FEA-08-梁與板殼問題-修改版

北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用力學(xué)系工程中的有限元方法第八章梁與板殼問題本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容1、介紹梁?jiǎn)栴}的有限元格式。2、介紹板殼問題分析的有限元格式3、結(jié)構(gòu)單元與實(shí)體單元的連接問題4、ANSYS的自由度耦合方法。

1、位移函數(shù)據(jù)材料力學(xué)可知，轉(zhuǎn)角與擾度存在如下關(guān)系：設(shè)x軸與梁?jiǎn)卧睾?，梁的主慣性軸為y，外載作用于同一平面內(nèi)，則梁?jiǎn)卧幱谄矫鎻澢鸂顟B(tài)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)自由度，即y向線位移和繞z軸的轉(zhuǎn)角，節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)力矩如圖所示。節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移向量為：§8.1純彎曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚴(yán)脙蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可帶定四個(gè)系數(shù)，并整理為插值函數(shù)形式：梁?jiǎn)卧獜澢冃螘r(shí)，若忽略剪切的影響，則由材料力學(xué)得x方向的位移及應(yīng)變?yōu)椋?、應(yīng)變矩陣將形函數(shù)代入幾何方程得：3、剛度矩陣由：注意：當(dāng)梁?jiǎn)卧艿嚼瓑汉蛷澢C合作用時(shí)（稱平面剛架梁?jiǎn)卧?，單元的?jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量為：

其剛度矩陣可直接迭加得到（當(dāng)然，必須先將矩陣擴(kuò)大為6x6的矩陣）§8.2拉壓-彎曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚄U單元擴(kuò)大剛度矩陣彎曲梁?jiǎn)卧獢U(kuò)大剛度矩陣剛度矩陣為：其剛度矩陣類似上述受拉壓-彎曲綜合作用的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)傟嚨男纬?，可迭加得：（也可?jù)剛度矩陣元素的物理意義，從材料力學(xué)得到）對(duì)于空間梁?jiǎn)卧?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有六個(gè)自由度，設(shè)x軸為單元軸線，節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力向量為：§8.3拉壓-彎曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨?行，對(duì)應(yīng)只有ui=1，其他自由度位移為0時(shí)，在相應(yīng)自由度上的受力（只有軸線方向受力）；即受拉壓作用的桿單元?jiǎng)傟嚕坏?，3行，vi=1,(或wi=1)，其他自由度位移為0時(shí)，即單跨超靜定梁因桿端位移產(chǎn)生桿端力的情況，第4行，即桿純扭轉(zhuǎn)情況，第5，6行，即單垮超靜定梁因桿端位移產(chǎn)生桿端力的情況，純彎曲。（以上矩陣元素均可從材料力學(xué)公式中查得）基本方法與步驟與前述的桿單元的節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力和剛度矩陣變換到統(tǒng)一的整體坐標(biāo)的步驟相同。§8.4坐標(biāo)變換與整體剛度矩陣的組裝梁?jiǎn)卧?/p>

是線單元，用于模擬桿系結(jié)構(gòu)。在一些情況下，梁?jiǎn)卧葘?shí)體單元和殼單元更有效，常用于以下工程領(lǐng)域：建筑結(jié)構(gòu)橋梁和道路公共交通(有軌電車, 火車,公共汽車)等§8.5ANSYS梁?jiǎn)卧狝.梁的屬性建立梁的第一步,同任何分析一樣，先建立幾何模型—通常是由關(guān)鍵點(diǎn)和線組成的線框。接著，定義如下的梁屬性：?jiǎn)卧愋蜋M截面材料特性單元類型選擇下面單元類型之一：BEAM188—3-D,線性(2-節(jié)點(diǎn))。BEAM189—3-D,二次函數(shù)(3-節(jié)點(diǎn))。ANSYS還有許多其它梁?jiǎn)卧?，推薦使用

BEAM188和189對(duì)絕大部分梁結(jié)構(gòu)都適合。支持線性和非線性分析，包括塑性，大變形和非線性失穩(wěn)?？梢阅M分層材料、復(fù)合材料、截面配筋。用戶自定義截面。在前、后處理過程中很容易使用。截面定義BEAM188和189單元，包括對(duì)橫截面的定義。BeamTool

