蘇科版八年級數(shù)學上冊重難點突破訓練：全等三角形中的動態(tài)問題（原卷版+解析）

專題04難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題

聚焦考點

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題

類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題

類型三全等三角形中的動點綜合問題

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題

例題：（2021?山東臨沂?八年級期中）如圖，垂足為點A,射線LAB,垂足為點B,AB=12cm,

AC-6cm.動點E從A點出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運動，動點O在射線上，隨著E點運動而運

動，始終保持EO=CB.若點E的運動時間為々＞0）,則當t=個秒時，QEB與YBCA全等.

【變式訓練】（2021.全國?七年級專題練習）已知：如圖，在長方形98中，48=6,40=10延長sc到點

E,使CE=4,連接OE,動點尸從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC-CD-以向終點A運動,

設點廠的運動時間為f秒，當，的值為時，AAB/和AOCE全等.

類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題

例題：（2019?江蘇?宜興市周鐵中學八年級階段練習）已知：如圖，ZB=90°AB//DF,AB=3cm,BD=Scm,

點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC±CE,若AC=CE，則DE的長為.

【變式訓練】

1.（2020?江蘇?泰州中學附屬初中八年級階段練習）如圖，AABC中，點。在邊上，DE±ABE,DH

_LAC于H,且滿足。尸為AE的中點，G為直線AC上一動點，滿足。G=Z）R若AE=4cm,貝UAG=

_____cm.

2.（2021?重慶八中八年級開學考試）如圖，在RfAABC中，ZACB^90°,AC=6,BC=8,AB=10,A。平分/

CAB交BC于。點，E,歹分別是AD,AC上的動點，則CE+所的最小值為

類型三全等三角形中的動點綜合問題

例題：（2022?遼寧葫蘆島?八年級期末）如圖，在AABC中，/BAC=90。,AB=AC.點。是直線BC上一動

點（點。不與點8,C重合），ZDAE=90°,AD=AE,連接CE.

（1）如圖1,當點。在線段3c上時，直接寫出8C,8與CE之間的數(shù)量關系；

（2）如圖2,當點。在邊3C的延長線上時，請?zhí)骄烤€段BC,8與CE之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由;

（3）如圖3,若點。在邊CB的延長線上，且點A,E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若C￡>=10,3C=6,

直接寫出CE的長度.

【變式訓練】（2022?遼寧葫蘆島?八年級期末）如圖①，點C在線段AB上（點C不與A,3重合），分別以

AC,BC為邊在A8同側(cè)作等邊入4口）和等邊△8CE,連接AE,BD交于點、P.

（1）觀察猜想：

1.AE與BD的數(shù)量關系為；

2./APD的度數(shù)為；

（2）數(shù)學思考：

如圖②，當點C在線段A3外時，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請

你寫出正確結(jié)論再給予證明.

j課后訓練：

??

一、填空題

1.（2022.江蘇?景山中學七年級期末）如圖，CA±BC,垂足為C,AC=2cm,BC=6cm,射線

垂足為8,動點尸從C點出發(fā)以2c7Ms的速度沿射線CQ運動，點N為射線上一動點，滿足尸N=AB,

隨著尸點運動而運動，當點尸運動秒時，ABC4與AP8N全等.

2.（2021.貴州?北京市日壇中學貴陽分校七年級期中）如圖，B,C都是直線BC上的點，點A是直線BC上

方的一個動點，連接4d4。得到右筋。，D,E分別為AC,上的點，且AD=B"AE=3C,DE=DC.當

線段AC與BC具有的位置關系時滿足DELAB.

3.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，在AABC中，A8=AC,。為線段5c上一動點（不與點&C重合）,

連接AD,作=且AD=AE,連接CE,當CE〃A8,ZBAr>=36。時，ZDEC=度.

BDC

4.（2020?廣西?桂林市田家炳中學八年級期末）如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD中，E、尸分別為AD、

BC的中點，P為對角線8。上的一個動點，則AP+EP的最小值的是

二、解答題

5.（2020?全國?八年級課時練習）如圖，在MAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、0是邊AC、BC上的

兩個動點，POLAB于點。，QELA8于點E.設點尸、。運動的時間是f秒（。0）.若點P從C點出發(fā)沿

CA以每秒3個單位的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回到點C停止運動；點

。從點2出發(fā)沿BC以每秒1個單位的速度向點C勻速運動，到達點C后停止運動，求當r為何值時，&APD

和△QBE全等.

