專項04 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合

專項04二次函數(shù)與幾何圖形的綜合類型一線段最值問題1.(2023山東濰坊二模)如圖，已知拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)交x軸于點A(4，0)和點B(-2，0)，交y軸于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)點P是拋物線上位于直線AC下方的動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交直線AC于點D，交x軸于點E，當(dāng)PD+PE取最大值時，求點P的坐標(biāo).類型二周長與面積最值問題2.(2023湖南張家界中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(-2，0)和點B(6，0)，與y軸交于點C(0，6).D為線段BC上的一動點.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求△AOD周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值.類型三特殊三角形存在性問題3.(2023山東莘縣二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(6，-8).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出點B和點E的坐標(biāo)；(2)試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE，若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點P是y軸負(fù)半軸上的一個動點，設(shè)其坐標(biāo)為(0，m)，直線PB與直線l交于點Q.試探究：當(dāng)m為何值時，△OPQ是等腰三角形.類型四特殊四邊形存在性問題4.(2023山東東阿一模)如圖，拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)與x軸交于A(4，0)和B(-1，0)兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC下方的拋物線上一動點.(1)求拋物線的解析式；(2)過點P作PD⊥x軸于點D，交直線AC于點E，求線段PE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)取(2)中PE最大值時的P點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使得以A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

專項04二次函數(shù)與幾何圖形的綜合答案全解全析1.解析(1)∵拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)經(jīng)過點A(4，0)和點B(-2，0)，∴16a+4∴拋物線的解析式為y=12x2(2)由(1)知拋物線的解析式為y=12x2-x-4∴C(0，-4)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx-4(k≠0)，將A(4，0)代入，得0=4k-4，解得k=1，∴直線AC的解析式為y=x-4，∵OA=OC=4，∴∠OAC=45°，設(shè)P(m，n)，則n=12m2-m-4(0<m<4)∵PD平行于x軸，PE平行于y軸，∴D(n+4，n)，E(m，0)，∴PD=m-4-n，PE=-n，∴PD+PE=m-4-n-n=m-4-21=-m2+3m+4=-m-32∵-1<0，∴當(dāng)m=32時，PD+PE取得最大值，此時n=12×322-∴點P的坐標(biāo)為322.解析(1)將A(-2，0)，B(6，0)，C(0，6)三點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，得4a-2∴拋物線的表達(dá)式為y=-12x2(2)作點O關(guān)于直線BC的對稱點E，連接EC、EB，∵B(6，0)，C(0，6)，∴OB=OC=6，∵O、E關(guān)于直線BC對稱，∠BOC=90°，∴四邊形OBEC為正方形，∴E(6，6)，連接AE，交BC于點D，由對稱性知DE=DO，此時DO+DA有最小值，最小值為AE的長，AE=AB2+BE∵△AOD的周長=DA+DO+AO，AO=2，DA+DO的最小值為10，∴△AOD的周長的最小值為10+2=12.(3)設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+n(k≠0)，將B(6，0)，C(0，6)代入得，6k+∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+6，同理可得，直線AC的表達(dá)式為y=3x+6，∵PD∥AC，∴可設(shè)直線PD的表達(dá)式為y=3x+q，設(shè)Pm,-12m2+2m+6(0<m<6)，將P點坐標(biāo)代入直線PD的表達(dá)式，∴直線PD的表達(dá)式為y=3x-12m2-m+6由y=?x∴D18∵P，D都在第一象限，∴S=S△PAD+S△PBD=S△PAB-S△DAB=12·AB·yP-12=12·AB·=4×-38m2+94m=-32∵-32<0，∴當(dāng)m=3時，S取得最大值，為272，此時P點坐標(biāo)為3.解析(1)將A(-2，0)，D(6，-8)代入y=ax2+bx-8，得4解得a∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=12x2-3x-8∵y=12x2-3x-8=12(x-3)2-∴拋物線的對稱軸為直線x=3.∵拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為(-2，0)，∴點B的坐標(biāo)為(8，0)，設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=kx(k≠0)，將D(6，-8)代入，得6k=-8，解得k=-43∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-43∵點E為直線l和拋物線對稱軸的交點，∴點E的橫坐標(biāo)為3，∴縱坐標(biāo)為-43×3=-4∴點E的坐標(biāo)為(3，-4).(2)拋物線上存在點F，使△FOE≌△FCE.點F的坐標(biāo)為(3-17，-4)或(3+17，-4).(3)由題意知分兩種情況：①當(dāng)OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形.∵點E的坐標(biāo)為(3，-4)，∴OE=32+過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H，則OMOP=OEOQ，∴點M的坐標(biāo)為(0，-5).設(shè)直線ME的函數(shù)表達(dá)式為y=k1x-5(k1≠0)，將E(3，-4)代入得3k1-5=-4，解得k1=13∴直線ME的函數(shù)表達(dá)式為y=13x-5令y=0，得13x-5=0，解得x=15∴點H的坐標(biāo)為(15，0)，∵M(jìn)H∥PB，∴OPOM=OBOH，即-m5=8②當(dāng)QO=QP時，△OPQ是等腰三角形.∵當(dāng)x=0時，y=12x2-3x-8=-8∴點C的坐標(biāo)為(0，-8)，∴CE=32+(8-4)2=5，∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，設(shè)直線CE交x軸于點N，則可設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為y=k2x-8(k2≠0)，將E(3，-4)代入得3k2-8=-4，解得k2=43∴直線CE的函數(shù)表達(dá)式為y=43x-8令y=0，得43x-8=0，解得x=6∴點N的坐標(biāo)為(6，0)，∵CN∥PB，∴OPOC=OBON，即-m8=8綜上所述，當(dāng)m的值為-83或-323時4.解析(1)把A(4，0)，B(-1，0)代入y=ax2+bx-4，得16解得a∴拋物線的解析式為y=x2-3x-4.(2)由題意可得C(0，-4)，則OC=4，設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b1，依題意得0=4k+∴直線AC的函數(shù)解析式為y=x-4，設(shè)P(m，m2-3m-4)(0<m<4)，則E(m，m-4)，∴PE=(m-4)-(m2-3m-4)=-m2+4m=-(m-2)2+4，∵-1<0，∴當(dāng)m=2時，PE有最大值，為4，此時P(2，-6).(3)存在.點Q的坐標(biāo)為(2，2)或(6，-2)或(-2，-10).詳解：設(shè)Q(c，n)，①當(dāng)AC、PQ為平行四邊形的對角線時，AC與PQ的中