新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題14 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、面積與體積（講）（原卷版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題14空間幾何體的結(jié)構(gòu)、面積與體積（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為SKIPIF1<0，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．272．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ACD；(2)設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時(shí)，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測（1）以幾何體的結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，考查幾何體的面積體積計(jì)算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.（2）與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學(xué)文化”、實(shí)際問題等相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用.（3）幾何體的表面積與體積是主要命題形式.有時(shí)作為解答題的一個(gè)構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時(shí)結(jié)合面積、體積的計(jì)算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想．（4）以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，對命題的真假進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第（1）問，第（2）問則考查幾何體面積、體積的計(jì)算.（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一幾何體的面積計(jì)算【核心知識】圓柱的側(cè)面積圓柱的表面積圓錐的側(cè)面積圓錐的表面積圓臺的側(cè)面積圓臺的表面積球體的表面積柱體、錐體、臺體的側(cè)面積，就是各個(gè)側(cè)面面積之和；表面積是各個(gè)面的面積之和，即側(cè)面積與底面積之和.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個(gè)平面圖形，稱為它的展開圖，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形它的表面積就是展開圖的面積.【典例分析】典例1.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若該四棱臺的體積為SKIPIF1<0，求這個(gè)四棱臺的表面積為（

）A．24 B．44 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.（2021·全國·高考真題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為SKIPIF1<0則該圓錐的側(cè)面積為________.【規(guī)律方法】1.幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．(3)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．2.計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.考向二幾何體的體積計(jì)算【核心知識】圓柱的體積圓錐的體積圓臺的體積球體的體積正方體的體積正方體的體積【典例分析】典例4.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔SKIPIF1<0時(shí)，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0；水位為海拔SKIPIF1<0時(shí)，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0時(shí)，增加的水量約為（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例5.（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個(gè)圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例6.（多選題）（2022秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）正方體SKIPIF1<0的棱長為2,SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中點(diǎn),則（

）A．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0【總結(jié)提升】求空間幾何體體積的常用方法（1）公式法:對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解.（2）割補(bǔ)法:若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.（3）等體積法:一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.當(dāng)一個(gè)幾何體的底面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化法或等積變形法，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.

考向三多面體與球相關(guān)面積、體積計(jì)算【核心知識】(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則SKIPIF1<0；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則SKIPIF1<0.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則SKIPIF1<0.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.【典例分析】典例7.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例8.（2022秋·吉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將△ACD沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且SKIPIF1<0則三棱錐P—ABC外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例9.（2023·全國·模擬預(yù)測）在四棱錐SKIPIF1<0中，ABCD是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．4π B．8π C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【規(guī)律方法】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2．若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．3.幾何體的外接球一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.4.幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.考向四面積、體積計(jì)算的最值、范圍問題【核心知識】圖形中的最大（?。┪恢谩⒒静坏仁健⒑瘮?shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)．【典例分析】典例10.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例11.（2022秋·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）邊長為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個(gè)正四棱錐，則此正四棱錐的外接球的表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例12.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．考向五根據(jù)幾何體的面積、體積確定其它幾何量【核心知識】幾何體結(jié)構(gòu)特征、面積公式、體積公式．【典例分析】典例13.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0典例14.（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）球面幾何中，球面兩點(diǎn)之間最短的距離為經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長，稱為測地線．已知A，B，C是球O球面上的三個(gè)點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則A，B兩點(diǎn)測地線長為（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例15.（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）把一個(gè)三邊均為有理數(shù)的直角三角形面積的數(shù)值稱為同余數(shù)，如果正整數(shù)SKIPIF1<0為同余數(shù)，則稱SKIPIF1<0為整同余數(shù).SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日，SKIPIF1<0年度國家科學(xué)獎勵大會在人民大會堂隆重召開，中國科學(xué)院研究員田剛以“同余數(shù)問題與SKIPIF1<0函數(shù)的算術(shù)”項(xiàng)目榮獲SKIPIF1<0年度國家自然科學(xué)獎二等獎，在同余數(shù)這個(gè)具有千年歷史數(shù)學(xué)中最重要的古老問題上取得突破性進(jìn)展.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面積和體積的數(shù)值之比為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0為整同余數(shù)，則SKIPIF1<0的值可以為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考向六面積、體積計(jì)算中的實(shí)踐與數(shù)學(xué)文化問題【核心知識】數(shù)學(xué)文化問題是近年來高考命題的亮點(diǎn)，此類問題把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)方法結(jié)合起來，可有效考查學(xué)生在新情境中對數(shù)學(xué)文化的鑒賞、對數(shù)學(xué)知識的理解、對數(shù)學(xué)方法的遷移，因此備受命題者青睞.在我國浩瀚的傳統(tǒng)文化中，有豐富的與幾何體有關(guān)的數(shù)學(xué)文化背景知識，故也成為近年高考命題的熱點(diǎn).

【典例分析】典例16.（2023·全國·模擬預(yù)測）何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞的最早文字記載．何尊的形狀可以近似地看作是圓臺與圓柱的組合體，高約為40cm，上口直徑約為28cm，下端圓柱的直徑約為18cm．經(jīng)測量知圓柱的高約為24cm，則估計(jì)該何尊可以裝酒（不計(jì)何尊的厚度，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例17.（2022·湖南湘西·高三統(tǒng)考競賽）蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴?踢?蹋的含義，鞠最早系外包皮革?內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴?蹋?踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則該鞠（球）的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例18.（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中記載了“三角垛”．如圖，某三角垛最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，每個(gè)球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體的體積為SKIPIF1<0，記能將該三角垛完全放入的四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________．【規(guī)律方法】對于數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)生活中所涉及的幾何模型，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，從問題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納，利用立體幾何的有關(guān)知識進(jìn)行解答，最后對實(shí)際問題作出解釋，必要時(shí)要進(jìn)行檢驗(yàn).考向7幾何體截面問題【核心知識】確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個(gè)公理及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．【典例分析】典例19.(2018·全國Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.334B.233典例20.（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)）四面體SKIPIF1<0