中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：數(shù)與式（原卷版）

專題01數(shù)與式

易錯點1:分母有理化

易錯點2:分式新定義

分式與二次根式易錯點3:分式中的倒數(shù)

易錯點4:根式有理化

易錯點5:復(fù)合二次根式

有理數(shù)專題

易錯點:

1.混淆有理數(shù)和無理數(shù)：學(xué)生可能難以區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)。例如，無法正確識別無

限不循環(huán)小數(shù)(如m和J2)為無理數(shù)。

2.運算錯誤：在進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除等運算時，學(xué)生可能會犯錯誤，如忽視

運算順序、運算符號錯誤或處理復(fù)雜表達(dá)式時出錯。

3.對絕對值理解不足：學(xué)生可能對絕對值的定義和性質(zhì)理解不足，例如將負(fù)數(shù)的絕對

值理解為負(fù)數(shù)，或在處理涉及絕對值的復(fù)雜問題時出錯。

4.對分?jǐn)?shù)運算不熟悉：學(xué)生可能對分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除等運算不太熟悉，導(dǎo)致在處

理涉及分?jǐn)?shù)的問題時出錯。

5.對數(shù)軸理解有誤：數(shù)軸是有理數(shù)的重要表示工具，但學(xué)生可能無法正確理解和使用

數(shù)軸，如無法正確標(biāo)記有理數(shù)、無法理解數(shù)軸上的相對位置關(guān)系等。

6.對有理數(shù)的混合運算順序不熟悉：在進(jìn)行有理數(shù)的混合運算時，學(xué)生可能不清楚運

算的優(yōu)先級，導(dǎo)致運算順序錯誤。

7.忽視未知數(shù)的取值范圍：在進(jìn)行有理數(shù)的函數(shù)運算時，學(xué)生可能忽視位置上的取值

范圍的重要性，導(dǎo)致答案不準(zhǔn)確。

8.對概念理解不足：學(xué)生可能對有理數(shù)的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整數(shù)、

什么是負(fù)數(shù)等。

易錯點1：絕對值化簡

例：若有理數(shù)°、6、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則卜+"+上一4=()

[I[]?

caob

A.bcB.—b—cC.—2。—bcD.b—c

變式1：如果。，6都是有理數(shù)(MwO),那么回+工=—.

x,x>0

變式2：閱讀下列材料：國=0,尤=0，即當(dāng)x>0時，忖=±=1,當(dāng)'<0時，忖=三=一1,

?XXXX

-x,x<0

運用以上結(jié)論解決下面問題：

(1)已知加，兒是有理數(shù)，當(dāng)加〃〉0時，則回一@=；

mn

(2)已知/w,”，才是有理數(shù)，當(dāng)？w"<0時，求㈣■-?-也■的值；

mnt

(3)已知機(jī)，"，/是有理數(shù)，m+〃+f=0,且機(jī)〃f<0,求上^----@-----—的值.

n+tm+tm+n

易錯點2：絕對值最值

例：式子|x-2|+|x—4|+|x-6|+|x—8|的最小值是()

A.2B.4C.6D.8

變式1：當(dāng)*=時,|x—l|+|x+2|+|x—3]+|X+4|H----bk+l()O|+|x—1。11的值最小,

最小值為.

變式2：學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時，我們從“數(shù)”和“形”兩方面研究一次函數(shù)的性質(zhì)，并積累了

一些經(jīng)驗和方法.小聰同學(xué)嘗試運用積累的經(jīng)驗和方法對函數(shù)了=舊-1|-3的圖象與性

質(zhì)進(jìn)行探究，下面是小聰同學(xué)的探究過程，請你補(bǔ)充完整.

⑴列表:

X2101234

y012a2b0

則",b=____

(2)描點并畫出該函數(shù)的圖象;

(3)①判斷：函數(shù)了=卜-1|-3的圖象(填“是”或“不是”)軸對稱圖形;

②觀察函數(shù)圖象，當(dāng)-3“<-1時，x的取值范圍是.

③觀察函數(shù)圖象，試判斷函數(shù)V=|xT|-3是否存在最小值？若存在，直接寫出最小值.