6.（2020?山東濟南?七年級期末）如圖，在AA5c中，ZACS=90°,AC=BC=2,點。是射線8c上一動點,

過點8作BELAD,垂足為點E,交直線AC于點P.

圖(1)圖⑵

(1)如圖(1),若點。在BC的延長線上，且點E在線段AO上，試猜想AP,CD,8C之間的數(shù)最關系,

并說明理由;

(2)如圖(2),若點D在線段BC上，試猜想AP,CD,BC之間的數(shù)量關系，并說明理由.

7.(2022?江蘇?八年級課時練習)AABC中，AB=AC,點。是射線C2上的一動點(不與點2、C重合),

以AD為一邊在AD的右側(cè)作AADE,使AD=AE,/DAE=NBAC,連接CE.

(1)如圖1,當點。在線段上，且/BAC=90。時，那么/OCE=________度；

(2)設NBAC=a,4DCE=B.①如圖2,當點。在線段C3上，/氏4690。時，請你探究。與￡之間的數(shù)

量關系，并證明你的結(jié)論；②如圖3,當點D在線段的延長線上，/54個90。時，請將圖3補充完整,

寫出此時a與夕之間的數(shù)量關系并證明.

8.(2022?云南?景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末)如圖1,點P,。分別是等邊AABC邊

AB,8c上的動點，點P從頂點A向點8運動，點。從頂點8向點C運動，兩點同時出發(fā)，且它們的速度

都相同.

A

A

Q

Q圖i圖2

(1)連接A。，CP交于點M則在尸、。運動的過程中，NCMQ的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若

不變，則求出它的度數(shù)；

(2)如圖2,若點尸、。在運動到終點后繼續(xù)在射線A8,8c上運動，直線AQ、CP交點為M,則NCA/Q的大

小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

9.(2020?全國?八年級專題練習)如圖，在AABC中，。為AB的中點，AB^AC^lOcm,BC=8cm.動點

尸從點8出發(fā)，沿3c方向以3c〃z/s的速度向點C運動；同時動點。從點C出發(fā)，沿C4方向以3c機/5的速

度向點A運動，運動時間是笈.

(1)在運動過程中，當點C位于線段尸。的垂直平分線上時，求出/的值；

(2)在運動過程中，當VBPD0VCQP時，求出，的值；

(3)是否存在某一時刻入使ABP。絲ACPQ?若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

10.(2019?內(nèi)蒙古?赤峰市松山區(qū)大廟中學八年級階段練習)已知：如圖，4=90。，AB//DF,AB=3cm,

比＞=8cm,點C是線段上一動點，點E是直線DR上一動點，且始終保持ACLCE.

(1)證明：ZACB=NCED；

(2)若點C在線段8。上滿足AC=CE時，求DE的長？

(3)在線段HD的延長線上，是否存在點C,使得AC=CE,若存在，請求出8c的長度；若不存在，請

說明理由.

11.(2022?安徽?九年級期末)如圖，R/AAC8中，ZACB=90°,AC=BC,E點為射線CB上一動點，連結(jié)

AE,i^AFlAES.AF^AE.

(1)如圖1,過/點作即LAC交AC于。點，求證：FD=BC；

(2)如圖2,連結(jié)2尸交AC于G點，若AG=3,CG=1,求證：E點為BC中點.

(3)當E點在射線上，連結(jié)8尸與直線AC交子G點，若8C=4,BE=3,則=7=.(直接寫

出結(jié)果)

12.(2022?福建?廈門市松柏中學八年級期末)如圖所示，已知2(-2,0),C(2,0),A為y軸正半軸上

的一點，點。為第二象限一動點，點E在8。的延長線上，C。交A8于點E且/5DC=/BAC.

y

w

⑴求證：ZABD^ZACD；

(2)求證：A￡＞平分NCDE；

(3)若在。點運動的過程中，始終有。C=D4+D8,在此過程中，/BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化,

請說明理由；如果不變，請求出/BAC的度數(shù).

