數(shù)學(xué)素材：教材梳理數(shù)學(xué)歸納法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、數(shù)學(xué)歸納法的定義證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題，可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1）時命題成立，(2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N＊,k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.從數(shù)學(xué)歸納法的定義我們可以看出，它強調(diào)的就是兩個基本步驟。數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，是問題的兩個方面，一個是命題成立的基礎(chǔ)，一個是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可.缺步驟（2），則證明就是“一葉障目,以一代全”不能保證命題對所有的自然數(shù)n都成立；而缺步驟（1），則證明就成了“空中樓閣”，也難以保證命題對所有自然數(shù)n都成立。我們通常稱第（1）步為奠基步驟.記憶要訣總結(jié)以上的分析，歸納如下:“奠基步驟不能少，歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.”如果同學(xué)們能正確地理解了數(shù)學(xué)歸納法證明的要義，才能輕松自如地運用它，而不致誤用。誤區(qū)警示數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，是問題的兩個方面，一個是命題成立的基礎(chǔ)，一個是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可。疑問：既然第（2）步已經(jīng)證明了任兩個連續(xù)自然數(shù)對應(yīng)的命題的遞推關(guān)系，那么第（1）步是否是多余的？請看如下例子:對于欲證的命題：1+2+3+…+n=n（n+1）+1.第二步證明為:若n=k時命題成立，即1+2+3+…+k=k(k+1）+1,則當(dāng)n=k+1時，1+2+3+…+k+（k+1）=k(k+1）+1+(k+1)=(k+1）(k+2)+1,即當(dāng)n=k+1時命題也成立.但我們會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=1時,左式=1,右式=2，顯然命題不成立.辨析比較歸納法與數(shù)學(xué)歸納方法我們在研究問題時,還常常用到如下的一種思維方法，即從特殊到一般的思維方法，舉例如下：1=12，1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42，…，我們由此發(fā)現(xiàn)并得出如下結(jié)論：1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1)+…+3+2+1=n2（n∈N)。這就是考察具有1+2+3+…+(n—1）+n+(n—1）+…+3+2+1特征的某幾個式子的數(shù)值后，發(fā)現(xiàn)了蘊含其中的共性之后而得到的一個結(jié)論。這種思維方法（或推理方法）我們稱之為歸納法.由歸納法得到的結(jié)論未必正確，接下來的問題就是確認(rèn)由歸納法得到的結(jié)論的正確性。確認(rèn)的方法是什么呢？或許結(jié)論不正確，那么可尋找一反例推翻該結(jié)論；或許結(jié)論是正確的,那么我們需對此予以嚴(yán)格的證明.如何證明？注意到1+2+3+…+(n-1)+n+（n-1)+…+3+2+1=n2（n∈N），實際上是n=1，2，3，…的無窮多個等式的概括寫法，因此要證明上述等式,就需要對n=1，2,3，…的無窮多個等式逐一證明.事實上，這是做不到的.因此需要一種用以證明這種結(jié)論的一般證明方法,這種證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法。從上述可知，歸納法和數(shù)學(xué)歸納法是有區(qū)別的.歸納法只是我們從特殊到一般的思維方法,它歸納的結(jié)論未必正確,而數(shù)學(xué)歸納法是一種變態(tài)的演繹法，是證明與自然數(shù)有關(guān)的某些命題的方法.二、數(shù)學(xué)歸納法的特點1。無窮性：數(shù)學(xué)歸納法所證明的與自然數(shù)有關(guān)的命題,實際上就是關(guān)于自然數(shù)的無窮性命題，命題的無窮性是我們用演繹法無法證明的，所以數(shù)學(xué)歸納法恰恰就是有效地利用遞推關(guān)系證明了命題無窮性的正確。2.有窮性：與自然數(shù)有關(guān)的命題具有無窮性，但是數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟是有窮的，僅僅只有兩個步驟，但這兩個步驟是缺一不可的.數(shù)學(xué)歸納法是在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性，運用“有限”的手段來解決“無限”的問題.三、數(shù)學(xué)歸納法的核心在驗證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性,而第二步實際上是以一次邏輯的推理代替了無限的驗證過程。所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實可行的科學(xué)證題方法，實現(xiàn)了有限到無限的飛躍。深化升華如何理解第二步驟？能否正確理解它關(guān)系到我們能否正確運用數(shù)學(xué)歸納法證題.