2022年高考數(shù)學(xué)（浙江專用）總復(fù)習(xí)教師用書 8章

第八章立體幾何與空間向量

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

最新考綱1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特

征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、

圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用

斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖

與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.

I基礎(chǔ)診配梳理自測，理解記憶

知識梳理

1.簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上、下底面是金笠且平行的多邊形；

(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形:

(3)棱臺可由隹于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.

2.旋轉(zhuǎn)體的形成

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形任一邊所在的直線

圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線

圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線

球半圓直任所在的直線

3.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的亞西方、亞

左方、亞上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)三視圖的畫法

①基本要求：長對正，高平齊,寬相等.

②在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.

4.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜耳測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中X軸、y軸、Z

軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、U軸的夾角為45°(或135°),z，軸與V軸、y軸

所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別必遷坐標(biāo)軸.平行于x軸和z

軸的線段在直觀圖中保持原長度丕變，平行于)，軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵?/p>

來的一半.

診斷自測

1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)用斜二測畫法畫水平放置的NA時，若NA的兩邊分別平行于x軸和y軸，且

NA=90°,則在直觀圖中，/A=45°.()

(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.()

解析(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.

(2)反例：如圖所示不是棱錐.

(3)用斜二測畫法畫水平放置的NA時，把X,)，軸畫成相交成45°

或135。，平行于x軸的線還平行于x軸，平行于y軸的線還平幺二

行于y軸，所以NA也可能為135°.

(4)正方體和球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側(cè)視圖相同，且為等腰三角形,

其俯視圖為圓心和圓.

答案(1)X(2)X(3)x(4)X

2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()

A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱

解析由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形,

而圓柱的正視圖不可能為三角形.

答案A

3.如圖，長方體A3CO-AEC。中被截去一部分，其中方-7.C

四〃A,.剩下的幾何體是()G

A.棱臺B.四棱柱

A

C.五棱柱D.六棱柱

解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.

答案C

4.（2016?天津卷）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,

得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為

)

正視圖

俯視圖

A

解析先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖.曰幾何體的正視圖和

俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)視圖為圖②.

答案B

5.正AAOB的邊長為小建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy,則它

的直觀圖的面積是.

解析畫出坐標(biāo)系voy,作出△04B的直觀圖。女夕（如圖）.0

為O7V的中點.易知DE=3DB（D為04的中點），

：.S^0AB=9率3=乎乂(〃2=粗

答案將

6.（2017?浙江五校聯(lián)考）如圖，正方體ABCO-Ai跟GDi的棱長為

D,G

4,P為3c的中點，Q為線段CG上的動點（異于C點），過點A,

P,Q的平面截該正方體所得的截面記為M.

當(dāng)CQ=時（用數(shù)值表示），M為等腰梯形；

當(dāng)CQ=4時，M的面積為.

解析連接4尸交。。的延長線于點N,當(dāng)點Q為CG的中點，即CQ=2時，連

接DiN,則DiN過點Q,PQ統(tǒng)ADi,顯然AP=DQ,M為等腰梯形；當(dāng)。。=4

時，NQ交棱。Di延長線上一點（設(shè)為G）,且GA=4,4G過的中點，此時

M為菱形，其對角線長分別為4/和4啦，故其面積為8#.

答案28^6

|考點突破分類講練，以例求法

考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【例1】（1）給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

（2）以下命題：

①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；

②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；

③一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.OB.lC.2D.3

解析（1）①不一定，只有當(dāng)這兩點的連線平行于軸時才是母線；②

不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所A41J

圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾

何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，"

各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.

（2）由圓臺的定義可知①錯誤，②正確.對于命題③，只有平行亍圓錐底面的平面截

圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，③不正確.

答案（1）A（2）B

規(guī)律方法（1）關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概

念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一

個反例即可.

（2）圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中

各元素的關(guān)系.

（3）既然棱（圓）臺是由棱（圓）錐定義的，所以在解決棱（圓）臺問題時，要注意“還臺

為錐”的解題策略.

【訓(xùn)練1】下列結(jié)論正確的是（）

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體

C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

解析如圖1知，A不正確.如圖2,兩個平行平面與底面不立行時，截得的幾何

體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確.