易錯點3：絕對值方程

例：若同=2機(jī)+6,則僅2+4優(yōu)的值為()

A.12B.-4C.5D.-3

變式1：已知：問=3,例=2,且卜+可<同+網(wǎng)，則0+6=

變式2：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾

何圖形結(jié)合起來解決問題.

探究：方程卜-1|=2,可以用兩種方法求解，將探究過程補(bǔ)充完整.

方法一、當(dāng)x-l>0時，|x-l|=x-l=2；

當(dāng)x-lVO時，

|x-l|==2.

方法二、卜-1|=2的意義是數(shù)軸上表示x的點與表示的點之間的距離是2.

-3-2-10123

上述兩種方法，都可以求得方程卜-1|=2的解是.

應(yīng)用：根據(jù)探究中的方法，求得方程|xT|+|x+3|=9的解是.

拓展：方程卜_1|_卜》一3|=；的解是.

易錯點4：數(shù)軸動點

例：如圖1,圓的周長為4個單位.在該圓的4等分點處分別標(biāo)上字母/、n、p、q.如

圖2,先將圓周上表示p的點與數(shù)軸原點重合，然后將該圓沿著數(shù)軸的負(fù)方向滾動，則

數(shù)軸上表示-2024的點與圓周上重合的點對應(yīng)的字母是（）

A.mB.nC.pD.q

變式1：如圖，邊長為3的正方形/BCD的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為

-4.將正方形/BCD在數(shù)軸上水平移動，移動后的正方形記為43'C'D',點A、3、C、

。的對應(yīng)點分別為H、B',C、點E是線段44,的中點，當(dāng)△BED面積為15時,

點/表示的數(shù)為.

DC

AB01

變式2：【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地

結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點/、點3表示的數(shù)分別為0、

b,則4,2兩點之間的距離/3=|。-耳，線段N8的中點表示的數(shù)為審.

【問題情境】如圖，數(shù)軸上點/表示的數(shù)為-3,點8表示的數(shù)為7,點尸從點/出發(fā),

以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點。從點2出發(fā)，以每秒3個

單位長度的速度向左勻速運動.

設(shè)運動時間為/秒G>0).

【綜合運用】

ABAB

I1_____________________________________I1_____________________________________

-307-307

備用圖

(1)填空：

①/、3兩點間的距離48=,線段的中點表示的數(shù)為；

②用含f的代數(shù)式表示：/秒后，點P表示的數(shù)為______；點。表示的數(shù)為.

⑵求當(dāng)，為何值時，尸、0兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)；

⑶求當(dāng)/為何值時，PQ=^AB；

(4)若點"為尸N的中點，點N為的中點，點尸在運動過程中，線段的長度是否

發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長.

易錯點5：數(shù)軸新定義

例：已知數(shù)軸上兩點/,2對應(yīng)的數(shù)分別為-2,4,點尸為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)

為Xp.

AOB

―?-1---1--1--1-1--1--1--1--1--1~>

-5-4-3-2-1012345

(1)若點尸為線段AB的中點，則點P對應(yīng)的數(shù)與=；

(2)點P在移動的過程中，其到點/、點8的距離之和為10,求此時點P對應(yīng)的數(shù)%的

值;

(3)對于數(shù)軸上的三點，給出如下定義：若當(dāng)其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2

倍關(guān)系時，則稱該點是其他兩個點的“友好點”.如圖，原點。是點4,2的友好點.現(xiàn)

在，點/、點3分別以每秒3個單位長度和每秒1個單位長度的速度同時向右運動，同

時點尸以每秒2個單位長度的速度從表示數(shù)5的點向左運動.設(shè)出發(fā)，秒后，點尸恰好

是點4,8的“友好點”,求此時的f值.

變式1：【定義新知】在數(shù)軸上點”和點N表示的數(shù)為〃?、"，則可以用絕對值表示點

M和點N之間的距離d(M,N),即

【初步應(yīng)用】

(1)在數(shù)軸上，點/、B、C分別表示的數(shù)為-2、1、x,解答下列問題：

①d(A,B)=；

②若dQ,C)=2,則x的值為；

③若d(4C)+d(2,C)=d(48),且x為負(fù)整數(shù)，則x的值為.

