廣東省部分學(xué)校2025屆高三年級上冊8月摸底測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期8月摸底測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1

1.已知集合A={y|y=log2%%>1},集合B={y|y=/,%>1},則AnB=()

1i

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,》D.o

2.已知等邊三角形ABC的邊長為1,那么就+而?通+荏?就=()

A.3|3B,-|C.-i11D.i

3.已知sina+cosa="aE(O,TT),則。。$丁+2”a

5''1—tan2a

A.—$7B.-y24C.-1D.2

4.已知m,n為異面直線，？n_L平面a,n1平面0.若直線l滿足1_Lm,I1n,I<ta,l9B，則()

A.a//p,l//aB.a與0相交，且交線平行于I

C.a1p,IlaD.a與￡相交，且交線垂直于2

5.移動互聯(lián)網(wǎng)給人們的溝通交流帶來了方便.某種移動社交軟件平臺，既可供用戶彼此添加“好友”單獨(dú)交

流，又可供多個用戶建立一個“群”(“群里”的人彼此不一定是“好友”關(guān)系)共同交流.如果某人在平臺

上發(fā)了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，現(xiàn)有一個10人的“群”，其

中一人在平臺上發(fā)了一條信息，“群”里有3人說看到了，那么這個“群”里與發(fā)信息這人是“好友”關(guān)

系的情況可能有()

A.56種B.120種C.64種D.210種

6.已知函數(shù)/(久)=*3+口久2-久的圖象在點(diǎn)a。,f(i))處的切線方程為y=4久-3,則函數(shù)f(x)的極大值為

()

626

ATB,--C,--D.1

7.已知拋物線C:y2=8%,圓F:(x—2)2+y2=4(點(diǎn)F為其圓心)，直線Ly=fc(x—2)(fcW0)自上而下順

次與上述兩曲線交于Mi、M2、M3、M4四點(diǎn)，則下列各式結(jié)果為定值的是()

A.Mal?IM2M/B.|FMi|?\FM4\C.\MtM2\-|M3M4|D.\FMr\?|MtM2|

8.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,f(2+x)+/(-%)=0,對任意的%r血￡[L+8)(%IVg)，均有f(%2)-

/(%!)>0,已知a,Wb)為關(guān)于X的方程/一2%+產(chǎn)一3=0的兩個解，則關(guān)于t的不等式/(。)+

/(力)+/(?！?的解集為()

A.(1,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,2)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.設(shè)力，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,設(shè)直線AM、BM的斜率分別為七、

k2,下列說法正確的是()

A.當(dāng)k.2=-［時，點(diǎn)M的軌跡是橢圓的一部分

B.當(dāng)自七=機(jī)寸，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一部分

C.當(dāng)七-0=2時，點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分

D.當(dāng)七+k2=2時，點(diǎn)M的軌跡是橢圓的一部分

10.已知函數(shù)/(X)=力cos(3*+0)(2>0,3>0,\(p\<］)的圖象如圖所示，令g(x)=/(久)一((久)，則下列

說法正確的是()

B.函數(shù)。(久)圖象的對稱軸方程為x="+卦(keZ)

C.若函數(shù)h(x)=g(x)+2的兩個不同零點(diǎn)分別為均，x2,則lx1一X2I的最小值為］

D.函數(shù)g(x)的圖象上存在點(diǎn)P,使得在點(diǎn)P處的切線斜率為-2

11.定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，f(Z)=Z2就是一個多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù).給定多項(xiàng)式復(fù)變函

數(shù)f(Z)之后，對任意一個復(fù)數(shù)Zo,通過計(jì)算公式馬+1=/(Zn),n6N可以得到一列值Z0,Z］，Z2,

Zn，....如果存在一個正數(shù)M,使得|Zn|<M對任意neN都成立，則稱Zo為f(z)的收斂點(diǎn)；否則，稱Zo為

/(z)的發(fā)散點(diǎn).則下列選項(xiàng)中是/(z)=z2的收斂點(diǎn)的是

A.V-2B.-iC.1—iD.———i

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知△ABC的三個內(nèi)角分別為a,B,C,若sin4sinB,sinC成等差數(shù)列，則角B的取值范圍是.

13.中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.

例如在推導(dǎo)正四棱臺(古人稱方臺)體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進(jìn)行求解.下圖(1)為俯視圖，圖

(2)為立體切面圖.E對應(yīng)的是正四棱臺中間位置的長方體，B,D,H,F對應(yīng)四個三棱柱，A,C,I,G對

應(yīng)四個四棱錐.若這四個三棱柱的體積之和為12,四個四棱錐的體積之和為4,則該正四棱臺的體積

圖⑵

14.袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率

是(現(xiàn)從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X,則E(X)=.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知力，B,C為△4BC的三個內(nèi)角，向量沆=(2—2sin4,sin4+cosA)與元=(sind-cosA,1+sinA)共

線，且同?前〉0.

