高三數(shù)學一輪復習：利用導數(shù)研究函數(shù)的零點講義

第三課時利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

題型一數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點

例1(2024?南昌模擬節(jié)選)已知函數(shù)火x)=(x—a)2+0e%a,b^R),若。=0時，函

數(shù)y=Ax)有3個零點，求人的取值范圍.

解函數(shù)y=/(x)有3個零點，即關(guān)于x的方程<%)=0有3個根，

也即關(guān)于x的方程》=一?有3個根.

X2X2

令g(x)=一下，則直線y=b與g(x)=—：的圖象有3個交點.

x(X—2)

g'(x)=最，

由g，(x)<0解得0<x<2；

由g'(x)>0解得x<0或x>2,

所以g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

4

g(0)=0,g(2)=一/，

當x>0時，g(x)<0；

當x-十8時，g(x)-0；

當Xf—8時，g(x)f—8,

作出g(x)的大致圖象如圖所示，作出直線

4

由圖可知，若直線y=b與g(x)的圖象有3個交點，則一二<。<0,

即6的取值范圍為(一0).

感悟提升含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可

將參數(shù)分離出來后，用X表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求

參數(shù)的范圍.

訓練1設(shè)函數(shù)外)=lnx+5,機?R,討論函數(shù)g(x)=/(x)—1零點的個數(shù).

解由題意知

g(x)=/(x)-|=^-^-1(x>0),

令g(x)=O,得m=一夕+耳》)。).

設(shè)夕(X)=—53+x(x>0),

則(p\x)=-^+1=-(X-1)(%+1).

當x?(0,1)時,(p'(x)>0,研X)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當x?(l,+8)時,(p'(x)<0,磯x)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

**.x=l是e(X)的唯一極值點，且是極大值點，

：.x=l也是磯X)的最大值點，

...0(X)的最大值為

2

^(1)=3-

結(jié)合丁=夕。)的圖象(如圖)可知，

2

①當機＞)時，函數(shù)g(x)無零點；

2

②當機=1時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；

2

③當0＜機時，函數(shù)g(x)有兩個零點；

④當機W0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點.

2

綜上所述，當機時，函數(shù)g(x)無零點；

2

當機=)或根W0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；

2

當0＜機＜9時，函數(shù)g(x)有兩個零點.

題型二利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點

例2已知函數(shù)H的uQa+Df—Zflnx—%e是自然對數(shù)的底數(shù)，Vx＞0,ex＞x+l.

(1)求人防的單調(diào)區(qū)間；

(2)記p：危)有兩個零點；q-a＞ln2.求證：尸是q的充要條件.

要求：先證充分性，再證必要性.

⑴解V?=(2a+l)x2-2x2lnx-4,

的定義域為(0,+°°),/(x)=4x(a—In%).

當0<x<e。時，/(x)>0,

.,.於)在(0,e。)上單調(diào)遞增;

當x>e。時，/(x)<0,

.?.於)在(巴+8)上單調(diào)遞減.

.?優(yōu)x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e。)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e。,+8).

(2)證明先證充分性.

由(1)知，當x=e。時，五x)取得最大值，

即fix')的最大值為y(ea)=e2a—4.

由人x)有兩個零點，得e2。-4>0,

解得a>ln2.

tz>ln2.

再證必要性.

*.*a>ln2,e2a>4.

.,../(ea)=e2a—4>0.

<7>ln2>0,Vx>0,eY>x+1,

e2a>2iz+l>2a.

_4a+l4tz+1111

(2a

..八ye,°)=e('4a+l7)-4=~e~。2—a—4=2a^-2<T21;n~22=;~In~4T—2<0.

.,.3xi￡(e^,e。)，使於i)=0；

*.*y(ea+x)=—e2a+2—4<0,

A3^e(ea,efl+1),,X2)=0.

?.貝x)在(0,e。)上單調(diào)遞增,在(e。,+8)上單調(diào)遞減,

.,.VxG(0,+°°),xWxi且xWx2,易得/(x)W0.

??.當a>ln2時，Xx)有兩個零點.

感悟提升利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最

值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合

的方法確定函數(shù)存在零點的條件.

訓I練2(2022.全國乙卷節(jié)選)已知函數(shù)火x)=ax—Ji(a+l)lnx,若五x)恰有一個零

點，求〃的取值范圍.