【綜合應(yīng)用】

(2)在數(shù)軸上，點。、E、尸分別表示數(shù)-3、5、12,動點尸沿數(shù)軸以每秒3個單位長

度從點。開始向點/運動，到達(dá)尸點后立刻原速返回到。點；同時，動點。沿數(shù)軸以

每秒1個單位長度從點￡開始向點尸運動，到達(dá)廠點后停止.設(shè)點尸的運動時間為f

秒，在整個運動過程中，若4(尸,。)=：/(。,￡),求:的值.

O

變式2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P,點河給出如下定義：如果點P與原點O

的距離為。，點W與點尸的距離是。的左倍(后為整數(shù))，那么稱點W為點尸的“左倍關(guān)

⑴當(dāng)月(-1.5,0)時,

①如果點月的3倍關(guān)聯(lián)點M在x軸上，那么點W的坐標(biāo)為________.

②如果點M（x,y）是點月的左倍關(guān)聯(lián)點，且滿足尤=-1.5,-20W4,那么整數(shù)上的最大

值為________.

（2）已知在Rt^4BC中,ZABC=90°,ZACB=3O°,A（b,O）,B（b+l,O）.若巴（-1,0）,且

在“3C的邊上存在點鳥的2倍關(guān)聯(lián)點。，求6的取值范圍.

實數(shù)專題

易錯點：

I.混淆有理數(shù)和無理數(shù)的概念：

有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而無理數(shù)則無法表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)

小數(shù)。

2.混淆實數(shù)的運算性質(zhì)：

（1）實數(shù)具有加法、減法、乘法和除法的運算性質(zhì)，例如結(jié)合律、交換律等。

（2）容易忽視實數(shù)的運算性質(zhì)，導(dǎo)致在運算中出現(xiàn)錯誤。

3.對絕對值的理解不足：

（1）絕對值表示一個數(shù)距離0的距離，正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的

相反數(shù)。

（2）容易忽略絕對值的定義，導(dǎo)致在處理絕對值時出現(xiàn)錯誤。

4.對平方根的理解不足：

（1）平方根是一個數(shù)的非負(fù)值，即正平方根和零的平方根。

（2）容易忽略平方根的定義，導(dǎo)致在處理平方根時出現(xiàn)錯誤。

5.對無理數(shù)近似表示的誤解：

（1）無理數(shù)可以用有理數(shù)進(jìn)行近似表示，例如“可以使用分?jǐn)?shù)進(jìn)行近似表示。

（2）容易將無理數(shù)的近似表示誤認(rèn)為是無理數(shù)的準(zhǔn)確值，導(dǎo)致在計算中出現(xiàn)錯誤。

6.對實數(shù)的大小關(guān)系理解不足：

（1）實數(shù)的大小關(guān)系可以通過數(shù)軸來表示，正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于一切

負(fù)數(shù)。

(2)容易忽略實數(shù)的大小關(guān)系，導(dǎo)致在比較實數(shù)大小時出現(xiàn)錯誤。

易錯點1：算術(shù)平方根與立方根的規(guī)律

例：已知：VK6=4.858,而％=1.536,則J0.00236=()

A.0.1536B.15.36C.0.04858D.48.58

變式1：小明用計算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

X2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四個推斷:

①(2.2801=1.51

②一定有3個整數(shù)的算術(shù)平方根在15.5?15.6之間

③對于小于15的兩個正數(shù)，若它們的差等于0.1,則它們的平方的差小于3.01

④16.22比16.『大3.23

所有合理推斷的序號是.

變式2：愛學(xué)習(xí)愛思考的小明，在家利用計算器計算得到下列數(shù)據(jù)：

V0.0324,0.324V324V324V324V3240,32400

0.180.5691.85.691856.9180

(1)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大」

⑵已知百。1.732(精確到0.001),并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：Vo^3

V300

(3)已知V10404=102,4=102,6=1020,則x=_,y=_.

