專題04大題專攻（三）（概率與統(tǒng)計大題的思維建模）（原卷版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪提素養(yǎng)高分進階新方案（新高考專版）

專題04大題專攻（三）（概率與統(tǒng)計大題的思維建模）目錄一宏觀掌握解題通路：概率與統(tǒng)計問題重在“辨”——辨析，辨型二微觀優(yōu)化解題細節(jié)：三招突破概率、統(tǒng)計大題解題瓶頸第一招：信息巧提取第二招：數(shù)據(jù)巧處理第三招：公式巧變形應(yīng)用體驗精選好題做一當(dāng)十一宏觀掌握解題通路：概率與統(tǒng)計問題重在“辨”——辨析，辨型(1)準(zhǔn)確弄清問題所涉及的事件有什么特點,事件之間有什么關(guān)系,如互斥、對立、獨立等;(2)理清事件以什么形式發(fā)生,如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等;(3)明確抽取方式,如放回還是不放回、抽取有無順序等;(4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來計算基本事件個數(shù)和基本事件總數(shù),或根據(jù)概率計算公式和性質(zhì)來計算事件的概率;(5)確定隨機變量取值并按照屬于超幾何分布還是二項分布求其對應(yīng)的概率,寫出分布列后再求期望;(6)會套用公式求,的公式求值,再作進一步求值與分析1．（2021·福建寧德·高三期中）新高考的數(shù)學(xué)試卷第1至第8題為單選題，第9至第12題為多選題.多選題、、、四個選項中至少有兩個選項符合題意，其評分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分.在某次考試中，第11、12兩題的難度較大，第11題正確選項為，第12題正確選項為.甲?乙兩位同學(xué)由于考前準(zhǔn)備不足，只能對這兩道題的選項進行隨機選取，每個選項是否被選到是等可能的.（1）若甲同學(xué)每題均隨機選取一項，求甲同學(xué)兩題得分合計為4分的概率；（2）若甲同學(xué)計劃每題均隨機選取一項，乙同學(xué)計劃每題均隨機選取兩項，記甲同學(xué)的兩題得分為，乙同學(xué)的兩題得分為，求的期望并判斷誰的方案更優(yōu).二微觀優(yōu)化解題細節(jié)：三招突破概率、統(tǒng)計大題解題瓶頸第一招：信息巧提取1．（2021·安徽·六安一中模擬預(yù)測（理））為落實《關(guān)于全面加強和改進新時代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識+基本運動技能+專項運動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽—校級聯(lián)賽—選拔性競賽—國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校?縣(區(qū))?地(市)?省?國家五級學(xué)校體育競賽制度.某校開展“陽光體育節(jié)活動，其中傳統(tǒng)項目定點踢足球”深受同學(xué)們喜愛.其間甲?乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽(每人各踢一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲?乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響.（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；（2）用表示經(jīng)過第輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率.求，.2．（2021·廣東·惠來縣第一中學(xué)高三月考）某商城玩具柜臺元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送元旦禮品．而每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個．（1）記事件：一次性購買個甲系列盲盒后集齊，，玩偶；事件：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒．通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為．①；②若禮品店每賣出一個甲系列的盲盒可獲利20元，賣出一個乙系列的盲盒可獲利15元，由樣本估計總體，若禮品店每天可賣出1000個盲盒，且買的人之前都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天利潤為多少元？．第二招：數(shù)據(jù)巧處理1．（2021·江蘇·南京市中華中學(xué)高三月考）某普通高中為了解本校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對期末考試數(shù)學(xué)成績進行分析，從中抽取了名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計（該校全體學(xué)生的成績均在[60，150]），按下列分組[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出頻率分布直方圖.如圖，樣本中分數(shù)在[70，90）內(nèi)的所有數(shù)據(jù)是：72，75，77，78，81，82，85，88，89.根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分數(shù)線，分數(shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.分數(shù)[60，80）[80，120）[120，150）可能被錄取院校層次?？票究谱哉校?）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級學(xué)生中任取1人，求此人能被專科院校錄取的概率；（2）在選取的樣本中，從可能錄取為自招和?？苾蓚€層次的學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生進行調(diào)研，用表示所抽取的3名學(xué)生中為?？频娜藬?shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．（2021·河南·中牟縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））隨著校運會的臨近，某班甲、乙兩名同學(xué)開始記錄自己100米短跑的成績，他們二人的某10次的成績（單位：秒）如表：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5（1）請完成如圖的樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖（在答題卡中），并分析甲、乙二人的成績情況；（2）從甲、乙兩人的10次成績中各隨機抽取一次分別記為，，定義隨機變量，求的分布列和期望．