(1)求角4;

(2)求函數(shù)y=2sin21+cos與^的值域.

16.(本小題12分)

如圖，已知四邊形A8CD和四邊形48EF都是邊長為1的正方形，且它們所在的平面互相垂直.M、N兩點(diǎn)分

別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM=BN=虱0<a<

(1)當(dāng)M、N分別為力C、BF的中點(diǎn)時，求證：MN〃平面BCE;

(2)當(dāng)MN的長最小時，求平面MN4與平面MNB夾角的余弦值.

17.(本小題12分)

一般地，我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)6,尸2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于1661)的點(diǎn)的軌跡叫做雙

曲線.這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.

(1)請用上述定義證明反比例函數(shù)y=:的圖象是雙曲線；

(2)利用所學(xué)的知識，指出雙曲線y=>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程；

(3)我們知道，雙曲線y=g(k>0)上的任意一點(diǎn)到x=0與y=0的距離之積是常數(shù)，即xy=k探討雙曲

線冒—，=1缶〉0,6〉0)上的任意一點(diǎn)是否有類似結(jié)論，若有，寫出結(jié)論并證明;若沒有，則說明理由.

18.(本小題12分)

立德中學(xué)為了解全校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)的情況，從高三年級1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測

試，并且規(guī)定體能達(dá)標(biāo)測試成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”.若高三年級“不合格”的人數(shù)不

超過總?cè)藬?shù)的5%,則該年級體能達(dá)標(biāo)為“合格”，否則該年級體能達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對高三年級學(xué)

生加強(qiáng)訓(xùn)練.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成甲、乙兩個組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生.經(jīng)過測試后，

兩組各自將測試成績統(tǒng)計(jì)分析如下:甲組的平均成績?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為4;乙組的平均成績?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為6.(數(shù)

據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù))

(1)求這40名學(xué)生測試成績的平均分元和標(biāo)準(zhǔn)差s(結(jié)果保留整數(shù))；

(2)假設(shè)高三學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)測試成績服從正態(tài)分布N3M),用樣本平均數(shù)元作為〃的估計(jì)值區(qū)用樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s作為。的估計(jì)值無利用估計(jì)值估計(jì),高三學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測試是否“合格”；

(3)為增強(qiáng)趣味性，在體能達(dá)標(biāo)的跳繩測試項(xiàng)目中,同學(xué)們可以向體育特長班的強(qiáng)手發(fā)起挑戰(zhàn).每場挑戰(zhàn)賽都采

取七局四勝制.積分規(guī)則如下:以4:0或4:1結(jié)束，獲勝隊(duì)員積4分，落敗隊(duì)員積。分似4:2或4:3結(jié)束，獲勝隊(duì)員

積3分，落敗隊(duì)員積1分.假設(shè)體育特長生小強(qiáng)每局比賽獲勝的概率均為|,求小強(qiáng)在一場挑戰(zhàn)賽中所得積分為

3分的條件下，他前3局比賽都獲勝的概率.

附:1W個數(shù)的方差S2=§￡NI(Xj-x)2;

②若隨機(jī)變量Z~N(402),貝I］尸(什Z<4+C)=0.6826,尸(什2<r<Z<4+2(T)=0.9544,P(〃-3CT<Z<4+3C)=0.9974.

19.(本小題12分)

對于函數(shù)f0)(x6。)，若存在正常數(shù)7,使得對任意的久CD,都有/(x+T)N/(久)成立，我們稱函數(shù)f(x)

為“7同比不減函數(shù)”.

(1)求證：對任意正常數(shù)T,/")=/都不是“T同比不減函數(shù)”；

(2)若函數(shù)/(X)=kx+sinx是同比不減函數(shù)”，求k的取值范圍；

(3)是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/(x)=x+|x—1|-|久+1|為“T同比不減函數(shù)”，若存在，求T的取值范

圍;若不存在，請說明理由.

參考答案

l.c

2.D

3.2

4.B

5.C

6.D

7￡

8.A

9.ABC

10.ACD

11.BD

12.(0,芻

13.28

14.|

15.解：(1)由題設(shè)知：(2—2S￡TL4)(1+sinA)—{sinA+cosA^sinA-cosA)0,

???2(1—sin2i4)—sin2i4+cos2>l=0,

???sin2A=7,

4

又4為三角形內(nèi)角，所以Sina=亨，

由荏?前〉o知a為銳角，

.71

???Z=§；

(2)由(1)及題設(shè)知：B+C=y,

所以：y=2sin2?+cos(^—8)=1—cosB+cos(^—B)

=1+苧sinB—|cosB=1+sin(B—著),

又0<8〈手

1<sin(B-7)<1,

26

1

???ye(i,2),

因此函數(shù)y=2sin2^+cos與純勺值域?yàn)?：，2).