解由fix)=ax——x—(6z+l)lnx(x>0),

,,1a-\~1(ox—1)(x—1)

a=

侍/(%)=Q+x福(x>0).

11---JQ

①當。=0時，fix)=--—hix,/(x)=-

當%e(0,1)時,/(x)>0；

當%e(l,+8)時，/(x)<0,

所以1Ax)WHl)=—1<0,

所以不存在零點；

a(龍一一)(x—1)

②當。<0時，/(%)=------，-------，

當go,1)時，/(1)>0,於)單調(diào)遞增;

當X?(1,+8)時，/(x)V0,於)單調(diào)遞減,

所以Y(x)max=投1)=0—]<0,

所以兀V)不存在零點；

a(九一一)(x—1)

③當。>0時，/(%)=------，-------，

(i)當。=1時，/(x)>0,兀0在(0,+8)上單調(diào)遞增，因為五1)=?！猧=o,

所以函數(shù)兀0恰有一個零點；

(ii)當a>\時，故?c)在(0,1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(十，1)上單

調(diào)遞減.

因為汽1)=。-1>0,

所以大1>火1)>0，

當X-0+時，1X)一—8,由零點存在定理可知

1%)在(0,$上必有一個零點，

所以。>1滿足條件；

(iii)當0<。<1時，^>1,故人x)在(0,1),(；,+8)上單調(diào)遞增，在(1,；)上單

Ct-C4-L4-

調(diào)遞減.

因為火1)=。一1<0,

所以<%勺(1)<0，

當天—+8時，五X)一+8,由零點存在定理可知“X)在(!，+8)上必有一個零點，

即0<。<1滿足條件.

綜上，若1%)恰有一個零點，則a的取值范圍為(0,+°°).

題型三構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點

例3已知函數(shù)火》)=&'—l+ax(aGR).

(1)當x》0時，五x)》0,求。的取值范圍；

⑵若關(guān)于x的方程1——￡----=lnx+a有兩個不同的實數(shù)解,求a的取值范圍.

解(1)由題意，得了(x)=ex+a

若a三一1,則當x?[0,+8)時，/(x)20恒成立，

二人)在[0,+8)上單調(diào)遞增,

...當x?[0,+8)時，。了)2犬0)=0,符合題意;

若a<一1,令f(x)<0,得x<ln(—a),

.?優(yōu)x)在(0,ln(—a))上單調(diào)遞減，

.?.當x?(0,ln(—a))時，火沙勺(0)=0,不符合題意.

綜上，a的取值范圍為[—1,+°°).

、,,f(x)~ax-\-1

(2)法一由-=lnx+a,

得ex~a=lnx+a.

=

x—6/lnt9

令尸4=’,則<

Inx~\~a=t.

.e.x+lnx=r+lnt.

易知y=x+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，

=

??tx9得a=x—Inx.

則原問題可轉(zhuǎn)化為方程。=x—lnx有兩個不同的實數(shù)解.

x—1

令(p(x)=x~\nx(x>0),則(pr(x)—,

x

令9<%)<0,得0Vx<1；

令〃(x)>0,得x>l,

.?.磯X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

??9(X)min=0(l)=1,??<7^-1.

當。=1時，易知方程l=x—Inx只有一個實數(shù)解x=l,不符合題意.

下證當a>l時，a=x—lnx有兩個不同的實數(shù)解.

令g(x)=j;—Inx—a(a>l),

則g(x)=0(x)—a,易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

Vg(e-o)=e-fl>0,g(l)=l—a<0,

...g(X)在(「。，1)上有一個零點.

易知g(ea)=ea—2a,

令h(a)=ea—2a,

則當a>l時，"(a)=e。一2>0,

.,.//(a)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

.?.當a>\時，7z(a)>/z(l)=e-2>0,

即g(e")=e"—2a>0,

.,.g(x)在(1,e。)上有一個零點.

...當a>l時，a=x—lnx有兩個不同的實數(shù)解.

綜上，a的取值范圍為(1,+8).

,f(X)—<7X+1

法二由"一一~=Inx+a,

得e*=e"(lnx+Q),

xex=xea(lnx+Q),

即xex=e^+lnx(lnx+d).

令M(%)=xe\則有u(x)=u(a+\nx).

當x>0時，M(x)=(x+l)e%>0,

???以%)=猶*在(0,+8)上單調(diào)遞增，

=

??xx9即ct—x-Inx.