同學(xué)們知道無窮多塊多米諾骨牌倒下的兩個必要條件：(1）起始的第一塊骨牌倒下;(2)如果任意相鄰的兩塊骨牌中前一塊倒下導(dǎo)致后一塊倒下.那么我們就可保證在啟動第一塊骨牌后，所有的骨牌都會倒下.上述數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，是否很像多米諾骨牌的兩個必要條件.數(shù)學(xué)歸納法的第(2)步要做的是證明一種遞推關(guān)系，即由n=k(k∈N，k≥n0）時命題成立去證明n=k+1時命題成立，而“n=k時命題成立"是作為導(dǎo)出“n=k+1時命題成立”的前提，因此采用了“假設(shè)當(dāng)n=k（≥n0）時命題成立”的形式。切勿理解為n=k時,命題是果真成立,它只不過是為了導(dǎo)出n=k+1時命題成立的一個假設(shè)罷了，也正因為如此，在推證n=k+1時的命題時，需用到n=k時所假設(shè)的命題。（我們通常把這一假設(shè)稱為“歸納假設(shè)”）典題·熱題知識點一：數(shù)學(xué)歸納法的定義例1求證：12+22+32+…+n2=n（n+1)(2n+1).思路分析:本題就是考查對數(shù)學(xué)歸納法的理解，兩個步驟一個是命題成立的基礎(chǔ),一個是命題之間可遞推的依據(jù),二者缺一不可.證明：（1）當(dāng)n=1時,左式=12=1，右式=×1×(1+1）×（2×1+1）=1，左式=右式?！喈?dāng)n=1時，命題成立（奠基步驟）。（2)假設(shè)當(dāng)n=k（≥1)時，命題成立,即12+22+32+…+k2=k（k+1）(2k+1）。（歸納假設(shè))則當(dāng)n=k+1時，右式=12+22+32+…+k2+(k+1）=k(k+1）(2k+1）+(k+1）2=(k+1)［k（2k+1)+6(k+1)]=（k+1）(k+2）(2k+3)=右式?！喈?dāng)n=k+1時，命題也成立。由（1）（2）可知，對于一切自然數(shù)n，命題都成立。（結(jié)論）方法歸納用數(shù)學(xué)歸納法證題要注意下面幾點：(1)證題的兩個步驟缺一不可，要認(rèn)真完成第一步的驗證過程；（2)成敗的關(guān)鍵取決于第二步對n=k+1的證明:①突破對“歸納假設(shè)”的運用；②用好命題的條件；(3）正確選擇與命題有關(guān)的知識及變換技巧.知識點二：數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題例2用數(shù)學(xué)歸納法證明下述整除問題：求證：11n+2+122n+1(n∈N*）被133整除。思路分析：數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式的整除問題時，要充分利用整除的性質(zhì),若干個數(shù)（或整式）都能被某一個數(shù)（或整式)整除，則其和、差、積也能被這個數(shù)(或整式）整除。證明：（Ⅰ)當(dāng)n=1時，113+123=1331+1728=3059=133×23能被133整除,∴當(dāng)n=1時命題正確；(Ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時命題正確,即11k+2+122k+1能被133整除，∴當(dāng)n=k+1時，11k+3+122k+3=11×（11k+2+122k+1)+122k+3—11×122k+1=11×(11k+2+122k+1）+122k+1×(122—11)=11×（11k+2+122k+1）+122k+1×133.能被133整除，即當(dāng)n=k+1時命題也正確。由(Ⅰ）（Ⅱ)知命題對n∈N*都正確.方法歸納（1）證明整除性問題時,常用到以下整除的性質(zhì)：若a｜b,且a｜c,則a｜（b±c)；若a｜b,則a｜bc,“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.（2）在由n=k時命題成立，證明n=k+1,命題也成立時，要注意設(shè)法化去增加的項,通常要用到拆項、結(jié)合、添項、減項、分解、化簡等技巧.知識點三：數(shù)學(xué)歸納法證明幾何計數(shù)問題例3已知n個圓中每兩個圓相交于兩點，且無三圓過同一點，用數(shù)學(xué)歸納法證明：這n個圓將平面劃分成n2—n+2塊區(qū)域。思路分析:用數(shù)學(xué)歸納法解幾何問題.證明:（Ⅰ）當(dāng)n=1時，1個圓將平面分成2部分，而2=12—1+2，∴當(dāng)n=1時命題正確.（Ⅱ)假設(shè)n=k時命題正確,即滿足條件的k個圓將平面劃分成k2—k+2部分,∴當(dāng)n=k+1時,平面上增加了第k+1個圓，它與原來的k個圓的每一個圓都相交于兩個不同點，共2k個交點。而這2k個點將第k+1個圓分成2k段弧，每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，∴區(qū)域的塊數(shù)增加了2k塊，∴k+1個圓將平面劃分成的塊數(shù)為（k2—k+2)+2k=k2+k+2=（k+1）2-(k+1)+2，∴n=k+1時命題也正確，根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)知命題對n∈N＊都正確.誤區(qū)警示用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是教材中一種題型，但由于這種題型的證明主要是文字推理為主，所以語言一定精確，要能準(zhǔn)確地描述第二步的假設(shè)，合理清晰地推導(dǎo)出結(jié)論。知識點四：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果｛an｝是一個等差數(shù)列,那么an=a1+(n-1)d對一切n∈N*都成立.