圖1圖2

若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六

邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯誤.由母線的概念知，選項D正確.

答案D

考點二空間幾何體的三視圖（多維探究）

命題角度一由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖

【例2一1】一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）

I俯視

mBBn

ABCD

解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且

五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影

距左右兩邊距離相等，因此選項B適合.

答案B

命題角度二由三視圖判定幾何體

【例2—2】（1）（2014?全國I豢）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正

方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是

（）

A.三棱錐B.三棱柱

C.四棱錐D.四棱柱

⑵（2015.北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）

A.lB.^2C幣D.2

解析（1）由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該

幾何體為三棱柱，故選B.

⑵由題中三視圖知，此四棱隹的直觀圖如圖所示，其中PC，平

?ABCD,PC=1,底面四邊形ABCD為正方形且邊長為1,最長'

棱長如=針+12+]2=小"C

答案(1)B(2)C

規(guī)律萬法（1）由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側(cè)一樣高，正俯一

樣長，俯側(cè)一樣寬”的特點確認(rèn).

（2）根據(jù)三視圖還原幾何體.

①對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉.

②明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.

③根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)

系及相關(guān)數(shù)據(jù).

提醒對于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要

注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的

位置，區(qū)分好實線和虛線的不同.

【訓(xùn)練2]⑴將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，

則該幾何體的側(cè)視圖為（）

（2）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個錐體的側(cè)視圖和俯視

圖，則該錐體的正視圖可能是（）

cD

解析（1）還原正方體后，將。I,D,4三點分別向正方體右側(cè)面作垂線，AA的

射影為且為實線，被遮擋應(yīng)為虛線.故選B.

（2）由俯視圖和側(cè)視圖可知原幾何體是四棱錐，底面是長方形，內(nèi)側(cè)的側(cè)面垂直于

底面，所以正視圖為A.

答案（1）B（2）A

考點三空間幾何體的直觀圖

【例3】已知等腰梯形ABCQ,上底CD=1,腰4。=。5=啦，下底AB=3,以

下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為.

解析如圖所示，作出等腰梯形ABCO的直觀圖：

因為OE=N（啦）2-1=1,

所以O(shè)'E=*E'/=乎，

則直觀圖夕的面積3=與乂乎=乎.

答案坐

規(guī)律方法（1）畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”（兩坐

標(biāo)軸成45°或135°）和“二測”（平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z

軸的線段長度不變）來掌握.對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀

圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.

⑵按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S

一男

直風(fēng)田―AD&困附.

【訓(xùn)練3】（2017?余姚一中檢測）有一塊多邊形的菜地，它的水

平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），Z

ABC=45°,AB=AD=\tDCLBC,則這塊菜地的面積為

解析如圖1,在直觀圖中，過點A作AEJ_3C,垂足為E.

J2

在RtZkABE中，A8=l,NABE=45°,

又四邊形AEC。為矩形，AD=EC=i.

???8C=BE+￡C=^+1.

由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形46CO.

在梯形4BC。中，A'D'=1,B'C=坐+1,A'B'=2.

???這塊菜地的面積S=/vZ7+Be)?A5=：x(l+1+乎)X2=2+坐

答案2+乎

課堂總結(jié)

［思想方法］

1.畫三視圖的三個原則：

⑴畫法規(guī)則：“長對正，寬相等，高平齊”.

⑵擺放規(guī)則：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的正下方.

(3)實虛線的畫法規(guī)則：可見輪廓線和棱用實線畫出，不可見線和棱用虛線畫出.

2.棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，

所以在解決棱臺和圓臺的相關(guān)問題時，?！斑€臺為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

［易錯防范］

1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一

點.

2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.

3.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在

三視圖中，易忽視實虛線的畫法.

課時作業(yè)分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時：30分鐘）

一、選擇題

1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱錐的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺的側(cè)棱長都相等

解析根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等.

答案B

2.如圖所示的幾何體是棱柱的有（）

①②③④⑤

A.②③⑤B.③④⑤

C.③⑤D.??

解析由棱柱的定義知③⑤兩個幾何體是棱柱.

