第02講函數概念與性質-2022年高一數學寒假課（2019）（原卷版）

第02講函數概念與性質【學習目標】理解函數的概念。掌握函數的三種表示方法、理解函數圖象的作用和分段函數。理解函數單調性的概念，能運用函數圖象理解和研究函數的單調性。會用函數單調性的定義判斷（或證明）一些函數的單調性。理解函數的最大值和最小值，能借助函數的圖象和單調性求一些簡單函數的最值。理解奇函數、偶函數的定義，理解奇偶函數的圖象特征，能利用函數的奇偶性與單調性分析、解決較簡單的問題。【基礎知識】1．函數的基本概念(1)函數的定義設A，B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，通常記為f：A→B，或y＝f(x)(x∈A)．(2)函數的定義域、值域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．顯然，值域是集合B的子集．(3)函數的三要素：定義域、值域和對應關系．(4)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據．(5)函數的表示法：表示函數的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．2.分段函數在定義域內不同部分上，有不同的解析式，像這樣的函數通常叫做分段函數．分段函數的定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段上函數值集合的并集．3.映射的概念一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．4．常見函數定義域的求法(1)分式函數中分母不等于零．(2)偶次根式函數被開方式大于或等于0．(3)一次函數、二次函數的定義域為R．(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R．(5)y＝tanx的定義域為{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．5．基本初等函數的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當a＞0時，值域為；當a＜0時，值域為．(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．6．函數的單調性(1)單調函數的定義一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是單調增函數．如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是單調減函數．從圖象來看，增函數圖象從左到右是上升的，減函數圖象從左到右是下降的，如圖所示：（2）單調性與單調區(qū)間如果一個函數在某個區(qū)間M上是單調增函數或是單調減函數，就說這個函數在這個區(qū)間M上具有單調性(區(qū)間M稱為單調區(qū)間)．7．函數的奇偶性(1)奇函數、偶函數的概念一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數．一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數．奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱．(2)判斷函數的奇偶性的步驟與方法判斷函數的奇偶性，一般都按照定義嚴格進行，一般步驟是：①考察定義域是否關于原點對稱．②考察表達式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數；若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數又是偶函數；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函數又不是偶函數，既非奇非偶函數．【考點剖析】考點一：函數的概念例1．下列各組函數中，表示同一函數的是________.(填序號)f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)②f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2③f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1④f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝eq\r(x2－1)變1．下列四個圖象中，是函數圖象的是________.(填序號)解題策略1．判斷是否是同一函數關鍵看兩點：①定義域相同；2對應關系相同．判斷是否是函數圖象，要看定義域和值域是否在所指定范圍，同時每一個自變量應只對應一個因變量．考點二：函數解析式求法例2．(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.(3)已知f(x)是二次函數，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．變2．定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________.解題策略函數解析式的求法(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法；(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程組法：已知f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．考點三：函數的定義域例3．求下列函數的定義域(1);(2)變3．函數f()=的定義域為________.解題策略抓住常見函數有意義的約束條件是解題的關鍵，需要注意的是：函數定義域應寫成集合或區(qū)間的形式．考點四：函數的值域例4．求下列函數的值域(1)y＝x2＋2x，x∈[0，3]；(2)變4．(1)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5]；(2)f(x)＝x－eq\r(1－2x).考點五：分段函數例5．(1)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,2x，x≤0，))則f(f(eq\f(1,9)))＝________.(2)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝________．變5．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值等于________．解題策略1.分段函數是一個函數，“分段求解”是解決分段函數的基本原則．2.在求分段函數值時，一定要注意自變量的值所在的區(qū)間，再代入相應的解析式；自變量的值不確定時，要分類討論．考點六：函數單調性的判斷例6．下列函數中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數的是________.(填序號)y＝eq\r(x＋1)②y＝(x－1)2③y＝2－x④y＝log0.5(x＋1)變6．下列函數中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調遞增函數是________.(填序號)①f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))②f(x)＝x3③f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)④f(x)＝3x解題策略確定函數單調性的常用方法：(1)定義法：先求定義域，再根據取值、作差、變形、定號的順序得結論．(2)圖象法：若函數是以圖象形式給出的，或者函數的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調性．(3)轉化法：轉化為已知函數的單調性，即轉化為已知函數的和、差或復合函數，再根據“增＋增得增”“減＋減得減”“同增異減”得待確定函數的單調性．考點七：函數單調性的應用例7．如果函數f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是________.變7．函數f(x)＝eq\f(1,x－1)在區(qū)間[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，則a＋b＝________.解題策略1.利用單調性求參數．①視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數；②需注意若函數在區(qū)間[a，b]上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的．③注意數形結合思想的運用，借助圖形列出對應不等式，從而求出參數范圍．2.利用單調性求最值．應先確定函數的單調性，然后再由單調性求出最值．考點八：求函數的單調區(qū)間例8．求函數y＝log(x2－4x＋3)的單調區(qū)間．變8．函數y＝x2－2x(x∈[2,4])的增區(qū)間為________．解題策略1.求單調區(qū)間的常用方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導數法．2．求復合函數y＝f(g(x))的單調區(qū)間的步驟：(1)確定定義域；(2)將復合函數分解成基本初等函數：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分別確定這兩個函數的單調區(qū)間；(4)若這兩個函數同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數；若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數，即“同增異減”．3．求單調區(qū)間時需注意兩點：①最終結果寫成區(qū)間的形式；②不可忽視定義域．考點九：判斷函數的奇偶性例9．判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3).解題策略判斷函數單調性的兩個步驟：1.判斷函數定義域是否關于原點對稱；2.判斷f(－x)與f(x)關系.若f(－x)＝－f(x)則函數為奇函數；若f(－x)＝f(x)則函數為偶函數．或是利用下列兩個等價關系式進行判斷：若f(x)＋f(－x)＝0則函數為奇函數；若f(x)－f(－x)＝0則函數為偶函數．考點十：函數性質的綜合運用例10．已知偶函數f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．變10．定義在R上的偶函數在上單調遞增，且，則不等式的解集為（）A．B．C． D．【真題演練】（2020年北京）函數的定義域是__________.（2018年全國1卷）設函數若的的取值范圍是（）.B.C.D.3.（2019年全國2卷）設為奇函數，且當時，，則當時，=（）.B.C.D.4.（2020年全國2卷）設函數，則().A.是奇函數，且在單調遞增B.是奇函數，且在單調遞減C.是偶函數，且在單調遞增D.是偶函數，且在單調遞減（2020新高考1卷）若定義在R上的奇函數在單調遞減，且，則滿足的的取值為（）.B.C.D.【過關檢測】1.函數f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域為________．2．函數y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是________．3．若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)的圖象可能是________．②③④4．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x＜1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，則b等于________．5．函數f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是_________________．6.(1)已知f(x)是一次函數，且滿足f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋3，求f(x)的解析式．(2)若二次函數g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，求g(x)的解析式．7.．甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家．如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達乙家為止經過的路程y(km)與時間x(分)的關系．試寫出y＝f(x)的函數解析式．8．設函數f(x)＝eq\b\l