第三招：公式巧變形1．（2021·全國·高三專題練習(xí)）近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈.某快遞網(wǎng)點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位：元)與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)(單位：千件)之間的關(guān)系，對該網(wǎng)點近5天的每日攬件量(單位：千件)與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本(單位；元)(i=1，2，3，4，5)數(shù)據(jù)進行了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.45.160.4152.028300.507表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程；（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實現(xiàn)總利潤的增長，除了提升服務(wù)質(zhì)量?提高時效保障外，價格優(yōu)惠也是重要策略之一.已知該網(wǎng)點每天攬收快遞的件數(shù)(單位：千件)與單件快遞的平均價格(單位；元)之間的關(guān)系是，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的回歸方程解決以下問題：①預(yù)測該網(wǎng)點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價格為何值時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.2．（2021·全國·高三專題練習(xí)）某公司為了了解年研發(fā)資金投人量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.對公司近年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，進行了對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中、、、均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).并得到一些統(tǒng)計量的值.令，，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：2（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？（2）①根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；②若下一年銷售額需達到億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？附：相關(guān)系數(shù)：，回歸直線中公式分別為：，；參考數(shù)據(jù)：，，.應(yīng)用體驗精選好題做一當(dāng)十1．（2021·黑龍江·哈九中高三月考（理））冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行，為了弘揚奧林匹克精神，增強學(xué)生的冬奧會知識，某市多所中小學(xué)校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況，在全市中小學(xué)學(xué)校中隨機抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如下：（1）現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進行調(diào)查，求選出的2所學(xué)校參與旱地冰壺人數(shù)在30人以下的概率.（2）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個動作中每個動作達到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成績?yōu)椤皟?yōu)”.能否認為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化?請說明理由.2．（2021·江蘇省前黃高級中學(xué)模擬預(yù)測）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試方法如下：拿出（且）瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序．這稱為一輪測試，根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．現(xiàn)分別以，，，…，表示第一次排序時被排在，，，…，的種酒在第二次排序時的序號，并令，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述．下面取研究，假設(shè)在品酒師僅憑隨機猜測來排序的條件下，，，，等可能地為，，，的各種排列，且各輪測試相互獨立．（1）直接寫出的可能取值，并求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有，則認為該品酒師有較好的酒味鑒別功能．求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解釋該測試方法的合理性．3．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京市和張家口巿聯(lián)合舉行．某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選技大賽．選手需關(guān)注活動平臺微信公眾號后，進行在線答題，滿分為200分．經(jīng)統(tǒng)計，有40名選手在線答題總分都在內(nèi)．將得分區(qū)間平均分成5組，得到了如圖所示的頻率分布折線圖．（1）請根據(jù)頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這40名選手的平均分；（2）根據(jù)大賽要求，在線答題總分不低于190分的選手進入線下集訓(xùn)，線下集訓(xùn)結(jié)束后，進行兩輪考核．第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績從高到低依次有，，，四個等級．兩科均不低于，且至少有一科為，才能進入第二輪面試，第二輪得到“通過”的選手將獲得“冬奧知識講解員”資格．