專題04難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題

聚焦考點

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題

類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題

類型三全等三角形中的動點綜合問題

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題

例題：（2021?山東臨沂?八年級期中）如圖，CALAB,垂足為點A,射線垂足

為點8,AB=12cm,AC=6cm.動點E從A點出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運動，動

點D在射線上，隨著E點運動而運動,始終保持瓦>=.若點E的運動時間為t{t>0）,

則當t=個秒時，.DEB與YBCA全等.

【答案】2或6或8

【解析】

【分析】

分兩種情況：①當E在線段AB上時，②當E在BN上,再分別分成兩種情況AC=BE,AB=BE

進行計算即可.

【詳解】

解：①當E在線段上，AC=BE^,AACB-BED

AC=6,

，BE=6,

AE=12-6=6,

「?點E的運動時間為6+3=2（秒）.

②當E在BN上，AC=BE時,AACB濟BED

???AC=6f

二.BE=6,

AE=12+6=18.

；?點E的運動時間為18+3=6（秒）.

③當E在2N上，AB=BE^S,AACB三ABDE

,AE=12+12=24.

.??點￡的運動時間為24+3=8（秒）

④當E在線段上，時，AACBMABDE這時E在A點未動，因此時間為0秒不符

合題意.

故答案為：2或6或8.

【點睛】

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、S4S、ASA、A4S、

HL.注意：A4A、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，

若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式訓練】（2021?全國?七年級專題練習）已知：如圖，在長方形A8CD中，AB=6,AD=10

延長3C到點E,使CE=4,連接OE,動點廠從點8出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿

8C-CD-ZM向終點A運動，設點尸的運動時間為/秒，當/的值為時，△鉆/和

△DCE全等.

【答案】2或11

【解析】

【分析】

分兩種情況討論，根據(jù)題意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案.

【詳解】

解：:△DCE為直角三角形，

且AB=DC,

.?.當時，

有BF=2t=CE=4,

解得：1=2；

當△BAbgAOCE時，

WAF=CE=4,

此時臚=BC+CD+DA-2t=10+6+10-2t=26-2t=4,

解得：t=ll,

故答案為：2或11.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定，注意到"XE為直角三角形，且A2=Z）C,故只有BF=2u4和

AF=26-2t=4兩種情況.

類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題

例題：（2019?江蘇?宜興市周鐵中學八年級階段練習）已知：如圖，ZB=90°AB//DF9AB=3cm,

8。=8°利，點。是線段班）上一動點，點E是直線O尸上一動點，且始終保持ACLCE,若

AC=C&貝ljDE的長為.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)全等得出對應邊相等，即可得出答案.

【詳解】

解：VZB=90°,AB//DF,

：.ZD=ZB=90°9

VAC±CE,

???ZACE=90°,

AZECD+ZCED=90°,NACB+NEC7>90。，

???ZACB=ZCED；

???在△ABC和△COE中

NACB=/CED

<NB=ND

AC=CE

ZXABC^ACDE（AAS）,

.'.AB=CD=3cmf

DE=BC=8cm-3cm=5cm

故答案為5.

【點睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2020?江蘇?泰州中學附屬初中八年級階段練習）如圖，A48C中，點。在邊BC上，DE

_L4B于E,DHLACH,且滿足。E為AE的中點，G為直線AC上一動點，滿

足DG=DF,若AE=4cm貝UAG=cm.

H

E,

B，-------------D-------------------------C

【答案】2或6.

【解析】

【詳解】

?：DE±AB,DH±AC,

：.ZAED=ZAHE=9Q°.

在AAOE和△AOH中，

??AD=AD,DE=DH,：.ZXAOE絲△ADH(HL),

.'.AH=AE=4cm.

:尸為AE的中點，Z.AF=EF=2cm.

在AF￡)E和△G￡)8中，

??DF=DG,DE=DH,：./\FDE^AGDH(HL),

GH=EF=1cm.

