第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.在靜態(tài)條件下(即變量各階導(dǎo)數(shù)為零),描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學(xué)模型;而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型.

如果已知輸入量及變量的初始條件,對(duì)微分方程求解,就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式,并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析.建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有分析法和實(shí)驗(yàn)法在自動(dòng)控制理論中,數(shù)學(xué)模型有多種形式.時(shí)域中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程;復(fù)域中有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖;頻域中有頻率特性等.22.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖附錄拉氏變換32.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型本節(jié)著重研究描述線性、定常、集中參量控制系統(tǒng)的微分方程的建立和求解方法.42.1.1線性元件的微分方程現(xiàn)舉例說(shuō)明控制系統(tǒng)中常用的電氣元件、力學(xué)元件等微分方程的列寫(xiě).

例2-1

圖2-1是由電阻R、電感L電容C組成的無(wú)源網(wǎng)絡(luò),試列寫(xiě)以u(píng)r(t)為輸入量,以u(píng)c(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程.解:設(shè)回路電流為i(t),由克?；舴蚨煽蓪?xiě)出回路方程為圖2-1

RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)ur(t)uc(t)CRLi(t)5消去中間變量i(t),便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為(2-1)顯然,這是一個(gè)二階線性微分方程,也就是圖2-1無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型.6分析質(zhì)量m上的受力情況如圖2-2b)所示。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有：（2-2）例2-2圖2-2a)所示為彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。當(dāng)受外力F(t)作用時(shí)，要求寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程。設(shè)外作用力為輸入量，位移x(t)為輸出量。F(t)x(t)mF2(t)F1(t)圖2-2機(jī)械位移系統(tǒng)b)F(t)x(t)mKfa)7式中:——阻尼器阻力。其大小與運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，阻尼系數(shù)為f，即：——彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有：K——彈簧剛度聯(lián)立以上三式并整理得：（2-3）8綜上所述,列寫(xiě)元件微分方程的步驟可歸納如下:①根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用,確定其輸入量和輸出量;②分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律,列寫(xiě)相應(yīng)的微分方程;③消去中間變量,得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程,便是元件時(shí)域的數(shù)學(xué)模型.92.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型

微分方程是在時(shí)間域描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型,當(dāng)給定外作用及初始條件時(shí),求解微分方程就可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng).這種方法比較直觀,但當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí),就要重新列寫(xiě)并求解微分方程,不便于對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì).用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程時(shí),可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型----傳遞函數(shù).傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響.102.2.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)⑴定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為初始條件為零時(shí),輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,記為G(S),即:(2-4)注：所有初始條件為零，指的是原系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階線性常微分方程為(2-5)11設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零,即零初始條件,對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換,可得s的代數(shù)方程為于是,由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中(2-6)12例2-3試求例2-1RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)解:該網(wǎng)絡(luò)的微分方程已求出,如式(2-1)所示在零初始條件下,對(duì)上式求拉氏變換得由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為(2-7)13⑵性質(zhì)①傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì).且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù).圖2-8傳遞函數(shù)的圖示G(s)R(s)C(s)②傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式,它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與輸入量的形式無(wú)關(guān),也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息.因此,可以用圖2-8的方塊圖表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng).③傳遞函數(shù)與微分方程有相通性.若將微分方程的算符d/dt

用復(fù)數(shù)s置換便得到傳遞函數(shù);反之亦可.④傳遞函數(shù)只反映系統(tǒng)在零初始條件下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，只適用于線性定常系統(tǒng)142.2.2傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解后,可寫(xiě)為如下形式(2-41)式中,---------稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn);-------稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn).傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù),也可以是復(fù)數(shù),系數(shù)稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益.這種用零點(diǎn)和極點(diǎn)表示傳遞函數(shù)的方法,在根軌跡法中使用較多.15傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解后,也可以寫(xiě)為如下因子連乘積的形式(時(shí)間常數(shù)形式)在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)時(shí),稱為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖.在圖中一般用表示零點(diǎn),用表示極點(diǎn).式中,一次因子對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)零極點(diǎn),二次因子對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)零極點(diǎn).