已知總分高于195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；總分不超過195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；若兩科筆試成績均為，則無需參加“面試”，直接獲得“冬奧知識講解員”資格；若兩科筆試成績只有一個，則要參加面試，總分高于195分的選手面試“通過”的概率為，總分不超過195分的選手面試“通過”的概率為．若參加線下集訓(xùn)的選手中有2人總分高于195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解員”資格的概率．4．（2021·福建龍巖·三模）甲?乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負.已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲?乙便按照比賽繼續(xù)進行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.已知每場比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立.（1）設(shè)每場比賽甲贏的概率為，若比賽進行了5場，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎金，求甲獲得獎金的分布列；（2）規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件，我們可以認為該事件不可能發(fā)生，否則認為該事件有可能發(fā)生.若本次比賽，且在已進行的3場比賽中甲贏2場?乙贏1場，請判斷：比賽繼續(xù)進行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由.5．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））2020年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位，也是市場經(jīng)濟的基本法.某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法，組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個年級中各隨機抽取名學(xué)生的成績(單位：分)，繪制成如圖所示的莖葉圖：（1）通過莖葉圖分析哪個年級的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好；(不要求計算，分析并給出結(jié)論)（2）根據(jù)學(xué)生的競賽成績，將其分為四個等級：測試成績(單位：分)等級合格中等良好優(yōu)秀①從樣本中任取名同學(xué)的競賽成績，在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這名同學(xué)來自同一個年級的概率.②現(xiàn)從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機抽取人座談，記為抽到高二年級的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.6．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））某電影制片廠從2011年至2020年生產(chǎn)的科教影片、動畫影片、紀(jì)錄影片的時長（單位：分鐘）如圖所示.（1）從2011年至2020年中任選一年，求此年動畫影片時長大于紀(jì)錄影片時長的概率；（2）從2011年至2020年中任選兩年，設(shè)為選出的兩年中動畫影片時長大于紀(jì)錄影片時長的年數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將2011年至2020年生產(chǎn)的科教影片、動畫影片、紀(jì)錄影片時長的方差分別記為，試比較的大小.（只需寫出結(jié)論）7．（2021·全國·高三專題練習(xí)）某動植物園游客行走示意圖如圖所示，每位游客進園后選擇其中任意一條路線行走是等可能的.現(xiàn)有，，，，,5名游客結(jié)伴進園游玩，并按箭頭方向入園后各自開始自由行走，同時約定最后到出口集合.（Ⅰ）求游客經(jīng)過游樂場的概率；（Ⅱ）若這5名游客中恰有名游客經(jīng)過游樂場，求隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.8．（2021·全國·高三專題練習(xí)）全球化時代，中國企業(yè)靠什么在激烈的競爭中成為世界一流企業(yè)呢？由人民日報社指導(dǎo)，《中國經(jīng)濟周刊》主辦的第十八屆中國經(jīng)濟論壇在人民日報社舉行，就中國企業(yè)如何提升全球行業(yè)競爭力進行了研討.數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入(百萬元)與收益(百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：科技投入1234567收益19202231405070根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理.如下表：514012391492134130其中，.（1）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到)；（2）①乙認為樣本點分布在直線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(shù)(即相關(guān)指數(shù))，試比較甲乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？②由①所得的結(jié)論，計算該企業(yè)欲使收益達到億元，科技投入的費用至少要多少百萬元？(精確到)附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，，決定系數(shù)：.參考數(shù)據(jù)：.（2021·廣東寶安·高三月考）近年來，明代著名醫(yī)藥學(xué)家李時珍故鄉(xiāng)黃岡市蘄春縣大力發(fā)展大健康產(chǎn)業(yè)，蘄艾產(chǎn)業(yè)化種植已經(jīng)成為該縣脫貧攻堅的主要產(chǎn)業(yè)之一，已知蘄艾的株高y(單位：cm)與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位：℃)有關(guān)，現(xiàn)收集了蘄艾的13組觀測數(shù)據(jù)，得到如下的散點圖：現(xiàn)根據(jù)散點圖利用或建立y關(guān)于x的回歸方程，令，得到如下數(shù)據(jù)