當點G在線段AH上時，AG=AH-GH=4-2=2cm-

當點G在線段HC上時，AG=AH+GH=A+2=6cm-,

故AG的長為2或6.

2.（2021?重慶八中八年級開學考試）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

AD平分NC4B交8C于。點,E,尸分別是上的動點，則CE+E尸的最小值為.

24

【答案】y

【解析】

【分析】

在AB上取點F,^AF'=AF,過點C作CHLA2,垂足為凡因為EF+CE=EF+EC,推出

當C、E、9共線，且點尸與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最小.

【詳解】

解：如圖所示：在A2上取點尸，^AF'=AF,過點C作CHLAB,垂足為H.

：&￡)平分/CAB,

：.ZCAD=ZBAD,

又AE=AE,

/.△AEF^AAEF(SAS),

：.FE=EF',

"：EF+CE=EF'+EC,

24

...當C、E、尸共線，且點尸與〃重合時，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為g,

24

故答案為：—.

【點睛】

本題主要考查的是勾股定理的應用、垂線段最短等知識，解題的關鍵是正確的作出輔助線,

明確當C、E、9共線，且點尸與點H重合時，CE+EB的值最小.

類型三全等三角形中的動點綜合問題

例題：(2022?遼寧葫蘆島?八年級期末)如圖，在AABC中,ZBAC=90°,AB=AC.點。是

直線BC上一動點(點。不與點8,C重合)，ZDAE=90°,AD=AE,連接CE.

(1)如圖1,當點。在線段BC上時，直接寫出3C。與CE之間的數(shù)量關系；

(2)如圖2,當點。在邊3c的延長線上時，請?zhí)骄烤€段8C。與CE之間存在怎樣的數(shù)量關

系？并說明理由；

(3)如圖3,若點。在邊CB的延長線上，且點4￡分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若

CD=10,8C=6,直接寫出CE的長度.

【答案】(l)CE+a)=BC,證明見解析

(2)CE=BC+CD,證明見解析

⑶CE=4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件A2=AC,ZBAC=90°,AD=AE,ZDAE=90°,判定之A4CE(SAS),

即可得出BO和CE之間的關系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得至IJCE+CO=BC；

(2)根據(jù)已知條件，判定及43￡)絲/VICE(SAS),得出2D=CE,再根據(jù)即可

得至UCE=BC+CD；

(3)根據(jù)條件判定(SAS),得出8O=CE,即可解決問題.

(1)

解：如圖1,

圖1

ZBAC=ZDAE=90°,

：.NBAD=/CAE,

AB^AC

在△A2D和"CE中，\ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^/\ACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

(2)

線段BC,CD與CE之間存在的數(shù)量關系為BC=CE-a>.

理由：如圖2中，由(1)同理可得，

E

7

BCD

圖2

ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

AB=AC

：.在4ABD和△ACE中，］/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.^ABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BD=BC+CD,即CE=BC+CD.

(3)

如圖3,

由（1）同理可得，VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,即ZBAD=ZEAC,

同理，AABD咨AACE（SAS）,

：.BD=CE,

VCD=10,BC=6,

：.DB=DC-BC=4,

；.CE=4.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì).解決問題的關鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應

相等的兩個三角形全等.解題時注意：全等三角形的對應邊相等.

【變式訓練】（2022.遼寧葫蘆島.八年級期末）如圖①，點C在線段AB上（點C不與A,B

重合），分別以AC,BC為邊在AB同側(cè)作等邊"CD和等邊ABCE,連接AE,交于點尸.

⑴觀察猜想：

LAE與BD的數(shù)量關系為；

2.NAPD的度數(shù)為；

⑵數(shù)學思考：

如圖②，當點C在線段AB外時，(1)中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；

若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明.

【答案】⑴①②60°

(2)上述結(jié)論成立.ZAP￡)=60°,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件只要證明AOCB學/XACE,即可證明出AE于BO的數(shù)量關系，以及NAP。

的角度；

(2)根據(jù)△AC。，ABCE均為等邊三角形，可知=AC,BC=EC,NDCA=NBCE=60。,

進而可知N￡)CA+NACB=NACB+N2CE,即NZ)CB=NACE,從而可證AOCB咨△ACE'

(SAS),貝ljDB=AE,NCDB=NCAE,根據(jù)NOCA=以=60°可證NAPD=60°.

