數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練第二講四漸開(kāi)線與擺線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1關(guān)于漸開(kāi)線和擺線的敘述,正確的是(）A。只有圓才有漸開(kāi)線B。漸開(kāi)線和擺線的定義是一樣的,只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開(kāi)線D.對(duì)于同一個(gè)圓,如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開(kāi)線形狀就不同思路解析:首先要明確不僅圓有漸開(kāi)線,其他圖形如橢圓、正方形也有漸開(kāi)線；漸開(kāi)線和擺線的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同;對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.答案：C2給出下列說(shuō)法①圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開(kāi)線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開(kāi)線問(wèn)題；③在求圓的擺線和漸開(kāi)線方程時(shí),如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同,可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程;④圓的漸開(kāi)線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn).其中正確的說(shuō)法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④思路解析：對(duì)于一個(gè)圓，只要半徑確定，漸開(kāi)線和擺線的形狀就是確定的,但是隨著選擇坐標(biāo)系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別,至于漸開(kāi)線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置。答案：C3在圓的擺線上有點(diǎn)（π，0）,那么在滿足條件的擺線的參數(shù)方程中，使圓的半徑最大的擺線上,參數(shù)φ=對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________。思路解析:首先根據(jù)擺線的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）,把點(diǎn)(π，0）代入可得cosφ=1，則sinφ=0，φ=2kπ（k∈Z),所以r=(k∈Z).又r＞0，所以k∈N＊,當(dāng)k=1時(shí),r最大為。再把φ=代入即可.答案：（)4已知圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)),則此漸開(kāi)線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是____________,當(dāng)參數(shù)φ=時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____________。思路解析：圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2。求當(dāng)φ=時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ=代入曲線的參數(shù)方程,x=，y=，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（,）。答案：2(，)5已知一個(gè)圓的擺線方程是(φ為參數(shù)）,求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的擺線的參數(shù)方程.思路分析：首先根據(jù)所給出的擺線方程判斷出圓的半徑為4，易得圓的面積為16π,再代入漸開(kāi)線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式即可得圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程.解：首先根據(jù)漸開(kāi)線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積是16π.該圓對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。6已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0），請(qǐng)寫出當(dāng)圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程和對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的標(biāo)準(zhǔn)方程。思路分析：根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達(dá)式（φ為參數(shù)）,只需把點(diǎn)(2,0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值，再確定對(duì)應(yīng)的擺線和漸開(kāi)線的方程.解：令y=0得r(1-cosφ）=0，即得cosφ=1，所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=r（2kπ—sin2kπ)=2,即得r=（k∈Z）。又由實(shí)際可知r〉0,所以r=(k∈N＊）。易知，當(dāng)k=1時(shí),r最大值為代入即可得，圓的擺線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。7已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù)）和直線l對(duì)應(yīng)的普通方程是x-y-=0.(1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請(qǐng)問(wèn)平移后圓和直線有什么關(guān)系？(2)寫出平移后圓的擺線方程。(3）求擺線和x軸的交點(diǎn)。思路分析：首先根據(jù)條件可知,圓的半徑是6,平移后圓心為O(0,0)，根據(jù)圓心O到直線的距離可以判斷出直線和圓的位置關(guān)系。再由圓的半徑寫出圓的擺線方程.