(4)類似小明的探究，把表中所有平方根換成立方根，你能根據(jù)3。1.442,直接說出

V300和W3000的近似值嗎？

易錯點2：整數(shù)部分與小數(shù)部分

例：已知〃〈莊＜〃+1,且〃是整數(shù)，貝!|〃=（）

A.4B.5C.6D.7

變式1:定義因為不大于x的最大整數(shù)，如閉=2,[曰=1,[4』=4,則滿足[6]=5,

則n的最大整數(shù)為.

變式2：閱讀下面的對話，解答問題.

小紅：正是無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，因此它的小數(shù)部分我們不可能表示出來，對

嗎？

小高：你說的不對，我們知道，它住2和3之間，它的整數(shù)部分是2,用它本身減去整

數(shù)部分2就可以表示它的小數(shù)部分.

（1）、歷的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

⑵若5+退的小數(shù)部分為4-石的整數(shù)部分為6,求a-回的值；

（3）若4a+1的算術(shù)平方根是7,36-2的立方根是-5,c是的整數(shù)部分，求4a+6+3c

的平方根.

易錯點3：無理數(shù)的估算

例：估計Gx（省+百）的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

變式1:已知1r=133L123=1728,133=2197,=2744.若〃為整數(shù)，且〃＜獨而＜〃+1

則n=.

變式2：任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)T：掰＜T＜",（其

中加、〃為建綾的整數(shù)），則稱無理數(shù)的“美好區(qū)間”為（私"），如1＜后＜2，所以及的

“美好區(qū)間”為（1,2）.

⑴無理數(shù)-舊的“美好區(qū)間”是；

⑵若一個無理數(shù)的“美好區(qū)間”為（加,〃），且滿足10（加+血＜20,其中廠“二是關(guān)于x，

[y=y/n

y的二元一次方程5-行=。的一組正擎戮解，求C的值.

（3）實數(shù)x,V,加滿足如下關(guān)系式：

(2x+3y+m)2+(3x+2y-3m)2=yly-2024^2024-x-y,求加的算術(shù)平方根的“美

好區(qū)間

代數(shù)式專題

易錯點：

1.對代數(shù)式的理解不深刻：有些學(xué)生可能對代數(shù)式的概念和表示方法理解不夠深入，

導(dǎo)致在解題時出現(xiàn)混淆或錯誤。

2.變量與常數(shù)混淆：在代數(shù)式中，學(xué)生有時會將變量與常數(shù)混淆，影響解題的正確性。

3.運算順序錯誤：在復(fù)雜的代數(shù)式中，運算的順序（如先乘除后加減）容易被忽略，

導(dǎo)致結(jié)果錯誤。

4.括號處理不當(dāng)：括號在代數(shù)式中具有優(yōu)先級。學(xué)生在處理括號時，可能會忽略或錯

誤地處理，導(dǎo)致答案不正確。

5.對函數(shù)表達(dá)式的理解偏差：有些學(xué)生可能對函數(shù)表達(dá)式和其對應(yīng)的函數(shù)圖像理解不

清晰，影響后續(xù)的分析和應(yīng)用。

6.忽略實際意義：在某些問題中，代數(shù)式的取值范圍或?qū)嶋H意義可能受到限制。學(xué)生

如果不注意這一點，可能會導(dǎo)致答案不合理或錯誤。

7.化簡過程中出錯：在化簡代數(shù)式的過程中，學(xué)生可能會因為粗心或計算錯誤而導(dǎo)致

結(jié)果不正確。

8.對代數(shù)式的變換不熟悉：對于一些常用的代數(shù)式變換技巧，如提公因式、分組分解

等，有些學(xué)生可能還不夠熟練，導(dǎo)致解題效率低下或出錯。

9.對代數(shù)式的應(yīng)用場景不明確：代數(shù)式在不同的數(shù)學(xué)問題和實際應(yīng)用中有不同的作用

和意義。學(xué)生如果對應(yīng)用場景不明確，可能會誤解題意或應(yīng)用不當(dāng)。

易錯點1：整式中的整體代入

例：已知代數(shù)式尤-2y的值是一3,則代數(shù)式4y-2x+5的值是（）

A.-1B.2C.11D.8

變式1:若加是方程/-2x-4=0的一個根，則代數(shù)式2032-2/+4m的值為.