(1)

解：?.?△AC。和ACBE都是等邊三角形，

：.AC=DC,CE=CB,ZACD=ZECB=60°,

,：ZACE=ZACD+ZDCE,ZDCB=ZDCE+ZECB,

：.ZDCB=ZACE,

：./\DCB^AACE,

：.AE=BD,ZBDC=ZCAE,

又：ZDOP=ZCOA,

：.ZAPD=ZACD=60°,

故答案是：AE=BD,60°；

(2)

上述結(jié)論成立，

VAACD,A8CE均為等邊三角形,

：.DC=AC,BC=EC,ZDCA=ZBCE=60°,

：.ZDCA+NACB=ZACB+ZBCE,即/DCB=ZACE,

DC=AC

在4DCB和CE中，＜NDCB=ZACE,

CB=CE

.-.△DCB^AACE(SAS),

：.DB=AE,

ZCDB=ZCAE,

如圖，設8。與AC交于點。，易知/OOC=NAOP(對頂角相等),

/.ZCDB+ZDCA=ZCAE+ZDPA,

：.ZDCA^ZDPA=60°,即/APZ)=60°.

【點睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與

判定是解決本題的關鍵.

i課后訓練j

一、填空題

1.（2022?江蘇?景山中學七年級期末）如圖，CAA.BC,垂足為C,AC^2cm,BC=6cm,

射線垂足為B,動點P從C點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線CQ運動，點N為射

線2M上一動點，滿足PN=AB,隨著尸點運動而運動，當點尸運動秒時，ABG4與

AP8N全等.

【答案】0或2或4或6

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可分點P在點B的左側(cè)和右側(cè)進行分類求解即可.

【詳解】

解：設點尸的運動時間為f秒，由題意得：CP=2tcm,

①當uO時，即點C與點P重合，滿足4ACB咨ANBP,

②當點P在點B的左側(cè)時，且滿足AC=BP=2cm,

'：PN=AB,

:.AACB'PBN（HL）,

CP=2tcm,

BP=（6-2?）cm,即6-2/=2,

解得：t=2；

③當點P在點B的右側(cè)時，且滿足AC=BP=2cm,則AACB^APBN,

：.5P=（2r-6）cm,即2，一6=2,

解得：r=4；

④當點P在點8的右側(cè)時，且滿足8c=8P=6cm,則AACB/

BP=（2r-6）cm,即2/—6=6,

解得：t=6；

綜上所述：當1=2或?；?或6秒時，A5G4與APBN全等.

故答案為?；?或4或6.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

2.（2021.貴州?北京市日壇中學貴陽分校七年級期中）如圖，B,C都是直線3c上的點，點

A是直線BC上方的一個動點，連接AB,AC得到AABC,D,E分別為AGA3上的點，且

AD=BD,AE=BC,DE=DC.當線段AC與3C具有的位置關系時滿足DE±AB.

【答案】AC1BC

【解析】

【分析】

利用“SSS，證明△AEZ）和△BC。全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得/AEZANC,再根據(jù)

垂直的定義證明即可.

【詳解】

當AC_LBC時，DELAB-,

"：AC±BC,

.\ZC=90°,

AD=BD

,：在"西和△BCD中|AE=BC,

DE=DC

AAED咨ABCD（SSS），

：.ZAED=ZC=90°,

：.DE±AB.

故答案為：AC±BC.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題

的關鍵.

3.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，在AABC中，AB=AC,D為線段BC上一動點（不與

點、B、C重合），連接AD,作=且=連接CE,當CE11AB/BAD=36

時，/DEC=______度.

【答案】24

【解析】

【分析】

由“SAS'可證AAaDg/XACE,可得/8=NACE,可證zvlBC是等邊三角形，可得/BAC=/

DAE=ZACB=ZACE=60°,即可求解.

