則B與3的夾角為（）

7L71兀_.2兀兀_二57r

A.—B.—C.一或1s一D.一或一

633366

7.（2024?湖北黃岡?二模）已知3為單位向量，向量萬滿足抑止=3,國一同=1,則同的最大

值為（）

A.9B.3C.VioD.10

8.12024?云南曲靖二模）已知。是“8C的外心,益+%=2萬，網(wǎng)=畫，則向量正

在向量前上的投影向量為（）

A.--BCB.--5CC.-BCD.—BC

4444

二、多選題

9.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量0=（1,一1）,辦=（2㈤,a_L、c=a-正.若卜,，=（瓦，,

則（）

A.同=綱

B.b-c=4

（55

C.B在京方向上的投影向量為己D.與B反向的單位向量是二,二

10.（23-24高三下?山東荷澤?開學(xué)考試）已知單位向量口，B的夾角為。，則下列結(jié)論正確

的有（）

A.(a+b')X.(a-b)

B.汗在B方向上的投影向量為（萬彳田

C.右|a+6|=1,貝U6=60'

D.若他+5）5=（@-5）方，貝i]G〃3

n.（2024?貴州黔東南?二模）拋物線。:/=一2°武2>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為：1,經(jīng)過

點(diǎn)尸（加,0）的直線/與C交于48兩點(diǎn)，貝|（）

C/y石、

A.當(dāng)m=l時，直線/斜率的取值范圍是_:三

\22

\1c

B.當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合時，南+同=2

C.當(dāng)〃?=-2時，拓與麗的夾角必為鈍角

D.當(dāng)加=-2時，為定值（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

三、填空題

12.（2024?遼寧沈陽?三模）己知向量落B滿足同=2,戰(zhàn)+孫彼=4,則忸+可=.

13.(2020?河北張家口?二模)如圖，某班體重為70kg的體育老師在做引體向上示范動作，

兩只胳膊的夾角為60。，拉力大小均為尸，若使身體能向上移動，則拉力廠的最小整數(shù)值為

N.(取重力加速度大小為g=10m/S?,1.732)

14.2024?吉林長春?模擬預(yù)測)在AABC中，已知4=m，8C=2G,當(dāng)邊2c的中線4D=近

時，工8。的面積為.

四、解答題

15.(2024?貴州?模擬預(yù)測)在中，AB=A，AC=2,NC==,N為48的中點(diǎn),

/工的角平分線MW■交CN于點(diǎn)O.

⑴求CN的長；

(2)求。。C的面積.

16.(22-23高三上?河南安陽?階段練習(xí))己知o=(sinx+cosx,2cos61),B=(2sin6>,；sin2x

⑴若)=(-3,4)且x=：,0e(0,7t)時，Z與工的夾角為鈍角，求cos。的取值范圍；

(2)若。=［，函數(shù)/(x)=7B,求/(x)的最小值.

17.(2024?全國?模擬預(yù)測)在。8C中，內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為

cosB-cosA

⑴試判斷的形狀，并說明理由;

___3

(2)若°=屈，點(diǎn)尸在內(nèi)，PAPC=Q，tanZPCB=-,^tanZAPB.

18.（2024?福建寧德?三模）在AABC中,角48,C的對邊分別為a,6,c.已知

tz2+c2=9+laccosB?且sin8=V^sin/sinC.

(1)若8。L/C,垂足為。，求AD的長；

⑵若麗?前=3，求a+c的長.

19.(2024?湖北?二模)已知。8c的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c(a<b),

c=2acosAcosB-bcos2A.

⑴求/;

（2）者前=g前，54=2,求6+c的取值范圍.

【拓展沖刺練】

一、單選題

1.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）已知向量2B滿足同=1,W=25。（2￡詞=-18,貝壯與刃

的夾角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.（2024?浙江?三模）已知單位向量Z］滿足屋刃=0，貝"os（3Z+4&￡+力=（）

A.0B.-^1C.—D.1

1010

3.（2024?陜西?模擬預(yù)測）已知兩個向量方=（2,-1）,彼=（6,"?）,且伍+B）_L?-B）,則加的

值為（）

A.±1B.+V2C.±2D.±273

22

4.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知橢圓-%---J1----=1,片，丹為兩個焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，尸為橢

96

3

)

圓上一點(diǎn)，cosZFiPF2=-,貝/月。|=（

A.2B.叵iD.叵

C.

5