變式2：閱讀材料：我們知道，4尤-2x+x=（4-2+l）x=3x,類似地，我們把（。+6）看

成一個整體，貝1」4（。+6）-2（。+9+（。+6）=（4-2+1）（。+9=3（。+6）.“整體思想”是

中學(xué)教學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛.

嘗試應(yīng)用：

(1)把(。―6)看成一■個整體，合并-6(a-b)+2(Q-b)=；

(2)已知％2-2y=4,求-6>-21的值；

拓廣探索：

(3)已知Q-5b=3,5b—3c=—5,3c—d=10,求(a-3c)+(56-d)-(56-3c)的值.

易錯點2：代數(shù)式中的規(guī)律

例：一個容器裝有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出J升水，第2次倒出

水量是;升的《，第3次倒出水量是（升的第4次倒出水量是1升的!，…，第"次

233445

倒出水量是，升的工.按照這種倒水的方法，〃次倒出的水量共為（）

n〃+1

nf〃2+〃—1f

A.1升BQ升c需升D.2升

n+n

變式1:已知a>0,E=,，&=一鳥一1,8=$4=-$3-1…當(dāng)〃為

a>

大于1的奇數(shù)時，5.=一一；當(dāng)"為大于1的偶數(shù)時，

3〃-1

（1）§3=；（用含。的代數(shù)式表示）

（2）52024=.（用含。的代數(shù)式表示）

變式2：【問題提出】

如果從1,2,3……m,加個連續(xù)的自然數(shù)中選擇"個連續(xù)的自然數(shù)加），有多少

種不同的選擇方法？

【問題探究】

為發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的問題入手，再逐次遞進(jìn),

最后得出一般性的結(jié)論.

探究一：

如果從1,2,3……m,加個連續(xù)的自然數(shù)中選擇2個連續(xù)的自然數(shù)，會有多少種不

同的選擇方法？

如圖1,當(dāng)機(jī)=3,力=2時，顯然有2種不同的選擇方法；

如圖2,當(dāng)加=4,〃=2時，有1,2；2,3；3,4這3種不同的選擇方法；

如圖3,當(dāng)機(jī)=5,〃=2時，有種不同的選擇方法；

由上可知：從加個連續(xù)的自然數(shù)中選擇2個連續(xù)的自然數(shù)，有一種不同的選擇方法.

探究二：

如果從1,2,3……50,50個連續(xù)的自然數(shù)中選擇3個，4個……”(”《50)個連續(xù)的自

然數(shù)，分別有多少種不同的選擇方法？

我們借助下面的框圖繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律完成填空

123...43444546474950

從50個連續(xù)的自然數(shù)中選擇3個連續(xù)的自然數(shù)，有-----種不同的選擇方法；

從50個連續(xù)的自然數(shù)中選擇4個連續(xù)的自然數(shù)，有-----種不同的選擇方法；

由上可知：如果從1,2,3……50,50個連續(xù)的自然數(shù)中選擇〃("450)個連續(xù)的自然

數(shù)，有種不同的選擇方法.

【問題解決】

如果從1,2,3……m,加個連續(xù)的自然數(shù)中選擇〃個連續(xù)的自然數(shù)有

種不同的選擇方法.

【實際應(yīng)用】

我們運用上面探究得到的結(jié)論，可以解決生活中的一些實際問題.

(1)今年國慶七天長假期間，小亮想?yún)⒓幽陈眯猩缃M織的青島兩日游，在出行日期上，他

共有種不同的選擇.

(2)星期天，小明、小強(qiáng)和小華三個好朋友去電影院觀看《我和我的祖國》，售票員李阿

姨為他們提供了第七排3號到16號的電影票讓他們選擇，如果他們想拿三張連號票，則

一共有種不同的選擇方法.