【詳解】

解：VZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

即NBAD=NCAE,

AB=AC

在和AACE中I/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

/B=/ACE,

'JCE//AB,

ZBAC=ZACE,

:./BAC=/B,

：.AC=BC,

.?.△ABC是等邊三角形，

/BAC=NDAE=/ACB=/ACE=6。。,

.?.△D4E是等邊三角形，

ZAED=60°,

：.ZD￡C=180°-36o-60o-60o=24°,

故答案為：24.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明AABC是等邊三角形

是解題的關鍵.

4.（2020?廣西?桂林市田家炳中學八年級期末）如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD中，E、

廠分別為AD、BC的中點，P為對角線3。上的一個動點，則AP+EP的最小值的是

【答案】2君

【解析】

【分析】

連接CP,當點￡,P,C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，根據(jù)勾股定理計算即

可.

【詳解】

解：如圖，連接CP,

由AO=CD,ZADP=ZCDP=45°,DP=DP,可得尸（SAS）,

：.AP=CP,

：.AP+PE=CP+PE,

，當點E,P,C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,

是AD的中點，

：.ED=2,

由勾股定理得：CE=Jcr＞2+DE，="+2?=2遙，

故答案為：2石.

【點睛】

本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關于2。的對稱點C是解答此題的

關鍵.

二、解答題

5.（2020?全國?八年級課時練習）如圖，在RfAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、。是

邊AC、8C上的兩個動點，PDLA8于點。，于點E.設點產(chǎn)、。運動的時間是才

秒（/＞（））.若點P從C點出發(fā)沿C4以每秒3個單位的速度向點A勻速運動，到達點A后

立刻以原來的速度沿AC返回到點C停止運動；點。從點B出發(fā)沿8c以每秒1個單位的

速度向點C勻速運動，到達點C后停止運動，求當t為何值時，△4PD和AQBE全等.

二

apc

【答案】2s或4s

【解析】

【分析】

Q

分兩種情況：①時，點尸從C到A運動，貝UAP=AC-CP=8-3f,BQ=t,求得Z=2,

Q

②侖§時，點P從A到C運動，貝|AP=3f-8,BQ=t,求得仁4.

【詳解】

Q

解：①0勺＜§時，點P從C到A運動，貝UAP=AC-CP=8-3t,BQ=t,

當AADPdQBE時，

則AP=BQ,

即8-3t=t,解得：Z=2,

Q

②侖3時，點P從A到C運動，貝qAP=3f-8,BQ=t,

當AADP0MBE時，

則AP=BQ,

即3t-8=3

解得：t=4,

綜上所述：當/=2s或4s時，△ADPWLQBE.

【點睛】

此題主要考查了全等三角形的判定，正確進行分類討論，不要漏解以及找到全等三角形對應

邊相等列出方程是解題的關鍵.

6.(2020?山東濟南?七年級期末)如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,點。是射

線BC上一動點，過點8作BELA。，垂足為點E,交直線AC于點P.

圖(1)

(1)如圖(1),若點。在BC的延長線上，且點E在線段AO上，試猜想AP,CD,BC之

間的數(shù)最關系，并說明理由；

(2)如圖(2),若點。在線段上，試猜想AP,CD,BC之間的數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】(1)BC=AP+CD,理由見解析；(2)AP=BC+CD,理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意可得根據(jù)“ASA”可證△ACE^ZiBCP,可得CD=CP,即可求

出AP,CD,BC之間的數(shù)量關系；

(2)由題意可得NB4E=NPBC,根據(jù)“ASA”可證△ACD四△BCP,可得C￡)=CP,即可求出

AP,CD,BC之間的數(shù)量關系.

【詳解】

解：(1)BC=AP+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZD+ZDAC=90°,ZD+ZDBE=90°,

：.ZDAC=ZDBE,S.ZACB=ZACD,AC=BC,

AACD絲ABCP(ASA),

：.CD=CP,

'：BC^AC^CP+AP,

：.BC=AP+CD,

(2)AP=BC+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZP+ZPAE^90°,ZP+ZPBC^90°,

；./PAE=NPBC,且/ACB=NBCP,AC=BC,

：.AACD^ABCP(ASA),

：.CD=CP,

VAP^AC+CP,

：.AP=BC+CD.