稱為時(shí)間常數(shù),稱為傳遞系數(shù)或增益.傳遞函數(shù)的這種表示形式在頻率法在使用較多.(2-42)162.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算,是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便方法.與結(jié)構(gòu)圖相比,信號(hào)流圖符號(hào)簡(jiǎn)單,更便于繪制和應(yīng)用.但是,信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng),而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng).172.3.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制圖2-18結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方塊和一些信號(hào)流向線組成,它包含四種基本單元:r(t)R(s)u(t)U(s)(c)u(t),U(s)(a)u(t)U(s)u(t),U(s)(b)G(s)u(t)U(s)c(t)C(s)(d)⑴信號(hào)線.帶有箭頭的直線,箭頭表示信號(hào)的流向,如圖2-18a);⑵引出點(diǎn).表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置,如圖2-18b);⑶比較點(diǎn).對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算,如圖2-18c);⑷方塊.對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換,方塊內(nèi)為傳遞函數(shù),如圖2-18d).18繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時(shí),首先考慮負(fù)載效應(yīng),分別列寫(xiě)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù),并用方塊表示;然后根據(jù)信號(hào)流向?qū)⒏鞣綁K連接便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖.所以,結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型.但要注意,結(jié)構(gòu)圖中的方塊與實(shí)際系統(tǒng)的元部件并非是一一對(duì)應(yīng)的.19圖2-21RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)例2-12繪制如圖2-21所示RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖R1R2uruc解:應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗概念,根據(jù)克?；舴蚨蓪?xiě)出以下方程20圖2-22RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖212.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖的變換一定要保證其等效性⑴串聯(lián)方塊的簡(jiǎn)化(等效)⑵并聯(lián)方塊的簡(jiǎn)化(等效)G1(s)G2(s)U(s)R(s)C(s)(a)圖2-26方塊串聯(lián)連接及其簡(jiǎn)化G1(s)G2(s)C(s)(b)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)(a)R(s)C(s)(b)圖2-27方塊并聯(lián)連接及其簡(jiǎn)化22⑶反饋連接方塊的簡(jiǎn)化(等效)G(s)H(s)R(s)C(s)(a)E(s)B(s)圖2-28方塊的反饋連接及其簡(jiǎn)化⑷比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)移動(dòng)前后必須保持信號(hào)的等效性;而且,比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間一般不宜交換其位置;此外,“-”號(hào)可以在信號(hào)線上越過(guò)方塊移動(dòng),但不能越過(guò)比較點(diǎn)和引出點(diǎn).表2-1匯集了結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化(等效變換)的基本規(guī)則,可供查用.R(s)C(s)(b)

(s)23242526例2-14試簡(jiǎn)化圖2-29的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-29例2-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解:由簡(jiǎn)化結(jié)果圖2-30可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為27-__-__解:28___29在方塊圖簡(jiǎn)化中,應(yīng)記住兩條原則:①前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變;②回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變;圖2-30例2-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化30本例經(jīng)簡(jiǎn)化后,可以得到閉環(huán)傳遞函數(shù)為:由此可以看出:①的分子等于前向通道傳遞函數(shù)的乘積;②的分母等于:注意:正反饋回路在分母中給出的是負(fù)項(xiàng)。31例2-15試簡(jiǎn)化圖2-31的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-31例2-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解:由簡(jiǎn)化結(jié)果圖2-32可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為32圖2-32例2-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化33見(jiàn)課本29頁(yè)例2-9例2-10342.3.3信號(hào)流圖的組成和性質(zhì)

信號(hào)流圖可以認(rèn)為是方塊圖的一種簡(jiǎn)化符號(hào),也可以解釋為一組線性代數(shù)方程變量間輸入、輸出關(guān)系的圖解表示。

信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)系統(tǒng)變量，用小圓圈表示;連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段叫支路，支路旁標(biāo)的增益表示兩個(gè)變量的因果關(guān)系，因此支路相當(dāng)于乘法器;信號(hào)只能沿箭頭方向流通。35

y2＝g12y1的信號(hào)流圖如圖所示，節(jié)點(diǎn)為y1、y2，且y1為輸入，y2為輸出，故箭頭指向y2，g12

即為該支路的增益。的信流圖例如：36例.下列一組代數(shù)方程構(gòu)成的信號(hào)流圖如圖2-35所示規(guī)定：節(jié)點(diǎn)的信號(hào)為各支路送入信號(hào)之和，而節(jié)點(diǎn)向各支路輸出的信號(hào)均為節(jié)點(diǎn)本身。圖2-35信號(hào)流圖37信號(hào)流圖的基本性質(zhì)可歸納如下①節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量.一般,節(jié)點(diǎn)自左向右順序設(shè)置,每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和.②支路相當(dāng)于乘法器,信號(hào)流經(jīng)支路時(shí),被乘以支路增益而變換為另一信號(hào).③信號(hào)在支路上只能沿箭頭單向傳遞,即只有前因后果的因果關(guān)系.④對(duì)于給定的系統(tǒng),節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的,因此信號(hào)流圖不是唯一的.38在信號(hào)流圖中常使用以下名詞術(shù)語(yǔ)輸入節(jié)點(diǎn)(源)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖2-34中的y1,