易錯點3：代數(shù)式中的新定義

例：定義：對于一個兩位自然數(shù)，如果它的個位數(shù)字不為零，且它正好等于其個位和十

位上數(shù)字和的"倍("為正整數(shù))，我們就說這個自然數(shù)是一個“〃喜數(shù)”.例如：27就

是一個“3喜數(shù)，，，因為27=3x(2+7)；25就不是一個“"喜數(shù)”，因為25H(2+5)”.小暉

發(fā)現(xiàn)十位數(shù)字是個位數(shù)字2倍的兩位數(shù)都是“"喜數(shù)”，則〃的值為()

A.3B.7C.3或7D.21

變式1：定義：若。+6=",則稱。與b是關(guān)于數(shù)〃的“平衡數(shù)”.比如3與-4是關(guān)于T

的“平衡數(shù)”，5與12是關(guān)于17的“平衡數(shù)”.現(xiàn)有a=6/一8代+4與6=-2(3/一2丫+人)

(左為常數(shù))始終是數(shù)〃的“平衡數(shù)”，則它們是關(guān)于—的“平衡數(shù)”.

變式2：定義：對于一個兩位數(shù)x,如果x滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字耳不相回，且都不

為零，那么稱這個兩位數(shù)為“相異數(shù)”.將一個“相異數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得

到一個新的兩位數(shù)，將這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的求和，再除以11所得的商記為S(x).

例如，。=13,對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到的新兩位數(shù)31,新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和

為13+31=44,和44除以11的商為44+11=4,所以S(13)=4.

(1)下列兩位數(shù)：40,51,77中，“相異數(shù)”為；

⑵計算：5(65)的值；

(3)若一個“相異數(shù)勺的十位數(shù)字是左，個位數(shù)字是2人-1,且S(y)=8,求相異數(shù)分

易錯點4：整式與幾何應(yīng)用

例：現(xiàn)有/、8、C三種不同的矩形紙片若干張(邊長如圖)，小智要用這三種紙片無

重合無縫隙拼接成一個大正方形，先取/紙片9張，再取2紙片1張，還需取C紙片

的張數(shù)是()

A.2B.4C.6D.8

變式1：如圖所示的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，

它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的邊長

為5,小正方形的邊長為2.

（1）如圖1,若用正數(shù)a、b表示直角三角形的兩條直角邊（。＜6）,貝!|9=；

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形48CD,中間的小正方形為正方形跖，

連結(jié)/C,交3G于點尸，交。E于點則S^?-SACGP=

變式2：現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是。、b、J用

其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為。和b的正方形）；用另外

4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為c的正方形）.

（1）觀察：從整體看，整個圖形的面積等于各部分面積的和.所以圖2和圖3的大正方形

的面積都可以表示為（。+6）2,結(jié)論①;

圖2中的大正方形的面積又可以用含字母“、6的代數(shù)式表示為：,結(jié)論②

圖3中的大正方形的面積又可以用含字母。、b、。的代數(shù)式表示為：,結(jié)論③.

⑵思考：

結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到個等式

結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到個等式

（3）應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4）,三個半圓的面積分

別記作E、邑、$3,且.1+邑+號=20,求邑的值.

（4）延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個半圓（如圖5）,直角邊。=3,6=4,

斜邊c=5,求圖中陰影部分面積和.

因式分解專題

易錯點：

1.未能正確理解因式分解的定義：因式分解是將一個多項式表示為幾個整式的積的形式。

學(xué)生需要明確理解這一概念，才能正確進(jìn)行因式分解。

2.提公因式時系數(shù)提取錯誤：在進(jìn)行因式分解時，需要找出各項系數(shù)的最大公約數(shù)，并

提取出來作為公因式。如果學(xué)生在此過程中出現(xiàn)錯誤，就會影響因式分解的結(jié)果。

3.漏掉常數(shù)項：在進(jìn)行提公因式時，學(xué)生可能會忽略常數(shù)項。這是常見的錯誤，因為常

數(shù)項在多項式中容易被忽視。

4.未能正確應(yīng)用公式：在因式分解中，一些特定的多項式可以通過應(yīng)用公式進(jìn)行分解。

如果學(xué)生未能正確應(yīng)用這些公式，就會導(dǎo)致因式分解的結(jié)果不正確。

5.混淆了因式分解與整式的乘法：因式分解與整式的乘法是兩個不同的概念。學(xué)生需要

明確區(qū)分兩者，以免在解題過程中出現(xiàn)混淆。

6.未能正確判斷能否進(jìn)行因式分解：對于一些多項式，可能無法進(jìn)行因式分解。學(xué)生需

要學(xué)會判斷哪些多項式可以進(jìn)行因式分解，哪些不能。

易錯點1：分組分解法

例：因式分解/+.%一a/一/的值為（）

A.（a-bp+6）B.（Q+b）2（q-b）C.ab^a+b^D.ab^a-b^

變式1:分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解

多項式.