提供了一個(gè)定義截面的方便工具。Preprocessor>Sections>Beam>CommonSectns...選擇截面的形狀，輸入尺寸。按

Preview

按鈕觀察截面，然后按

OK。若有多種截面，必須給每種截面指定不同的編號(hào)（還可以賦予名字）。梁橫截面預(yù)覽(SECPLOT)。除了預(yù)先規(guī)定的截面形狀外，

ANSYS允許用戶通過建立二維實(shí)體模型來建立“自定義”截面。同標(biāo)準(zhǔn)截面一樣，可以把自定義的截面保存到截面幾何數(shù)據(jù)庫中，便于日后使用。詳細(xì)信息請(qǐng)參考ANSYS結(jié)構(gòu)分析手冊(cè)第16章。材料屬性可以是線性或非線性材料屬性。梁的屬性定義好以后，下一步是對(duì)幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。B.梁網(wǎng)格劃分對(duì)幾何模型用梁?jiǎn)卧鼍W(wǎng)格劃分，包括三個(gè)主要步驟:指定線的屬性指定線分割控制劃分網(wǎng)格

MeshTool

提供了完成上述三個(gè)步驟的便利操作第1步：指定線的屬性線屬性包括：材料號(hào)截面號(hào)定位關(guān)鍵點(diǎn)截面相對(duì)于梁軸線的方位。必須指定截面類型。一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可以分配給多條線(即，不需要為每條線都指定不同的關(guān)鍵點(diǎn))。每條線的端點(diǎn)都有它的定位關(guān)鍵點(diǎn)，允許截面繞梁的軸線扭轉(zhuǎn)。定位關(guān)鍵點(diǎn)的示例：MainMenu:Preprocessor→Meshing→MeshAttributes→PickedLines拾取梁線→PickOrientationKeypoint(s)提示框內(nèi)打勾（顯示yes）→Apply→拾取參考點(diǎn)

也可以用MeshTool指定單元屬性(或選擇線后使用

LATT

命令)拾取線后ApplyBEAM188和189的附加屬性第2步：線分割控制使用BEAM188和189單元,不要把整個(gè)梁作為一個(gè)單元。使用MeshTool的“SizeControls”指定想要的線分割數(shù)(或用LESIZE

命令)

。第3步：生成網(wǎng)格先保存數(shù)據(jù)庫文件(Toolbar>SAVE_DB

或使用SAVE

命令)。按下MeshTool中的

Mesh

按鈕(或執(zhí)行

LMESH,ALL命令)生成網(wǎng)格。拾取線在單元繪圖中，按截面形狀顯示單元：UtilityMenu>PlotCtrls>Style>SizeandShape…或使用命令/ESHAPE,1網(wǎng)格劃分完成后，施加荷載并求解。C.加載，求解，結(jié)果分析典型的梁荷載包括:位移約束施加在節(jié)點(diǎn)或關(guān)鍵點(diǎn)上。力施加在節(jié)點(diǎn)或關(guān)鍵點(diǎn)上。壓力按單位長度的壓力施加在梁上。按單元表面的壓力施加在梁上。Solution>Apply>Pressures>OnBeams或使用SFBEAM

命令。重力或離心力作用在整個(gè)結(jié)構(gòu)上。求解：保存數(shù)據(jù)庫文件。求解(或把載荷寫入載荷步文件，然后求解所有載荷步)。查看結(jié)果與一般應(yīng)力分析過程相同：觀察變形。觀察反力。畫應(yīng)力、應(yīng)變圖。BEAM188和189單元的主要優(yōu)點(diǎn)是，可以直接在單元上觀察應(yīng)力（與殼和實(shí)體單元相同），但必須激活單元形狀顯示。一、

