湘教 八下 數(shù)學(xué) 第1章《直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅱ)》課件

1.2直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅱ)第一章直角三角形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2直角三角形三邊關(guān)系的猜想與驗證勾股定理勾股定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理勾股數(shù)知1－講感悟新知知識點直角三角形三邊關(guān)系的猜想與驗證11.常用證法：驗證直角三角形三邊之間關(guān)系的方法很多，有測量法、幾何證明法等，但最常用的是拼圖法，即通過拼圖構(gòu)造特殊圖形，并根據(jù)拼圖中各部分面積之間的關(guān)系來驗證.感悟新知2.著名證法舉例：知1－講方法圖形證明趙爽“趙爽弦圖”知1－講感悟新知劉徽“青

朱出入

圖”設(shè)大正方形的面積為S，則S=c2.根據(jù)“出入相補，以盈補虛”的原理，有S=a2+b2，所以a2+b2=c2知1－講感悟新知加菲爾德

總統(tǒng)拼圖畢達(dá)哥拉

斯拼圖感悟新知知1－講特別提醒用拼圖法證明直角三角形三邊關(guān)系的思路：(1)將圖形進(jìn)行割補拼接形成特殊圖形，注意割補拼接時圖形之間沒有重疊、沒有空隙；(2)根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性質(zhì)驗證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出表示圖形面積的式子→找出等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)結(jié)論.感悟新知知1－練一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種驗證方法.如圖1.2－1所示，火柴盒的一個側(cè)面ABCD倒下后到四邊形AB′C′D′的位置，連接AC，AC′，CC′，設(shè)AB=a，BC=b，AC=c.請利用四邊形BCC′D′的面積說明勾股定理：

a2+b2=c2.例1知1－練感悟新知

解題秘方：緊扣“總體面積等于各部分面積之和”進(jìn)行證明.知1－練感悟新知詳解Rt△AB′C′是四邊形ABCD中Rt△ABC倒下得到的，因此兩個三角形的形狀、大小相同，所以Rt△ABC≌Rt△AB′C′.知1－練感悟新知整個圖形面積等于不重疊、無空隙的各組成部分的面積的和.

感悟新知知2－講知識點勾股定理21.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形兩直角邊a，b

的平方和，等于斜邊c的平方.即a2+b2=c2.古人稱直角三角形的直角邊中較短的一邊為勾，較長的一邊為股，斜邊為弦，因此這一性質(zhì)被稱為勾股定理.感悟新知知2－講數(shù)學(xué)語言：如圖1.2－2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，則a2+b2=c2.2.勾股定理的變形公式：a2=c2－b2；b2=c2

－a2.知2－講感悟新知特別提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形的三邊的平方關(guān)系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.利用勾股定理，可以在已知直角三角形任意兩邊的長時求出第三邊的長.3.運用勾股定理時，若未確定哪條邊是斜邊，則要分類討論，寫出所有可能，以免漏解或錯解.感悟新知知2－講3.基本思想方法：勾股定理把“形”與“數(shù)”有機地結(jié)合起來，即把直角三角形這一“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，它是數(shù)形結(jié)合思想的典范.感悟新知知2－練例2

在Rt△ABC中,∠A，∠B，∠C

的對邊分別為a，b，c，∠C=90°.解題秘方：利用勾股定理解答.知1－練感悟新知(1)已知a=3，b=4,求c；

知1－練感悟新知(2)已知c=19，a=13，求b（結(jié)果保留根號）.

知1－練感悟新知(3)已知a∶b=1∶2，c=5，求b.

知2－練感悟新知解法提醒分清待求的是斜邊還是直角邊，以便合理選擇是直接用勾股定理還是用勾股定理的變形公式.若求斜邊，則直接用勾股定理；若求直角邊，則用勾股定理的變形公式.感悟新知知2－練[中考·齊齊哈爾]若直角三角形其中兩條邊的長分別為3，4，則該直角三角形斜邊上的高的長為________.例3解題秘方：緊扣“所給的較長邊可能是直角邊或斜邊”進(jìn)行分類解答.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知特別警示當(dāng)題中沒有圖或沒有指明哪條邊長是斜邊長時，需要分類討論，此題容易忽略4是斜邊長的情況.知2－練感悟新知方法直接求直角三角形的邊長時一般借助勾股定理求，但一定要分清楚直角邊和斜邊，若問題沒有明確直角邊和斜邊，則要進(jìn)行分類討論.感悟新知知3－講知識點勾股定理的應(yīng)用31.勾股定理的應(yīng)用范圍：勾股定理是直角三角形的一個重要性質(zhì)，它把直角三角形有一個直角的“形”的特點轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系.利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)的計算和證明問題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實際問題.感悟新知知3－講2.勾股定理的應(yīng)用的常見類型：(1)已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；(2)已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系；(3)證明包含平方(算術(shù)平方根)關(guān)系的幾何問題；(4)求解幾何體表面上的最短路程問題；(5)構(gòu)造方程(或方程組)計算有關(guān)線段長度，解決生產(chǎn)、生活中的實際問題.知3－講感悟新知特別提醒運用勾股定理解決實際問題的一般步驟：(1)從實際問題中抽象出幾何圖形.(2)確定要求的線段所在的直角三角形.(3)找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系并列出等式.(4)求得結(jié)果.知3－練感悟新知