答案C

3.（2017,衡水中學(xué)月考）將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該

幾何體的側(cè)視圖為（）

解析易知側(cè)視圖的投影面為矩形，又A尸的投影線為虛線，即為左下角到右上

角的對角線，，該幾何體的側(cè)視圖為選項D.

答案D

4.如圖是一兒何體的直觀圖、正視圖和俯視圖，該幾何體的側(cè)視圖為（）

解析由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側(cè)視圖應(yīng)為面以，且EC

投影在面以D上且為實線，點E的投影點為心的中點，故B正確.

答案B

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面

體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

A.6^2B.4-V2

C.6D.4

解析如圖，設(shè)輔助正方體的棱長為4,三視圖對應(yīng)的多面體為三

棱錐4—8CD,最長的棱為（4色）2+22=6.

答案C

6.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個圖中可以作

為該幾何體的俯視圖的是（）

①④

A.①③B.①④C.②④D.①②③④

解析由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體,

故①③正確.

答案A

7.（2015?全國II卷）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分

的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

1

AIDD?7

l俯視圖

C6D-5

解析由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”

后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐.設(shè)正方體的棱長為

1,則三棱錐的體積為Vi=；xJxiXlXl=：.剩余部分的體積V>=13

32o

一!=|.因此,V1=1

V2~5'

答案D

8.（2017?東陽調(diào)研）一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖

可能為（）

解析由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面AC。，平面BCD

所以該三棱錐的側(cè)視圖可能為選項D.

答案D

二、填空題

9.（2017?臺州調(diào)研）直觀圖（如圖）中，四邊形0,49。為菱形且邊/>'

長為2cm,則在xOy原坐標(biāo)系中四邊形為_______（填圖形形

狀）；面積為cm2.卜X一；

解析將直觀圖恢復(fù)到平面圖形（如圖），4段3

是OA=2cm,OC=4cm的矩形，SOABC=2X4=8（cm2）.

答案矩形8d―2^

10.（2017?蘭州模擬）已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個面積|

為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為啦的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于

解析由題知此正方體的正視圖與側(cè)視圖是一樣的，正視圖的面積與側(cè)視圖的面

積相等為也.

答案y[2

11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為

12->||-H

正視圖忖視圖

L十.

▽

俯視圖

解析由題中三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖所示，其中

%J_平面ABC,M為AC的中點，且3M_LAC.故該二棱錐的

最長棱為PC.在RtABAC中，PC=N^2+AC2=72?+22=2Vl

答案2^2

12.如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，點P是上底面

AiBiCiDi內(nèi)一動點，則三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖的

面積的比值為.

解析三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖為底邊和高均相等

的三角形，故它們的面積相等，面積比值為1.

答案1

13.(2017?金華調(diào)研)在三棱錐P—ABC中，PB=6,AC=3,G為的重心，

過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于直線PB和AC.則截面的周長為

解析過點G作E尸〃AC交出,PC于點E,F,過E,尸分別

作EN//PB,分別交A5,BC于點、N,M,連接MN,，

EF2FM

四邊形EFWN是平行四邊形，???一丁=不，即EF=MN=2,萬元=

53CD

EM1

二-=?即FM=EN=2,，截面的周長為2X4=8.

oJ

答案8

能力提升題組

(建議用時：15分鐘)

14.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—X”中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0,0,

2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號①②③?的四個圖，則該四面體

的正視圖和俯視圖分別為()

A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②

解析如圖，在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個點，根據(jù)三視圖的面圖規(guī)則判斷三棱錐

的正視圖為④，俯視圖為②.

答案D

15.如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個頂點間距離的最大值是

()

A.4B.5C.3啦D.3小

解析由三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示，計算可知線段AF\―—P

最長，且AF=y/BF2+AB2=343\、

答案D5治?支?@

16.（2017?紹興一中檢測）已知AABC的平面直觀圖△從，夕C是邊長c

為〃的正三角形，那么原△A3C的面積為.

CD=\[6a.

故S^ABC=2^B?CD=2次.

答案將

17.（2016.北京卷）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為

俯視圖

解析由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體，—?