【點睛】

本題考查了直角三角形的兩銳角互余，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判

定與性質(zhì)解決問題是本題的關鍵.

7.(2022?江蘇?八年級課時練習)"8C中，A8=AC,點O是射線CB上的一動點(不與點

B、C重合)，以A。為一邊在的右側(cè)作使AO=AE,ZDAE^ZBAC,連接CE.

DB

(D如圖1,當點。在線段CB上，且NBAC=90。時，那么NQCE=________度；

⑵設NBAC=a,ZDCE=P.①如圖2,當點D在線段上，NA4cM0。時，請你探究

。與夕之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；②如圖3,當點。在線段C8的延長線上，Z

8AC切0。時，請將圖3補充完整，寫出此時。與月之間的數(shù)量關系并證明.

【答案】⑴90

⑵①a+夕=180。，證明見解析；②a=尸，證明見解析

【解析】

【分析】

(1)易證即可證明ABAD也可得/ACE=NB,即可解題；(2)

易證NBA￡?=NC4E,即可證明△BAD注△CAE,可得NACE=NB,根據(jù)NB+/ACB=180。

-a即可解題；

(3)易證/BAO=NC4E,即可證明ABA。q△◎￡,可得/ACE=N8,根據(jù)NADE+/

AED+a=180°,NCZ)E+/CED+2=180。即可解題.

(1)?：ZBAD+ZDAC^90°,ZDAC+ZCAE^90°,AZBAD^ACAE,在△24。和ACAE

AB=AC

中，lzBAD=ZCAE,：./\BAD^/\CAE(SAS),：.ZACE^ZB,VZB+ZACB=90°,

AD=AE

：.ZDCE^ZACE+ZACB^90°；故答案為90.

⑵①?.,/?BAO+NZX4C=a,ZDAC+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在△血!￡）和ACAE

AB^AC

中，＜NBAD=NCAE,：.^BAD^/\CAE(SAS),AZACE=ZB,'：ZB+ZACB=180°

AD=AE

ZBAD+ZBAE=a,ZBAE+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在ABAO和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,.?.△BAO也△CAE(S4S),AZAEC=ZADB,'：ZADE+ZAED+a=

AD=AE

180°,ZCDE+ZCED+°=180°,NCED=ZAEC+ZAED,：.a=p.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證A54Z)之

△C4E是解題的關鍵.

8.(2022?云南?景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末)如圖1,點P,。分別是

等邊AABC邊AB,8C上的動點，點P從頂點A向點8運動，點。從頂點8向點C運動，

兩點同時出發(fā)，且它們的速度都相同.

(1)連接AQ,CP交于點M則在P、。運動的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，

則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

⑵如圖2,若點P、。在運動到終點后繼續(xù)在射線AS8C上運動，直線A。、CP交點為M,

則NCMQ的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

【答案】⑴不變；60°

⑵不變；120°

【解析】

【分析】

(1)通過證明△ABQ名△(24P(&4S)得到ZBAQ=ZACP,再利用三角形外角的性質(zhì)即可求

解；

(2)同樣通過證明△AfiQ絲AC4P(&4S)得到ZBAQ=ZACP,再利用三角形外角的性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和的性質(zhì)進行求解即可.

(1)

解：(1)點P、。在運動的過程中，NCW不變.

ABC是等邊三角形，

/.ZABQ=ZCAP=60°,AB^CA,

又：點尸、。運動速度相同，

/.AP=BQ,且NABQ=NC4P,AB=AC,

：.^ABQ^^CAP(SAS),

：.ZBAQ=ZACP.

?：ZQMC=ZACP+ZMAC,

ZQMC=ZBAQ+Z.MAC=ABAC=60°

(2)

點尸、。在運動的過程中，NCMQ不變.

由(1)可知：△ABQ=ACAP,

/.ZBAQ=ZACP,

ZQMC=NBAQ+ZAPM,

/.ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-APAC=180°-60°=120°,

...點P、。在運動的過程中，NCMQ不變.

【點睛】

本題考查了動點問題，涉及到了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)

角和是180。等知識，解題關鍵是正確找到全等三角形.