彈性薄板基本概念xyzuvw中面所謂薄板是指板厚h比板最小尺寸b在如下范圍的平板板面位移如圖所示。當(dāng)w小于板厚h時(shí)，有克?；舴?G.kirchhoff)假定成立：

a)板中面是中性面，沒有變形。

b)中面法線變形后仍為撓曲面法線，長度不變。

c)忽略應(yīng)力z和應(yīng)變z

。平分厚度的平面稱中面?！?.6彈性板殼基本知識(shí)由克?；舴蚣俣ǎ雎詰?yīng)變z可推得w與z無關(guān)，由b)可知zx和yz等于零，再加上中面無變形，最終可得由此結(jié)果可得x向曲率y向曲率扭率他們完全確定板的變形，因此稱他們組成的矩陣為形變矩陣，記作[]，也即：位移只與撓度w有關(guān)由此可得薄板應(yīng)變矩陣為[]=z[]1)設(shè)平面應(yīng)力彈性矩陣為[D]’，則薄板應(yīng)力矩陣為[]=-z[D]’[]。xyz扭矩彎矩2)薄板內(nèi)力微元體如圖所示。由圖可得二、

薄板內(nèi)力和總勢(shì)能由此可得薄板單位長度內(nèi)力為Mx、My、Mxy=Myx

(dx=dy=1)，依此順序排列的列陣稱內(nèi)力矩陣，記作[M]。將應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入并對(duì)z進(jìn)行積分，可得[M]=[D][]式中[D]=（h3/12）[D]’稱作薄板的彈性矩陣。3)薄板的應(yīng)變能4)薄板的總勢(shì)能設(shè)薄板受z方向分布荷載q(x)作用，則線彈性薄板的總勢(shì)能為上式就是下面作有限元分析的理論依據(jù)。能寫出各向同性彈性體的[D]矩陣嗎?

能寫出正交各向異性彈性體的[D]矩陣嗎?1.薄板單元位移模式設(shè)局部編號(hào)1、2、3、4，x、y方向長度分別為2a、2b的矩形板單元如圖所示。xyzw3y3x3Q1My1Mx112431)結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力矩陣圖中還給出了各結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力的示意圖。§8.7彈性薄板矩形單元2)形函數(shù)的確定薄板的形函數(shù)可以用廣義坐標(biāo)法，也可以用試湊法得到。由于單元自由度為12，因此可有12個(gè)廣義坐標(biāo)，位移模式可設(shè)為如下不完全四次多項(xiàng)式利用12個(gè)結(jié)點(diǎn)位移條件，由廣義坐標(biāo)法可建立形函數(shù)，顯然十分麻煩。龍馭球提出利用對(duì)稱性較直接廣義坐標(biāo)法要容易一些，也還有很大工作量。為此介紹試湊法,首先引入自然坐標(biāo)=x/a，=y/b。xyzw3y3x3Q1My1Mx112433)試湊形函數(shù)N1

由形函數(shù)性質(zhì)，對(duì)N1有:N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4N1對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)在結(jié)點(diǎn)處均為零。利用所有點(diǎn)N1的導(dǎo)數(shù)為零條件，P.125經(jīng)式(c)~(l)的推導(dǎo)，可得考慮到撓度是非完全四此式，為使自動(dòng)滿足它點(diǎn)為零N1(j)=0，可設(shè)再由本點(diǎn)處位移的條件，可得d=-1/8，由此xyzw3y3x3Q1My1Mx112434)其他形函數(shù)Nj、Nix、Niy

記0=i；

0=

i

仿N1可得:對(duì)于轉(zhuǎn)角xi相關(guān)的形函數(shù)，同樣思路推導(dǎo)可得對(duì)于轉(zhuǎn)角yi相關(guān)的形函數(shù)，可推導(dǎo)得xyzw3y3x3Q1My1Mx112435)薄板的撓度場(chǎng)有了每一結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)，記則薄板的撓度場(chǎng)可由結(jié)點(diǎn)位移表示為6)單元間位移的協(xié)調(diào)性可以證明，上述w在邊線上任意一點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角都是三次多項(xiàng)式。xyzw3y3x3Q1My1Mx11243因此，邊線的撓度和轉(zhuǎn)角可由兩端點(diǎn)的撓度和沿邊線導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角唯一地確定。但是，邊界法向轉(zhuǎn)角只有兩端兩個(gè)法向轉(zhuǎn)角位移條件，當(dāng)然無法唯一地確定，所以相鄰單元法向轉(zhuǎn)角位移不協(xié)調(diào)。由此可見，由形函數(shù)所建立的撓度場(chǎng)是非完全協(xié)調(diào)的。（教材上有更嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明）xyzw3y3x3Q1My1Mx112437)非完全協(xié)調(diào)元的收斂性對(duì)于薄板等位移場(chǎng)非完全協(xié)調(diào)的位移模式,如何才能保證收斂呢?