16.解:⑴如圖,連接CE,AE,

???M,N分別為AC、BF的中點(diǎn),

N是AE中點(diǎn),

MN//CE,

又MNC平面BCE,CEu平面BCE.

???MN〃平面BCE.

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

?

y

則71(1,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),F(0,l,0),

???CM=BN=a,(蠢,0,1—黝,N(務(wù)務(wù)0).

???麗=@務(wù)表T），

??.|MN|=J（令一令）2+（0—5）2+（1—森）2=V?2-/2a+1；

當(dāng)￡1=苧時，|MN|最小，最小值為苧；此時M,N為中點(diǎn)時，MN最短,

則加?,0,5,%?3,0),取MN的中點(diǎn)G,連接2G,BG,

則竭，;，》，

???AM=AN,BM=BN,：.AG1MN,BG1MN,

：.乙4GB是平面MM4與平面MNB所成二面角,

設(shè)平面MAM與平面MN8的夾角為a,

,?我而―)，

\GA-GB\1

???coscr=二，一.

\GA\-\GB\3

-1

平面MN2與平面MN8夾角的余弦值是-.

17.解：(1)證明：(1)對于y=1,有X=51注意到1]=丁1=%,

則函數(shù)y=；的反函數(shù)為其本身.

故y=:關(guān)于直線y=久對稱，

同時又因y=—%與y=%垂直，

故反比例函數(shù)y=(的兩條對稱軸分別為y=±x,

則若其符合雙曲線的定義，其焦點(diǎn)一定在y=》上.

而y=久與雙曲線y=:的兩個交點(diǎn)兒(—1,—1),4(L1)是雙曲線的兩個頂點(diǎn).

則實(shí)軸長2a=2遍，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為6(-VI,-遮)，F(xiàn)2(72,72).

設(shè)點(diǎn)尸(久,y)在函數(shù)y=3的圖象上，則y=；，即PQ,》，

(i)當(dāng)久>0時，%+1>2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，

所以IPF1I-IPFzl=卜尤+0)2+C+O)2-J(x-O)2+C-6)2

=J[(%+；)+四2-J[(%+|)-72]2=(%+1)+72-(%+1)+A<2=2y/1-

(ii)當(dāng)x<0時，從而x+；W-2,當(dāng)且僅當(dāng)久=一1時，取等號，

同理，有IPF2I-IPFi口2/1.

因此，無論點(diǎn)P(x,y)在第一象限或者在第三象限，

均有||PF1|-|PF211m2返(小于|F/2|).

所以函數(shù)y=5的圖象是雙曲線.

(2)函數(shù)y=g(k>0)的圖象是以&(一，入，一，詼)，尸2(，左,，^五)為兩焦點(diǎn)，

實(shí)軸長2a=2，詼的雙曲線，兩漸近線方程分別為x=0和y=0.

(3)因?yàn)椋?。與y=0是雙曲線y=g(k>0)的兩條漸近線，有xy=k.

類似地：雙曲線盤-，=l(a>0,b>0)上的任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積是常數(shù).

證明：設(shè)。(久1，月)是雙曲線盤—，=l(a>0,b>0)上任意一點(diǎn)，

則有力2賭—a2yl=a2b2.

雙曲線為一%=l(a>0,b>0)的漸近線方程為b%±ay=0.

\bxi-ay.I|bx+ay1|h2x?-a2y?|a2b2

于是點(diǎn)。到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為(言?l1=%2=工7?結(jié)論成立?

18.解：(1)由題意可得，這40名學(xué)生測試成績的平均分元=2(70X24+80X16)=74,

4U

故這40名學(xué)生測試成績的平均分74,

由公式陶(Xi-x)2=：[(無]2+必2+…+x.2)_戒2],

設(shè)甲組學(xué)生的測試成績分別為XI，X2,…,X24，

設(shè)乙組學(xué)生的測試成績分別為尤25,X26,…，龍40，

則甲組的方差為-24X702]=42,

2222

則(XI+X2+-+X24)=24(16+70)

則乙組的方差為S22=/(X252+X262+-+X4O2)-16X802]=62,

則(X252+X262+,?,+X402)=16(36+80?),

2222

則這40名學(xué)生的方差為?*[(xj+x??+…+尤242)+(X25+X26+-"+X40)-40X74]

=々[24(16+702)+16(36+802)-40X742]=48,

所以

故這40名學(xué)生測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差為7；

(2)由元=74,s"7,得日的估計(jì)值0=74,◎的估計(jì)值存=7.

P(|i-2o<X<「I+2Q)=P(60<X<88)=0.9544,

1—A9S44

■.P(X<60)=P(X288)=；=0.0228,

從而高三年級1000名學(xué)生中，不合格的有1000X0.0228七23(人),

又贏〈婚5=5%,所以高三年級學(xué)生體能達(dá)標(biāo)為“合格”.

(3)設(shè)小強(qiáng)在這輪比賽得3