它對(duì)應(yīng)于自變量。輸出節(jié)點(diǎn)(阱)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖2-34中的y5,

它對(duì)應(yīng)于應(yīng)變量?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。

混合節(jié)點(diǎn)可以變換為輸出節(jié)點(diǎn)，如圖2-35中的y3變換為輸出節(jié)點(diǎn)，如圖2-36所示，但混合節(jié)點(diǎn)不能變換為輸入節(jié)點(diǎn)。圖2－36混合節(jié)點(diǎn)y3變換為輸出節(jié)點(diǎn)y2y3y3y4139通路：從某一點(diǎn)開(kāi)始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過(guò)一些支路而終止在另一節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）的路徑，統(tǒng)稱為通路。一個(gè)信號(hào)流圖可以有很多通路。前向通路：從輸入節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，終止于輸出節(jié)點(diǎn)，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次的通路。前向通路上各支路增益的乘積,稱前向通路總增益.如圖2-35中前向通道有三條,其增益分別為：回路：就是閉通路。如圖2-35中有四個(gè)回路：40信號(hào)流圖代數(shù)⑴節(jié)點(diǎn)變量值等于進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的所有信號(hào)與其增益乘積的總和。如圖中：節(jié)點(diǎn)變量值y1y2y3g13g23⑵串聯(lián)支路總增益等于所有支路增益的乘積。如圖：串聯(lián)支路y1y2y3g12g23y1y3g12g2341⑶通過(guò)增益相加,可以將并聯(lián)支路合并為單一支路。如圖：并聯(lián)支路y1y2g1g2y1y2g1+g2⑷混合節(jié)點(diǎn)可以消掉，如圖：消掉混合節(jié)點(diǎn)y1y2y3y4g13g23g34y1y2y4g13g34g23g3442⑸回路可以消掉y3=g12g23y1+g32g23y3y3=y1g12g231－g32g23y3=g23y2y2=g12y1+g32y3}消掉回路1－g32g23g12g23y1y3y2y1y3g23g12g32y1y3g32g23g12g23見(jiàn)課本34頁(yè)表2-143⑵由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖圖2-38由結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖的過(guò)程2.3.4信號(hào)流圖的繪制⑴由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖44由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖時(shí)的注意點(diǎn)及技巧問(wèn)題,如圖2-38及圖2-39所示.在結(jié)構(gòu)圖的信號(hào)線上用小圓圈標(biāo)志出傳遞的信號(hào).便得到節(jié)點(diǎn);用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框,便得到支路.于是,結(jié)構(gòu)圖變?yōu)橄鄳?yīng)的信號(hào)流圖,如圖2-38所示.圖2-39比較點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系45例2-18試?yán)L制圖2-40所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖

.圖2-40例2-18系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖46圖2-41例2-18系統(tǒng)的信號(hào)流圖解：首先在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的信號(hào)線上,用小圓圈標(biāo)注各變量對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn),如圖2-41a)所示;其次,將各節(jié)點(diǎn)按原來(lái)順序自左向右排列,連接各節(jié)點(diǎn)的支路與結(jié)構(gòu)圖中的方塊相對(duì)應(yīng),即得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖2-41b)所示.47式中：P——阱節(jié)點(diǎn)c和源節(jié)點(diǎn)