Irons給出了分片檢驗(yàn)準(zhǔn)則：用待檢驗(yàn)的單元組成一小片，在無荷載、單元結(jié)點(diǎn)位移滿足“常應(yīng)變”狀態(tài)位移條件時(shí)，如果各結(jié)點(diǎn)能夠保持平衡且獲得“常應(yīng)力”受力狀態(tài)，則這種位移模式對(duì)應(yīng)的單元在如此網(wǎng)格下一定收斂。教材給出了具體檢驗(yàn)的方法、步驟，請(qǐng)自學(xué)。四、薄板的單元列式1)總勢(shì)能用結(jié)點(diǎn)位移表示將位移模式代入可得形變矩陣為xyzw3y3x3Q1My1Mx112432)薄板單元?jiǎng)偠确匠淌街杏煽倓?shì)能的一階變分為零可得xyz殼體一般其中面都是曲面，對(duì)于柱面殼體，可以用一系列小的矩形平板來逼近它。此外還有一些折板結(jié)構(gòu)，它們都可以用平板殼元來分析。柱殼折板結(jié)構(gòu)1.平板殼體單元?jiǎng)偠确匠虤んw結(jié)構(gòu)象拱一樣，中面既受面內(nèi)力作用產(chǎn)生面內(nèi)變形外，還將象板一樣產(chǎn)生彎曲。但由于彎曲中面無變形，面內(nèi)變形又不產(chǎn)生彎曲，兩者互不藕聯(lián)。因此，可以象桿件單元一樣，用平面應(yīng)力和平板彎曲組合來得到殼體單元?jiǎng)偠确匠獭！?.8矩形平板殼體單元2.坐標(biāo)轉(zhuǎn)化問題平面問題（除等參元外）和平板彎曲問題單元局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)一致，因此沒有坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。如圖示意，各平板殼元局部坐標(biāo)可能不同，所以集裝前要做坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。xzy32取母線為局部x如圖由1、4點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定局部坐標(biāo)y的單位向量，局部坐標(biāo)x單位向量已知，由這兩單位向量的向量積就可獲得局部z坐標(biāo)單位向量。按上述思路，需要建立各單位向量的方向余弦，由此即可獲得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[T]。14殼體邊界條件的提法對(duì)稱邊簡(jiǎn)支邊自由邊1/4圓柱殼xyz固定邊簡(jiǎn)支點(diǎn)ANSYS殼單元shell181Shell181適用于薄到中等厚度的殼結(jié)構(gòu)。基本原則是每塊面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。殼單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有六個(gè)自由度，分別為沿節(jié)點(diǎn)X，Y，Z方向的平動(dòng)及繞節(jié)點(diǎn)X，Y，Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。退化的三角形選項(xiàng)用于網(wǎng)格生成的過渡單元。Shell181單元具有應(yīng)力剛化及大變形功能。該單元有強(qiáng)大的非線性功能，并有截面數(shù)據(jù)定義，分析，可視化等功能。還能定義復(fù)合材料多層殼。Shell181殼單元的截面定義了垂直于殼X-Y平面（中面）的形狀。通過激活殼截面定義可以定義Z方向連續(xù)層，每層的厚度，材料，鋪層角及積分點(diǎn)數(shù)都可以不同。Shell181單元截面的定義一般步驟為：（Preprocessor→Sections→Shell-Add/Edit）1

定義截面及其相關(guān)的截面號(hào)碼.2

定義截面的幾何數(shù)據(jù).應(yīng)當(dāng)注意：殼體有限元可以簡(jiǎn)單的看成是平面應(yīng)力單元與平面彎曲單元的疊加，（1）殼單元對(duì)于細(xì)節(jié)部分的應(yīng)力分布不能準(zhǔn)確顯示。（2