將該幾何體還原到長方體中，如圖所示，該幾何體為四棱柱DX_；一k；

ABCD—A'B'CD'.i""R\/

13/2C'

故該四棱柱的體積V=S/z=zX(l+2)X1x1=5.

3

答案I

18.(2017?寧波檢測)正六棱柱ABCDEF-A\B\C\D\E\F\的底面邊長為啦，側(cè)棱長為

1,則動點從A沿表面移動到Ei時的最短路程是；動點從A沿表面移動

到"時的最短路程為.

解析側(cè)面展開圖如圖(1),(2),???從A沿表面到Ei的最短路

程為AEi=\(AE)2+(EEI)?='(252+1=3.從A沿表面到Di的最短路

程為ADT=7(A。)2+(DDi)(3業(yè)2+1=梅

AFEABCD

(1)(2)

答案34歷

第2講空間幾何體的表面積與體積

最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

I基fit慘斷I梳理自測，理解記憶

知識梳理

1.多面體的表(側(cè))面積

多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積

是側(cè)面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

尸------；,八

側(cè)面展開圖孱翻，

側(cè)面積公式Sia柱側(cè)=2/HS31rlS13臺側(cè)=旦（上1±

3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S發(fā)面積=S側(cè)+2s聯(lián)V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面枳=S他+底

SV=-3S-h

V=/（Si.+5下+y/S上S下）h

臺體（棱臺和圓臺）S表面枳=S側(cè)+S上+SF

球S=4nR2V號-R3

診斷自測

1.判斷正誤（在括號內(nèi)打“J”或“X”）

⑴錐體的體積等于底面面積與高之積.（）

⑵球的體積之比等于半徑比的平方.（）

（3）臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.（）

（4）已知球。的半徑為H,其內(nèi)接正方體的邊長為小則/?=格.（）

4

解析（1）錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.

（2）球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.

答案（1）X（2）X（3）V（4）V

2.已知圓錐的表面積等于12兀cm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑

為（）

3

A.lcmB.2cmC.3cmD.gcm

解析S表=n產(chǎn)+冗H=n戶+nr?2r=3五產(chǎn)=12冗，.*.r2=4,/.r=2（cm）.

答案B

3.（2017.紹興一中月考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

）

□正視圖側(cè)□覘圖

俯視圖

A.3兀B.4nC.2n+4D.3n+4

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示.

表面積為2X2+2X^XnXl2+JiXlX2=4+3n.

答案D

4.（201)6?全國H卷）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

「

A.12n32

C.8兀D.4n

解析設(shè)正方體的棱長為m則〃=8,解得。=2.設(shè)球的半徑為R,貝U2R=W。,

即/?=小.所以球的表面積S=4nR2=i2n.

答案A

5.（2016?天津卷）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所

示（單位：m）,則該四棱錐的體積為n?.

俯視圖

解析根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2m,高為1m的平行四邊形,

四棱錐的高為3m.

故該四棱錐的體積V=|x2XlX3=2（m3）.

答案2

6.（2016?浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,貝！Jt十t十

該幾何體的表面積是_______cm2,體積是________cm3.r—APCL

]2

解析由三視圖可知，該幾何體為兩個相同長方體組合，長Fib

方體的長、寬、高分別為4cm、2cm、2cm,其直觀圖如下：

其體積V=2X2X2X4=32（cm3）,由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正

方形，所以表面積為S=2(2X2X2+2X4X4)—2X2X2=2X(8+32)—8=

72(cm2).

答案7232

|考點突破分類講練，以例求法

考點一空間幾何體的表面積

【例1】（1）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.8+2吸B.11+2^2

014+272D.15

（2）（2016?全國I卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓

2gn

及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是了,則它

的表面積是（）

A.17nB.18n

C.20nD.28n

解析(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面

為直角梯形，如圖所示.

直角梯形斜腰長為炳甲=、伍所以底面周長為4+也，側(cè)面

積為2X(4+也)=8+2啦，兩底面的面積和為2X；X1*(1+

2)=3.

所以該幾何體的表面積為8+2啦+3=11+2啦.

(2)由三視圖知該幾何體為球去掉了看球所剩的幾何體(如圖).

O

設(shè)球的半徑為H,

28

74五

-X-

83R=2.

