廣東省廣州市2024−2025學年高二上學期10月月考 數學試卷含答案

廣東省廣州市2024?2025學年高二上學期10月月考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．2．某學校高二某班向陽學習小組8位同學在一次考試中的物理成績如下：95，45，62，78，53，83，74，88，則該小組本次考試物理成績的第60百分位數為（

）A．53 B．74 C．78 D．833．已知，則“”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知命題，為假命題，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知平面向量滿足，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知在平行六面體中，，且，則（

）A． B． C． D．7．已知為上的奇函數，且，當時，，則的值為（

）A．－4 B． C． D．8．已知向量，，是空間中的一個單位正交基底．規(guī)定向量積的行列式計算：，其中行列式計算表示為，若向量，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復數，則（

）A．的虛部為 B．C． D．為純虛數10．已知函數當時，取得最大值2，且與直線最近的一個零點為，則下列結論中正確的是（

）A．的最小正周期為B．的單調遞增區(qū)間為C．的圖象可由函數的圖象向右平移個單位長度得到D．若為奇函數，則11．如圖，已知正方體的棱長為，為正方形底面內的一動點，則下列結論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得C．若，則點在正方形底面內的運動軌跡是線段D．若點是的中點，點是的中點，過作平面平面，則平面截正方體的截面周長為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量滿足，，且，則．13．小耿與小吳參與某個答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會，小吳有1道題不會，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會答的概率為14．國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館?綠色場館．并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水?雨水過濾系統(tǒng)．若過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初污染物數量），且前4小時消除了的污染物，則污染物消除至最初的還需要過濾小時．四、解答題（本大題共5小題）15．某校為促進學生對地震知識及避震自救知識的學習，組織了《地震知識及避震自救知識》競賽活動，對所有學生的競賽成績進行統(tǒng)計分析，制成如圖所示的頻率分布直方圖（各區(qū)間分別為．(1)根據頻率分布直方圖，估計本次競賽的平均成績；（每組數據用所在區(qū)間的中點值作代表）(2)按人數比例用分層隨機抽樣的方法從競賽成績在和內的學生中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求這2人成績都在內的概率．16．已知函數.(1)若，求的值；(2)若，，且，，求的值.17．已知的內角的對邊分別為，向，(1)求；(2)若，求的面積的最大值18．如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,,且,為的中點．(1)求證:⊥平面;(2)求與平面所成角的正弦值;(3)在線段上是否存在點,使得點到平面的距離為？若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由．19．利普希茲條件是數學中一個關于函數光滑性的重要概念，設定義在上的函數，若對于中任意兩點，都有，則稱是“-利普希茲條件函數”.(1)判斷函數，在上是否為“1-利普希茲條件函數”；(2)若函數是“-利普希茲條件函數”，求的最小值；(3)設，若存在，使是“2024-利普希茲條件函數”，且關于的方程在上有兩個不相等實根，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】由，解得，由，解得，則，對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于CD，，，，C錯誤，D正確.故選：C2．【答案】C【分析】根據題意，將數據從小到大排列，結合百分位數的計算方法，即可求解.【詳解】將8位同學考試的物理成績從小到大排列：，由，所以數據的第60百分位數為.故選C.3．【答案】A【分析】運用充分，必要條件知識，結合冪函數單調性可解.【詳解】,則，且在單調遞增.故.反過來，如果，則,可以為負數.推不出.故“”是的充分不必要條件.故選A．4．