例4

解題秘方：緊扣三角形外角的性質(zhì)及勾股定理解題.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知解法提醒本題通過角的倍數(shù)關(guān)系得到邊的相等關(guān)系，以及利用勾股定理求解.知3－練感悟新知[中考·南通]如圖1.2－4，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔P50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B

處，此時B

處與燈塔P的距離為海里(結(jié)果保留根號)．例5知3－練感悟新知

解題秘方：將實際問題通過建模轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，然后利用勾股定理求解．知3－練感悟新知

知3－練感悟新知方法求三角形的邊或高時，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，用勾股定理來解決問題.感悟新知知4－講知識點勾股定理的逆定理41.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c

滿足關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.感悟新知知4－講2.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟：(1)

“找”：找出三角形三邊中的最長邊.(2)“算”：計算較短兩邊的平方和與最長邊的平方.(3)“判”：若兩者相等，則這個三角形是直角三角形；否則不是.感悟新知知4－講3.勾股定理與其逆定理的關(guān)系：定理勾股定理勾股定理的逆定理區(qū)別(1)勾股定理是以“一個三角

形是直角三角形”為條件，進(jìn)

而得到這個直角三角形三邊長

的關(guān)系，即a2+b2=c2(

c

為斜

邊長)；

(2)勾股定理是根據(jù)直角三角

形探求邊的關(guān)系，體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化(1)勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2”為條件，進(jìn)而得到這個三角形為直角三角形；

(2)勾股定理的逆定理是由三角形的三邊關(guān)系探求三角形的形狀，體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化感悟新知知4－講聯(lián)系勾股定理與勾股定理的逆定理的條件和結(jié)論相反，勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都與直角三角形有關(guān)知4－講感悟新知特別提醒◆勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一個依據(jù)，在判定時不能說“在直角三角形中”“直角邊”“斜邊”，因為還沒有確定是直角三角形.◆a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，滿足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是這時a或b為斜邊.感悟新知知4－練判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC

中，∠A=25°，∠C=65°；(2)在△ABC

中，AC=12，AB=20，BC=16；(3)一個三角形的三邊長a，b，c

滿足a∶b∶c=1∶1∶2.例6

知4－練感悟新知解題秘方：緊扣直角三角形的判定方法解題.解：(1)在△ABC

中，∵∠A+∠C=25°+65°=90°，∴△ABC是直角三角形.知4－練感悟新知(2)在△ABC中，∵AC2+BC2=122+162=202=AB2，∴△ABC是直角三角形.

注意：這個三角形也是等腰三角形知4－練感悟新知方法判斷一個三角形是不是直角三角形的方法：(1)當(dāng)已知條件與角度有關(guān)時，一般通過計算看該三角形中是否有兩個角互余來判斷；(2)當(dāng)已知條件與邊有關(guān)時，一般通過計算看較短兩邊的平方和是否等于最長邊的平方來判斷.感悟新知知5－講知識點勾股數(shù)51.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2

的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).勾股數(shù)必須同時滿足兩個條件：(1)三個數(shù)都是正整數(shù)；(2)兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.勾股數(shù)有無數(shù)組感悟新知知5－講2.判別一組數(shù)是否為勾股數(shù)的一般步驟：(1)“看”：看是不是三個正整數(shù)；

(2)“找”：找最大數(shù)；

(3)“算”：計算最大數(shù)的平方與兩個較小數(shù)的平方和；(4)“判”：若兩者相等，則這三個數(shù)是一組勾股數(shù)；否則，不是一組勾股數(shù).知5－講感悟新知特別提醒一組勾股數(shù)中的各數(shù)都乘相同的倍數(shù)可以得到一組新的勾股數(shù)：如3，4，5是勾股數(shù)，則6，8，10和9，12，15也是勾股數(shù)，即如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc

(n為正整數(shù))也是一組勾股數(shù).感悟新知知5－練下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是()A.6，7，8B.5，8，13C.1.5，2，2.5D.21，28，35例7知5－練感悟新知答案：D解題秘方：緊扣勾股數(shù)必須同時滿足的兩個條件進(jìn)行判斷.解：A.62+72≠82，故不是勾股數(shù)；B.52+82

≠132，故不是勾股數(shù)；C.1.5和2.5不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；D.21，28，35是正整數(shù)，且212+282=352，故是勾股數(shù)