求擺線和x軸的交點(diǎn)只需令y=0，求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ，再代入求出x的值.解：（1)圓C平移后圓心為O(0,0），它到直線x-y—=0的距離為d==6，恰好等于圓的半徑,所以直線和圓是相切的。(2)由于圓的半徑是6,所以可得擺線方程是(φ為參數(shù))。(3）令y=0得6-6cosφ=0cosφ=1，所以φ=2kπ（k∈Z）。代入x得x=2kπ（k∈Z）,即圓的擺線和x軸的交點(diǎn)為(2kπ，0）(k∈Z）。綜合·應(yīng)用8如圖2—4-5,ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開(kāi)線”，其中弧AE、EF、FG、GH、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連結(jié),則曲線AEFGH的長(zhǎng)是（）圖2—4-5A。3πB。4πC.5πD。6π思路解析：如題圖，根據(jù)漸開(kāi)線的定義可知，是半徑為1的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長(zhǎng),長(zhǎng)度為π；是半徑為3的圓周長(zhǎng),長(zhǎng)度為;是半徑為4的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為2π.所以曲線AEFGH的長(zhǎng)是5π。答案:C9我們知道關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線（φ為參數(shù))關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為_(kāi)__________。思路解析：關(guān)于直線y=x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù),而求反函數(shù)的過(guò)程主要體現(xiàn)了x與y的互換。所以,要寫出擺線方程關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線方程,把其中的x與y互換，即是交換x與y對(duì)應(yīng)的參數(shù)表達(dá)式。答案：(φ為參數(shù)）10我們都使用過(guò)蚊香，蚊香是由一圈螺旋線組成的.為了兼顧美觀和燃燒的效果,通常在設(shè)計(jì)時(shí)，有以下幾種方案：方案一:等速螺線,如圖2-4—6中圖(1）.圖中畫出了關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩支蚊香是沿這兩支曲線剪開(kāi)的平面部分(以下同)。圖2—4—6方案二：圓的漸開(kāi)線，如圖2-4—6(2).圖中曲線是圓弧，曲線是圓的漸開(kāi)線（以下同)。受方案二的啟示，可得。方案三:正方形的漸開(kāi)線，如圖2—4-6(3）.請(qǐng)根據(jù)圖（2）和圖(3)寫出圖（2)和圖(3)對(duì)應(yīng)曲線的方程。思路分析:本探究目的在于探討數(shù)學(xué)的美在實(shí)際問(wèn)題中的體現(xiàn).要寫出相應(yīng)曲線的方程，可以根據(jù)曲線滿足的條件,可以使用參數(shù)方程,普通方程或者極坐標(biāo)方程寫出，關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活掌握和應(yīng)用。首先要明白漸開(kāi)線的含義,可以根據(jù)課本中圓的漸開(kāi)線的定義和求解的方法進(jìn)行類比.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)條件寫出坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.解：在方案二中，建立如題圖中圖（2)所示的直角坐標(biāo)系，圓弧的參數(shù)方程為(取基圓的半徑r=1，≤φ＜1）。曲線的參數(shù)方程為（φ為參數(shù),且φ≥1）.在方案三中，曲線是由圓弧與圓弧內(nèi)連結(jié)的,建立如題圖中圖(3）所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=OC=1，則曲線的各段由下列方程構(gòu)成(式中n∈N,以下同):(x—）2+（y-）2=(0≤x<1，≤y〈0);x2+（y—1）2=2(4n-3)2,〔4n－3≤x＜（4n-3）,—4n+4≤y＜4n-2〕;(x+1）2+y2=2(4n-2)2〔—4n+1≤x＜4n-3，4n—2≤y＜（4n-2）〕;x2+(y+1）2=2(4n—1）2〔—（4n—1）≤x＜—4n+1,-4n≤y＜4n—2〕；（x—1）2+y2=2（4n）2〔-4n+1≤x＜4n+1,-4n≤y＜-4n〕.11已知一個(gè)參數(shù)方程是如果把t當(dāng)成參數(shù),它表示的圖形是直線l(設(shè)斜率存在);如果把α當(dāng)成參數(shù)（t〉0）時(shí)表示半徑為t的圓.（1）請(qǐng)寫出直線和圓的普通方程；（2)如果把圓平移到圓心在原點(diǎn),求出圓對(duì)應(yīng)的擺線的參數(shù)方程;(3)求該擺線和直線y=t的交點(diǎn)（t>0)。思路分析:要求出直線和圓對(duì)應(yīng)的普通方程只需把參數(shù)方程看作一個(gè)方程組聯(lián)立消去其中的參數(shù)即可。把圓平移到圓心在原點(diǎn)只需變化圓心，把圓心平移到原點(diǎn)，把半徑代入擺線的參數(shù)方程即得擺線方程。求擺線和直線y=t的交點(diǎn)只需把y=t代入?yún)?shù)方程，求出參數(shù)φ，代入?yún)?shù)方程,再求出x即可。解：（1)如果把t看成參數(shù),可得直線的普通方程為y—2=tanα（x—2）,即y=xtanα-2tanα+2。如果把α看成參數(shù)且t>0時(shí)，它表示半徑為t的圓，其普通方程為(x-2)2+(y—2）2=t2.(2)由于圓的半徑為t，所以對(duì)應(yīng)的擺線參數(shù)方程為（φ為參數(shù)).(3)令y=t得t,（1-cosφ）=t,得cosφ=0,則φ=2kπ+，代入x的參數(shù)方程得x=t（2kπ+-1）（k∈Z）,即擺線和直線y=t的交點(diǎn)坐標(biāo)為(t（2kπ+—1),t)(k∈Z)。12某地工人為了用起重機(jī)吊起兩條半徑分別為10cm和30cm的鋼管,需要先用鋼絲繩把這兩條鋼管捆綁扎緊。問(wèn)扎緊這兩條鋼管的鋼絲繩至少要多長(zhǎng)？（打結(jié)部分不計(jì),結(jié)果化簡(jiǎn)后可用π和根式表示)思路分析:本題綜合應(yīng)用圓與圓的有關(guān)知識(shí)。求公切線的長(zhǎng)、弧長(zhǎng)等知識(shí).實(shí)際上，要想把鋼管全部扎緊就是要求出鋼管對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的長(zhǎng)度。解：設(shè)大、小管的輪廓線分別為⊙O1和⊙O