【答案】B【分析】根據題意，轉化為不等式在x∈1,+∞上恒成立，進而轉化為不等式在x∈1,+【詳解】由命題，為假命題，可得命題，為真命題，即不等式在x∈1,+∞即在x∈1,+∞令，則，可得，當且僅當時，即時，即時，等號成立，所以，即實數的取值范圍為.故選B.5．【答案】B【分析】根據向量在向量上的投影向量公式求出，再由夾角公式求解.【詳解】因為，在上的投影向量為，所以，所以，所以，由，可知.故選B.6．【答案】A【詳解】由題意可知，因為，所以，所以．故選：A．7．【答案】C【詳解】為奇函數，則，又因為，所以，即，所以所以的周期為4，，因為為奇函數，所以.故選：C.8．【答案】C【詳解】解：由題意得：，故選：C．9．【答案】CD【分析】先將化簡成，再分別比對解出答案即可.【詳解】對于A，因為，所以的虛部為，故選項A錯誤；對于B，因為，故選項B錯誤；對于C，，故選項C正確；對于D，為純虛數，故選項D正確.故選CD.10．【答案】AC【分析】先化簡，當時取得最大值2，求出.與直線最近的一個零點為，求出，繼而求出.則可求.然后算出最小正周期，單調增區(qū)間，對稱中心，結合圖象變換，逐項驗證即可.【詳解】根據題意，化簡，當時取得最大值2，則.與直線最近的一個零點為，則，則，則.則.當時取得最大值，則，，則，則，則的最小正周期為，A正確；令則則的單調遞增區(qū)間為故B錯誤;的圖象向右平移個單位長度得到,故C正確；，由于為奇函數，則令，則.故D錯誤.故選AC.11．【答案】ACD【詳解】對于A，為正方形底面內一點時，由，三棱錐的高不變，底面積也不變，所以體積為定值，故A正確；對于B，以為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，若，則，所以即，此時點不在底面內，與題意矛盾，故B錯誤；對于C，因為，若，，所以即，所以的軌跡就是線段，故C正確；對于D，因為，，又平面，平面，，所以平面，因為面平面，異面，平面，所以平面，以為參照線作出平面與正方體各個側面的交線，如圖所示，易知每個側面的交線均相等，長度為正方體的面對角線的一半，由于正方體的棱長為，故面對角線長為，所以截面周長為，故D正確．故選：ACD.12．【答案】.【分析】根據題意，結合向量共線的坐標表示，列出方程求得，得到，結合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量滿足，因為，可得，解得，即，所以.故答案為：.13．【答案】/0.56【分析】小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況.運用獨立事件概率乘法公式分別求出概率，再相加即可.【詳解】小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況，小耿會小吳不會和小吳會小耿不會.則小耿與小吳恰有1人會答的概率為.故答案為：.14．【答案】4【詳解】根據題意有，，可得，即設污染物消除至最初的還需要過濾x小時，則，即則，即，則，解之得故答案為：415．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用頻率之和為1，求出m,再用平均值計算公式算出平均值即可；（2）先按照分層抽樣確定和內的學生人數，再結合列舉法，用古典概型求解概率即可.【詳解】（1）頻率之和為1,則，解得.則,則平均分成績?yōu)?（2）根據分層抽樣，知道和內的學生比為.則抽取的5人中有2個來自層，設為．3個來自層，設為.再從這5人中隨機抽取2人,總共有10種可能，分別為:.這2人成績都在內的有,共3種.故所求概率為.16．【答案】(1)5(2)【詳解】（1）由已知，即，因為，即，解得；（2）依題意，由，得，解得，，∴.∵，，∴，又，∴，∴，∴.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用向量的數量積公式，再用正弦定理邊角互化，最后用余弦定理計算即可；（2）用第一問的結論，結合基本不等式可解.【詳解】（1）即，由正弦定理角化邊得，即，則,由于,則.（2），，則，即，由不等式知道，（當且僅當取最值），即.由三角形面積公式知道，（當且僅當取最值）.故的面積的最大值為.18．【答案】(1)證明見解析(2);(3)存在,且點為線段的中點．【詳解】（1）因為四邊形為正方形,則,,因為,,,且兩直線在平面內，∴⊥平面,∵平面,∴,因為,,,且兩直線在平面內∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且兩直線在平面內∴⊥平面.（2）因為⊥平面,,不妨以點為坐標原點,、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,則、、、,設平面的法向量為,則,,,由,取,可得,,所以,與平面所成角的正弦值為;（3）設點,設平面的法向量為,,,由,取,則,所以,點到平面的距離為,∵,∴．因此,當點為線段的中點時,點到平面的距離為．19．【答案】(1)函數在上是，函數在上不是；(2)1；(3).【分析】（1）根據定義，令k=1，作差，與0比較大小即可；（2）根據定義，轉化為恒成立即可；（3）先求出的范圍，再根據二次函數的性質可求的取值范圍.【詳解】（1）由題知，函數，定義域為，所以，所以函數在上是“1-利普希茲條件函數”，函數，所以，當時，則，函數在上不是“1-利普希茲條件函數”.（2）若函數是“利普希茲條件