2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)育才學(xué)校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)育才學(xué)校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?3x+2<0},B={x|x≥1}，則A.(?∞,2] B.(1,+∞) C.(1,2) D.[1,+∞)2.下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(

)A.y=x12 B.y=x3 3.若a>0,b>0，且a+2b?2=0，則ab的最大值為A.12 B.1 C.2 D.4.函數(shù)y=2sinωx+φ在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是(

)

A.y=2sinx+3π8 B.y=2sin2x?5.在?ABC中，“A>π4”是“sinA>A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.已知函數(shù)f(x)=logax，g(x)=bx，的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A.1 B.2 C.4 D.87.已知函數(shù)f(x)的部分對(duì)應(yīng)值如表所示.數(shù)列an滿足a1=1，且對(duì)任意n∈N?，點(diǎn)an,an+1都在函數(shù)x1234f(x)3124A.1 B.2 C.3 D.48.已知向量a=sinθ,cosθ，b=3,4，若A.247 B.67 C.?249.在直角梯形ABCD中，已知BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P為CD的中點(diǎn)，則PA?PB的值為(

)A.?5 B.?4 C.4 D.510.已知集合M={(x,y)∣y=f(x)}，若對(duì)于任意x1,y1∈M，存在x2,y2∈M①M(fèi)=(x,y)y=③M={(x,y)∣y=cosx}其中所有“好集合”的序號(hào)是(

)A.②③ B.①②④ C.③④ D.①③④二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.(2x+1x)412.若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2，且a,b的夾角為π3，則a13.已知a≥0，函數(shù)fx=2x,x≤ax,x>a若a=0，則fx的值域?yàn)?/p>

14.已知數(shù)列an滿足an+1>an，且其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+115.已知函數(shù)f(x)=cosπxx2+1，給出下列四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；③f(x)的最小值為?12；④f(x)三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.已知等差數(shù)列an滿足a1(1)求an的通項(xiàng)公式(2)若等比數(shù)列bn,b117.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx?1(1)求實(shí)數(shù)a，b的值;(2)求函數(shù)gx=ax+18.在?ABC中，bsinA=a(1)求B；(2)若c=5，___________.求a．從①b=7，②C=π注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19.為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，弘揚(yáng)奧林匹克精神，北京市多所中小學(xué)校開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)各項(xiàng)比賽的活動(dòng).為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)中的參與情況，在北京市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如下：(Ⅰ)現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查.求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過(guò)40人的概率；(Ⅱ)現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記X為教練選中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ)某校聘請(qǐng)了一名越野滑輪教練，對(duì)高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個(gè)動(dòng)作進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．20.已知函數(shù)f(x)=ex(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線l的方程；(2)當(dāng)x>0時(shí)，求證：f(x)>x；(3)討論函數(shù)y=f(x)?bx(b∈R且為常數(shù))零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．21.在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“Z拓展”.如數(shù)列1，2第1次“Z拓展”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到數(shù)列1，4，3，5，2.設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過(guò)第n次“Z拓展”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為Pn，所有項(xiàng)的和記為Sn．(1)求P1，P(2)若Pn≥2020，求n的最小值；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列？若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.D

7.C

8.A

9.D

10.A

11.24

12.1

13.0,+∞；14.?1n(15.①②④

16.(1)因?yàn)閍2∴a∴2d=a3?∴a(2)由題可知a2=3，又∴b∴q=a∴b

17.(1)已知函數(shù)f(x)=x3+a由題意f′1=2a+b+3=0f當(dāng)a=?2,b=1時(shí)，f(x)=x3?2當(dāng)x<13或x>1時(shí)，f’(x)>所以fx在?∞,13所以fx在x=1處有極小值f綜上所述，a=?2,b=1符合題意；(2)由題意gx=ax+ln當(dāng)0<x<12時(shí)，g′x>0，當(dāng)所以gx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,12，g

18.(1)因?yàn)閎sinA=acosB?π6，由正弦定理得：sinBsinA=?32cosB+12(2)若選①，則在?ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2?2accosB，可得：若選②，C=π4，則由正弦定理：asinA=csin

19.(Ⅰ)記“選出的兩所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過(guò)40人”為事件S，現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，可得基本事件總數(shù)為?10參與越野滑輪人數(shù)超過(guò)40人的學(xué)校共4所，隨機(jī)選擇2所學(xué)校共C4所以P(Ⅱ)X的所有可能取值為0，1，2，參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校共4所．PX=0=C40X的分布列為：X012P182EX(Ⅲ)答案不唯一．答案示例1：可以認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核為“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.理由如下：指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：C3指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率非常小，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化．答案示例2：無(wú)法確定.理由如下：指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：C3雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，所以，無(wú)法確定總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化．

20.(1)由題意得，f(1)=e，f′(x)=ex(x?1)∴切線l的方程為：y=e．(2)當(dāng)x>0時(shí)，要證f(x)>x，只需證ex令g(x)=ex?令?(x)=g′(x)=ex?2x由?′(x)>0得，x>ln2，由?′(x)<0得，∴?(x)在(0,ln2)為減函數(shù)，在∴?(x)≥?(ln∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，∴g(x)>g(0)=e∴ex?(3)由f(x)?bx=0得，b=e令φ(x)=exx由φ′(x)>0得x>2或x<0，由φ′∴φ(x)在(?∞,0)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，在(2,+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)x→?∞時(shí)，φ(x)→0，當(dāng)x→0時(shí)，φ(x)→+∞，當(dāng)x→+∞，φ(x)→+∞．∵x=2時(shí)，φ(x)取極小值φ(2)=e∴當(dāng)b∈(?∞,0]時(shí)，直線y=b與φ(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)b∈0,e24時(shí)，直線y=b與φ(x)的圖象有當(dāng)b=e24時(shí)，直線y=b與φ(x)的圖象有2當(dāng)b∈e24,+∞時(shí)，直線y=b與φ(x)的圖象有綜上得，當(dāng)b∈(?∞,0]時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)b∈0,e2當(dāng)b=e24時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)b∈

21.解：(Ⅰ)因原數(shù)列有3項(xiàng)，經(jīng)第1次拓展后的項(xiàng)數(shù)P1=3+2=5；

經(jīng)第2次拓展后的項(xiàng)數(shù)P2=5+4=9．

(Ⅱ)因數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，

由數(shù)列經(jīng)第n次拓展后的項(xiàng)數(shù)為Pn，

則經(jīng)第n+1次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為Pn?1，

所以Pn+