下同法一.

感悟提升涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

和極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)

值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍.

訓練3(2021.全國甲卷節(jié)選)已知a>Q且aWl,函數(shù)於)=會>0).若曲線y=f(x)

與直線y=l有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

解曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，

可轉(zhuǎn)化為方程W=l(x>0)有兩個不同的解，

即方程號=乎有兩個不同的解.

-XCi-

設(shè)g(x)=￥(x>0),

I11—Inx

則g'(x)=~人-2-(X>O),

人1—Inx舊

=

令(?'(%)=J1i20,付％=e,

當OVxVe時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當x>e時，gr(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

故g(X)max=g(e)=3，

且當x>e時，g(x)?(0,J),

又g(l)=O,所以0<乎V：,

ClC

所以a>\且aWe,

故a的取值范圍為(1,e)U(e,+°°).

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.已知函數(shù)Hx)=x—ae\aGR,討論函數(shù)兀0的零點個數(shù).

V

解f(x)=O等價于x-aex=O,即云=〃.

e

x1—x

設(shè)縱》，則勿(%)=二^，

x)=CC

當xVl時,h'(x)>0,以龍)單調(diào)遞增;

當x>l時，h'(x)<0,入。)單調(diào)遞減,

〃(%)max=/7(1)=

又當xVO時，/z(x)<0；

當x>0時，A(x)>0,且x-+8時，力(乃一0,

，可畫出/i(x)大致圖象，如圖所示.

...當aWO或。=；時，火》)在R上有唯一零點;

當時，八》)在R上無零點；

當0<a<；時，段)在R上有兩個零點.

七八e「j一、吐,lnx-\~ax

2.(2024?青島調(diào)研)已知函數(shù)/(%)=------〃

x,￡R.

(1)若。=0,求兀￥)的最大值；

(2)若求證：火的有且只有一個零點.

(1)解若。=0,則人功=一，其定義域為(0,+8),.?./(x)=1L

A%

由/(%)=。，得x=e,

當0<x<e時，/(力>0;

當x>e時，/(x)<0,

.,.心)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

...?￥)max=y(e)=-.

:+a}-In

if*

(2)證明/(%)=

%2=—

由(1)知，_/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

*.*0<a<l,

.,Inx-\-ax,Inx

/.當x>e時，八工)==a+>0,

故兀￥)在(e,+8)上無零點；

,,,lnx-\~ax

當0<x<e時，火%)=------,

x

e<0,1Ae)=a+/>0,

且五x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

.\/(九)在(0,e)上有且只有一個零點，

綜上，當0<〃<1時，?x)有且只有一個零點.

3.(2024?太原模擬節(jié)選)已知函數(shù)於)=瞪一九一1,討論方程段)=lnx+加一2的實

根個數(shù).

解由火光)=ln%+加一2,

得xex—%—Inx+1=m,x>0,

令/z(x)=xex—%—lnx+1,

e].1(x+1)(xex-1)

則/zr(x)=ex+xex—1—-=-----------------(x>0),

令m(x)=xe%—l(x>0),

則mr(x)=(x+1)-ex>0,

???加(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又弱|=坐一1<0,機⑴=e—1>0,

??.存在xo?g,1),使得加(xo)=O,

即.=5,從而lnx°=—xo.

當xG(0,xo)時，m(x)<0,h'(x)<0,

則/z(x)單調(diào)遞減；

當xW(xo,+8)時，m(x)>0,h'(x)>0,

則〃(x)單調(diào)遞增；

?*./l(x)min=/l(xo)=xoe*o—無0-Inxo+1=X0?:—xo+xo+1=2,

又易知，當X-0十時，"(X)―十8；

當工一+8時，力(%)—+8.

當機<2時，方程兀r)=lnx+/n—2沒有實根；

當m=2時，方程五x)=lnx+加一2有1個實根；

當m>2時，方程五x)=lnx+m一2有2個實根.

【B級能力提升】

4.(2024?鄭州模擬節(jié)選)已知函數(shù)八x)=ln(x+1)-%+1,g(x)=aex-x+lna,若函數(shù)

R(x)=Xx)—g(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解函數(shù)R(x)=/(%)—g(x)有兩個零點，

即用力)=gQ)有兩個實根，

即ln(x+l)—x+1=6zex—x+lna有兩個實根，