例如：

m2+n2-2mn+m-n=（m2-2mn+w2）+（m-w）=（加一〃/+（加一〃）=（冽一〃）（冽一〃+1）.

根據(jù)上述方法，解決問題：已知a、b、。是AZSC的三邊，且滿足/一/+qc-6c=0,

則“3C的形狀是.

變式2：先閱讀下面的材料，再完成后面的任務(wù).

材料一材料二

如果把一個多項式各個項分

組并提出公因式后，它們的另在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用

一個因式正好相同，那么這個一個新的字母代替，不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)

多項式就可以利用分組的方構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行

法來分解因式，這種因式分解因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”.例

的方法叫做分組分解法.（X2+2川/+2工+3）-4進(jìn)行因式分解的過程：

例am+an+bm+bn

^x2+2x=y,原式=y（y+3）-4=j2+3y-4

=Q（加+幾）+6（加+〃）

二（y-1）（y+4）=，+2x-1）（J+2x+4）

=（加+〃）（a+6）

（1）填空：因式分解加2+=；

22

⑵因式分解（寫出詳細(xì)步驟）：（a-a）（a-a-2）-24;

⑶若AABC三邊分別為a,6,c,其中a=3,b2+c2-6b-6c+l8=0,判斷力3C的形

狀，并說明理由.

易錯點2：因式分解的應(yīng)用

例：對于一個幾何拼接圖形，通過不同的方法計算它的面積，可以解釋一些數(shù)學(xué)等式.如

圖b先單個計算閱覽室（正方形）、衛(wèi)生間尸（正方形）和圖書室（長方形）的面積，

然后整體計算面積，可以得到數(shù)學(xué)等式：，+2如心（“+吃

,教學(xué)樓墻

圖

圖

書AF..D

書

閱覽室室閱覽室//

G-室

門：

圖書室PBC

圖4

（1）觀察圖2,填空（。+6）（。+26）=；

（2）因式分解：a2+ab-2b2,圖3表示面積為1+尤-2/的幾何拼接圖，請你補(bǔ)布宛擘

（涂上陰影）；

（3）學(xué)校準(zhǔn)備利用現(xiàn)有教學(xué)樓墻重建圖書館，重建資金額定（即墻厚度和總長度為定

值).圖4是圖書館地面一層的平面設(shè)計圖，由1個長方形閱覽室和2個正方形圖書室

組成，各開了一個1米寬的門相通.若計算面積時不考慮墻體厚度，用總長67米的墻

重建長方形/BCD圖書館的地面一層.問重建后，圖書館地面一層最大面積是多少平方

米？

變式1：【實踐探究】

小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時，用如圖1所示編號為①②③④的四種長方體各若干塊,

進(jìn)行實踐探究:

?

①②

(1)現(xiàn)取其中兩個拼成如圖2所示的大長方體，請根據(jù)體積的不同表示方法，寫出一個代

數(shù)恒等式:

(2)【問題解決】

若要用這四種長方體拼成一個棱長為x+2y的正方體，其中②號長方體和③號長方體

各需要多少個?試通過計算說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖3,在一個棱長為了的正方體中挖出一個棱長為x的正方體，請根據(jù)體積的不同表

示方法，直接寫出/一尤3因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問題：已知。與2〃分別

是兩個大小不同正方體的棱長，且。3-8〃3=(a-2〃乂4-4的)，當(dāng)"2〃為整數(shù)時，求助

的值.

變式2：學(xué)習(xí)整式的乘法時可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以

得到一個等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題.

材料：如圖1,圖形面積的兩種計算方法如下，

第一種方法：

看成2個正方形和2個長方形的面積和，化簡得?2+2ab+b2.

第二種方法：

看成一個大的正方形計算面積+，

得到一個等式a2+2ab+b2=(a+Z))~.