思路分析：我們知道等差、等比數(shù)列的通項公式都是通過遞推得出結(jié)論的，無法用演繹法證明它們的無窮性，數(shù)學(xué)歸納法以一次邏輯的推理代替了無限的驗證過程.證明:（1）當(dāng)n=1時,左=a1，右=a1+(1-1）d=a1，所以等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時等式成立，即ak=a1+(k—1)d.那么ak+1=ak+d=a1+(k—1)d+d=a1+［（k+1）—1］d.∴當(dāng)n=k+1時，等式成立,由(1）（2)知對任何n∈N＊等式成立。方法歸納因為數(shù)列的通項公式，前n項和公式都是關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，所以在關(guān)于這類問題的證明上，如果我們無法確定其他比較簡便的證明方法,那么數(shù)學(xué)歸納法是證明它們的一種有效方法。知識點五：數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題例5用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1·(n2-12）+2·（n2—22）+…+n(n2-n2)=n2(n—1)（n+1）。（2）=n·2n-1.思路分析：（1)恒等式是我們用數(shù)學(xué)歸納法證明的常見題型,關(guān)鍵就是第二步n=k+1時的提取公式、分解因式等技巧的合理使用.(2）這是一個有關(guān)組合數(shù)的問題，它的明顯特征是每個組合數(shù)的系數(shù)與組合數(shù)的上標(biāo)相同，同時它又是一個自然數(shù)命題，這就決定了它的證明方法的多樣性.證明：（1）（Ⅰ）當(dāng)n=1時，左邊=1·(12—12)=0，右邊=·12·0·2=0，∴左邊=右邊，n=1時等式成立。（Ⅱ)假設(shè)n=k時等式成立，即1·（k2-12)+2·（k2-22）+…+k·（k2—k2）=k2(k-1)（k+1），∴當(dāng)n=k+1時，左邊=1·［（k+1)2—12］+2·［(k+1）2-22］+…+k·［(k+1）2-k2］+(k+1）［(k+1）2—(k+1)2］=［1·（k2—12）+2(k2—22)+…+k·（k2-k2）］+［1·（2k+1）+2·(2k+1）+…+k（2k+1）］=k2（k-1）（k+1)+·（2k+1)=k(k+1)［(k—1)+2（2k+1)]=k（k+1）（k2+3k+2）=（k+1)2k（k+2）=右邊，即n=k+1時等式成立，根據(jù)（Ⅰ）與（Ⅱ）,等式對n∈N*都正確.(2)方法1：（Ⅰ)當(dāng)n=1時，左邊=C11=1=20=右邊,等式成立。（Ⅱ）假設(shè)n=k時等式成立，即=k·2—1，∴當(dāng)n=k+1時，左邊==2k+2·k·2k—1=(k+1）·2k=右邊。等式也成立。由(Ⅰ)(Ⅱ）知等式對n∈N＊都成立。方法2：f（n）=0,①f(n）=+（n—1）+…++0，②由①+②得：2f（n）=n（++2+3…+n）=n·2n,∴f（n）=n·2n-1.方法歸納（1)在第（Ⅱ）步的證明中，必須清楚n=k時,n=k+1時所列等式的左右兩邊分別如何表達,并能正確使用歸納假設(shè)，尤其是代數(shù)變形能力（如因式分解、通分、拆項、湊項……）的運用要熟練.（2）證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時,數(shù)學(xué)歸納法并不是唯一的證明方法,第2小題就很好地說明了這個問題，所以我們應(yīng)該優(yōu)先考慮常用的通法，現(xiàn)成的公式、定理等來證明，迅速作出抉擇是否用數(shù)學(xué)歸納法證明，以達到“化繁為簡”的目的。問題·探究交流討論探究問題數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)命題的有效手段，是不是所有的自然數(shù)命題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明呢？我們一起來嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣一個命題：(n∈N+）。探究過程:這是一個與自然數(shù)n有關(guān)的不等式命題，同學(xué)們已經(jīng)能熟練的運用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,同學(xué)們會很自然的想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明,那么大家不妨嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟來嘗試一下.同學(xué)甲:(1）n=1時，左邊=,右邊=，則左邊＜右邊，不等式成立。同學(xué)乙：(2）假設(shè)n=k時，不等式成立，即+…+〈.當(dāng)n=k+1時，左邊=<.∴n=k+1時，不等式也成立。根據(jù)（1）(2)，原不等式對n∈N+都成立.老師：上面的證明正確嗎？如果不正確，問題出在哪里?同學(xué)丙：上面的證明不正確，可能是代數(shù)變形的方法不對吧。老師：甲、乙兩位同學(xué)是嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟來證明的,這本身并沒有問題，真正的錯誤原因是+〈不成立,此時無法實現(xiàn)由n=k推出n=k+1成立，從而數(shù)學(xué)歸納法失效.探究結(jié)論:數(shù)學(xué)歸納法確實是我們證明與自然數(shù)有關(guān)命題的一種有效方法，但它也不是萬能的方法，也有它解決不了的自然數(shù)命題.我們證明時，究竟選擇哪種方法，一定要根據(jù)題目的具體情況加以分析，確定有效的方法.問題在現(xiàn)實生活中有很多我們?nèi)祟愇粗膯栴},如哈雷是通過計算猜測哈雷慧星的周期，然后再證明猜想的正