9.(2020?全國?八年級專題練習)如圖，在AABC中，。為AB的中點，AB=AC^10cm,

BC=8cm.動點P從點8出發(fā)，沿BC方向以3c〃z/s的速度向點C運動；同時動點。從點C

出發(fā)，沿C4方向以3c機/s的速度向點A運動，運動時間是ts.

(1)在運動過程中，當點C位于線段PQ的垂直平分線上時，求出/的值；

(2)在運動過程中，當VBPZJWC。尸時，求出/的值；

(3)是否存在某一時刻入使ABPDJCPQ?若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

D.

Q

B^=TP--------1c

4

【答案】(1)t=2時，點C位于線段尸。的垂直平分線上；(2)，=1；(3)不存在，理由見

3

解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意求出8P,CQ,結(jié)合圖形用含f的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)線段垂直平分

線的性質(zhì)得到CP=CQ,列式計算即可；

(2)根據(jù)全等三角形的對應邊相等列式計算；

(3)根據(jù)全等三角形的對應邊相等列式計算，判斷即可.

【詳解】

解：(1)由題意得BP=CQ=3t,

則CP=8—3t,

當點C位于線段PQ的垂直平分線上時，CP=CQ,

***8-3t=3t9

4

解得，/=

3

則當/=?4時，點。位于線段的垂直平分線上；

3

(2)???。為45的中點，A4Ag0,

JBD=5,

?.,NBPDKCQP,

???BD=CP,

8—3^—5,

解得，，=1,

則當VBPD2VCQ尸時，片1；

(3)不存在，VABPD^ACPg,

BD=CQ,BP=CP,

則3%=5,3/=8—3，

4

解得，

3

不存在某一時刻t,使ABPDg△CPQ.

【點睛】

本題考查的是幾何動點運動問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形

的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵.

10.（2019?內(nèi)蒙古?赤峰市松山區(qū)大廟中學八年級階段練習）已知：如圖，4=90。，AB//DF,

AB=3cm,BD=8cm,點C是線段上一動點，點E是直線￡）廠上一動點，且始終保持

ACLCE.

（1）證明：ZACB=NCED；

（2）若點C在線段3D上滿足AC=CE時，求。E的長？

（3）在線段8。的延長線上，是否存在點C,使得AC=CE,若存在，請求出的長度;

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）5cm；（3）存在，11。"

【解析】

【分析】

（1）由題意易得ND=N3=90。，進而可證NECD+/CED=90。，ZACB+ZECD=90°,

然后問題得證；

（2）由題意可證AABC絲ACDE,則有AB=CD=3cm,然后根據(jù)線段的和差關系可求解;

（3）由題意易得NCDE=N3=90。，進而可證/后。。=N3AC,當CD=AB=3cm時，

AC=CE,則有AABC絲ACDE,最后根據(jù)線段的關系可求解.

【詳解】

解：⑴VZB=90°,AB//DF,：.ZD=ZB=90°,

VACLCE,：.ZACE=90°,

NECD+ZCED=90°,ZACB+NECD=90°,

ZACB=NCED

ZACB=ZCED

(2)???在AABC和ACDE中｛/8=ND

AC=CE

：.\ABCACDE(A4S),AAB=CD=3cm,

DE=BC=8cm—3cm=5cm

(3)存在，理由如下：

VZB=90°,AB//DF,/.ZCDE=ZB=90°9

VACLCE,???ZACE=90。，

???NECD+ZACB=90。，ZACB+N胡C=90。，：.ZECD=ZBAC；

ZB=ZCDE

9：在\ABC和\CDE中<ZBAC=ZECD

AC=CE

：.AABC名ACDE(AAS),

???AC=CE,

*.*AB=3cm,BD=8cm

BC=BD+CD=BD+AB=8cm+3cm=11cm.

【點睛】

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及

全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

11.(2022?安徽?九年級期末)如圖，RdACB中，ZACB=90°,AC^BC,E點為射線C2

上一動點，連結(jié)AE,作且AP=AE.

(1)如圖1,過F點作見LAC交AC于。點，求證：FD=BC；

(2)如圖2,連結(jié)8/交AC于G點，若AG=3,CG=1,求