根據(jù)上述材料的解題方法解決下列問題：

⑴如圖2是由邊長分別為加，"的正方形和長為〃、寬為加的長方形拼成的大長方形，

根據(jù)圖形的面積，可以把1+2/+3〃?〃因式分解：l+zmz+sm”一；

(2)①如圖3是由幾個小正方形和小長方形拼成的一個邊長為a+b+m的大正方形，用不

同的方法表示這個大正方形的面積，得到的等式為「(求多個圖形的面積和的式子要化

簡)

②已知a+b+%=10,a2+b2+m2=64,利用①中所得到的等式，求代數(shù)式。6+加1+。加

的值.

分式與二次根式專題

易錯點：

1.分母不為零：分式的分母不能為零，這一點學(xué)生常常會忽略。在解決分式問題時，

一定要確保分母不為零。

2.二次根式的有意義：對于二次根式，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。學(xué)生常常會忽略這一

點，導(dǎo)致解答錯誤。

3.分式與整式的混淆：分式和整式在結(jié)構(gòu)上有很大的不同，分式的特點是分母中含有字

母。學(xué)生有時會混淆這兩者，導(dǎo)致解題錯誤。

4.運算順序：在復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，運算的順序（先乘除后加減，先括號后根式等）

非常重要。學(xué)生有時會因為運算順序的錯誤而導(dǎo)致答案錯誤。

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算：對于負(fù)整數(shù)指數(shù)早，學(xué)生常常會忘記除以相應(yīng)的基數(shù)的正整數(shù)

指數(shù)幕，導(dǎo)致答案錯誤。

6.最簡二次根式的判斷：最簡二次根式是指被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，

以及分母中不含有根號的分式。學(xué)生常常會忽略這一點，導(dǎo)致答案錯誤。

7.二次根式的化簡：二次根式需要化簡到最簡形式，但學(xué)生常常在這一步出現(xiàn)錯誤，比

如忘記開方或者合并同類項等。

易錯點1：分母有理化

例：已知X—一。22=。，則代數(shù)式""的值為（）

A.2021B.2024C.2027D.2030

變式1：已知。是方程2024x+l=0一個根，則/—2023a+一1的值為______

a+1

變式2：探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問題：

1_111_111_111_11

U2--292^3-2-3,7^4-3-4?4^5-_4_5；

1

⑴計算：若〃為正整數(shù)，猜想“〃+1)=

1111

，xx(x+1)(x+1)(%+2)(x+2014)(%+2015)

(3)若|。6-2|+0-1]=0,求々+;---1二人八+71cl的值

1111ab(〃+1)(6+1)(〃+2)

易錯點2：分式新定義

例：對于任意實數(shù)Q,b,我們定義新運算“*"：a^b=a2+2ab-b\例如:

3*5=32+2X3X5-52=14.若加，〃是方程（x+2）*3=0的兩個實數(shù)根，則工+工的值

mn

為（）

A,3110

B.3C.一D.——

777

m+n—6

變式1：在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“※”：冽※〃二(加〃。0).請解決下歹！J問題:

mn

(1)3X2=；

AR

(2)若(x-+2)=H-------,貝!)2/-8=.

變式2：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化

oA-I-?79

為帶分?jǐn)?shù).如：r—=2+r2-.我們定義：在分式中,對于只含有一個字母的

分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”;當(dāng)分子的次數(shù)小

于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”.

V—1丫23

如刀,上這樣的分式就是假分式；)K這樣的分式就是真分式?類似地，

假分式也可以化為帶分式(即：整式與真分式的和的形式).

如：口=(》+1)-2=1_2；上=--1)心7+1-+1」.

x+1x+1x+1x-1x-1X-.

解決下列問題：

(1)分式20嗎24是分式(填“真”或"假”)；

X

(2)將假分式=x+3化為帶分式；

x+2

(3)求所有符合條件的整數(shù)x的值，使得更上1一曰+二?L的值為整數(shù).

x+1xx+3%

易錯點3：分式中的倒數(shù)

、的值是(

例：已知小r則？

X+1

11

A.-B.8C.-D.6

86

什。bcr/2。+26+。心/+、r

變式1:若;一=——=-則——K的值為_____.

b+cc+aa+ba+b-3c

變式2：閱讀理解：

1