r間的總增益；c——輸出節(jié)點(diǎn)阱節(jié)點(diǎn)變量；r——輸入節(jié)點(diǎn)源節(jié)點(diǎn)變量；n——前向通道總數(shù)；——信號(hào)流圖特征式；——第K條前向通道總增益；2.3.5梅遜增益公式(2-57)48----第K條前向通道上特征式的余因式。注：所謂兩個(gè)互不接觸回環(huán)，是指兩個(gè)回環(huán)沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)。即去掉與第K條前向通道相接觸的回環(huán)后的△值，或與第K條前向通道不接觸部分的△值；——所有不同回環(huán)增益之和;——所有兩個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和；——所有三個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和；49例2-19試用梅遜公式求例2-14系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s).(圖2-29例2-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖)50解:對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖如圖2-43所示.前向通路有一條:p1=G1G2G3G4.圖2-43與圖2-29對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖回路有三個(gè):沒(méi)有不接觸回路,且前向通路與所有回路都接觸,故51例2-20試用梅遜公式求圖2-44所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-44例2-20系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖52前向通路有二條:p1=G1G2G3,p2=G1G4.回路有五個(gè):沒(méi)有不接觸回路,且兩條前向通路與所有回路都接觸,故解:由信號(hào)流圖可見(jiàn)53例2-21試求圖2-45系統(tǒng)信號(hào)流圖的傳遞函數(shù)X4/X1及X2/X1.圖2-45例2-21的信號(hào)流圖X1X2X3X4abc-def-g圖中,有三個(gè)單獨(dú)回路,即有兩個(gè)互不接觸回路,即因此,信號(hào)流圖特征式為解:對(duì)于給定的系統(tǒng)信號(hào)流圖(或結(jié)構(gòu)圖),梅遜公式中的特征式是確定不變的,只是對(duì)于不同的源節(jié)點(diǎn)和阱節(jié)點(diǎn),其前向通路和余因式是不同的.54從X1到X4:從X1到X2:前向通路有兩條:且故其傳遞函數(shù)為前向通路有一條:且.故其傳遞函數(shù)為55例2-22試求圖2-46信號(hào)流圖中的傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-46例2-22的信號(hào)流圖三個(gè)互不接觸的回路有一組,即兩個(gè)互不接觸的回路有四組,即解:單獨(dú)回路有四個(gè)即56于是,信號(hào)流圖特征式為前向通路共有四條,其增益及余因式分別為因此,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為57例2-23試求圖2-47信號(hào)流圖中的傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-47例2-23的信號(hào)流圖解:前向通路共有三條,其增益為單獨(dú)回路有三個(gè),即沒(méi)有不接觸回路,且,則58由上式不難求出與其對(duì)應(yīng)的微分方程式為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為592.3.6閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),一般可以由組成系統(tǒng)的元部件運(yùn)動(dòng)方程式求得,但更為方便的是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖求取.一個(gè)典型的反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖如圖2-48所示.圖中:R(s)-----輸入信號(hào);N(s)------擾動(dòng)信號(hào);C(s)------輸出信號(hào).圖2-48反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖B(S)60應(yīng)用疊加原理,令N(s)=0,可直接求得輸入信號(hào)R(s)到輸出信號(hào)C(s)之間的傳遞函數(shù)為⑴輸入信號(hào)下的閉環(huán)傳遞函數(shù)由可進(jìn)一步求得輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的輸出量C(s)為(2-65)(2-66)61⑵擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用疊加原理,令R(s)=0,可直接由梅遜公式求得擾動(dòng)作用N(s)到輸出量C(s)之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)同樣,可求得系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的輸出C(s)為(2-67)62顯然,當(dāng)輸入信號(hào)R(s)和擾動(dòng)作用N(s)同時(shí)作用時(shí),系統(tǒng)的輸出C(s)為在上式中,如果滿足的條件則可簡(jiǎn)化為式(2-68)表明,系統(tǒng)的輸出只取決于反饋傳遞函數(shù)H(s)及輸入信號(hào)R(s),而與前向通路傳遞函數(shù)無(wú)關(guān),也不受擾動(dòng)作用的影響.特別當(dāng)H(s)=1時(shí),.從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸入信號(hào)的完全復(fù)現(xiàn),且對(duì)擾動(dòng)具有較強(qiáng)的抑制能力.(2-68)63⑶閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)作用時(shí),以誤差信號(hào)E(s)作為輸出量時(shí)的傳遞函數(shù)稱為誤差傳遞函數(shù),它們可由梅遜公式求得為(2-69)(2-70)64注意:對(duì)于圖2-47的典型反饋控制系統(tǒng),其各種閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母形式均相同,這是因?yàn)樗鼈兌际峭粋€(gè)信號(hào)流圖的特征式,即,式中是回路增益,并稱它為該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),它等效為主反饋斷開(kāi)時(shí),從輸入信號(hào)R(s)到反饋信號(hào)B(s)之間的傳遞函數(shù).65附錄拉氏變換⑴定義：（2—71）式中：——時(shí)間的原函數(shù)，且當(dāng)時(shí)；

——復(fù)變數(shù)，；

——運(yùn)算符號(hào)；放在某量之前表示該量用拉普拉斯積分進(jìn)行變換?！睦献儞Q，象函數(shù)。66⑵拉氏變換表表2－1拉氏變