73

故幾何體的表面積S=dX4兀R2+]JIR2=17Ji.

o4

答案(1)B(2)A

規(guī)律方法空間幾何體表面積的求法.

(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元

素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

【訓(xùn)練1】(2016?全國III卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫

出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()

A.18+36V5B.54+18小

C.90D.81

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體.

由題意可知該幾何體底面邊長為3,高為6,所以側(cè)棱長為嚴(yán)由=34.故該幾

何體的表面積S=32X2+（3X6）X2+（3X3?。2=54+18小.

答案B

考點二空間幾何體的體積

【例2】（1）（2016?山東卷）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.

則該幾何體的體積為（）

1,2-1?小

A.g+釬B3+371

段+乎11D.l+平兀

joo

（2）（2016?浙江卷）如圖，在△ABC中，A8=8C=2,NA8C=12（T.

若平面ABC外的點尸和線段AC上的點O,滿足尸O=ZM,PB

=BA,則四面體258的體積的最大值是.八

解析（1）由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1,高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖

可得半球半徑為坐，從而該幾何體的體積為卜12乂1+卜蕓X圉="坐

(2)設(shè)PD=DA=x,

在△ABC中，AB=BC=2,ZABC=120°,

：.AC=yjAB2-hBC2-2ABBCcosZABC

=44+4—2X2X2Xcos120°=2小,

：.CD=2yl3-x,且NACB=/180°-120°)=30°,

/.SABCD=^BC?OCXsinNACB=/x2X(2小一彳)乂^=/2小一x).

要使四面體體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點尸到平面8CO的距離最大，而尸到平面8CO

的最大距離為X.

則聯(lián)體皿=卜，(2S一切=/一(工一小)2+3],由于04〈2S,故當(dāng)產(chǎn)木時,

丫四面體P5CD的最大值為\x3=,

答案(1)C(24

規(guī)律方法空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公

式進行求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補

形法等方法進行求解.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后

根據(jù)條件求解.

【訓(xùn)練2】(1)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在

的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()

A.B.C.2啦nD.4啦兀

(2)(2015?浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積

是cm3.

俯視圖

解析（1）繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面

圍成的幾何體為兩個底面重合，等體積的圓錐的組合體，如圖所示.

每一個圓錐的底面半徑和高都為啦，故所求幾何體的體積V=2x|

I

「4啦n

X2n義取=弋—.

⑵由三視圖可知該幾何體是由棱長為2cm的正方體與底面邊長為2cm正方形、

高為2cm的正四棱錐組成.

又正方體的體積Vi=23=8（cm3）,

1Q

正四棱錐的體積V2=QX22X2=?（cm3）.

32

所以該幾何體的體積V=V\+

32

答案（1）B⑵4

考點三多面體與球的切、接問題（典例遷移）

【例3】（經(jīng)典母題）（2016?全國HI卷）在封閉的直三棱柱ABC—48C內(nèi)有一個體

積為V的球.若AB_L8C,AB=6fBC=8,A4i=3,則V的最大值是（）

9n32n

A.4nB.^-C.6nD.~

解析由AB_L8C,AB=6,BC=8,得AC=10.

要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設(shè)

底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.

則3乂6義8=3乂（6+8+10>/，所以/=2.

2r=4>3,不合題意.

球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑H最大.

3

即R=-

由2R=3,2

4Q

故球的最大體積R3=]n.

答案B

【遷移探究1】若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵?8C-4BG的6個頂點都在球

。的球面上"，若AB=3,AC=4,ABA.AC,A4=12,求球。的表面積.

解將直三棱柱補形為長方體ABEC—

則球0是長方體ABEC-A\BiEiC\的外接球.

?,?體對角線BCi的長為球0的直徑.

因此29=^32+42+122=13.

故S球=4幾片=］69冗.

【遷移探究2】若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球。的球面上”，若

該棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的體積.

解如圖，設(shè)球心為0,半徑為八

E

則在RtZXA。尸中，（4一廠產(chǎn)+（爪）2=戶，

解得T，

44243n

則球0的體積V球/=］冗=［6.

規(guī)律方法空間幾何體與球接、切問題的求解方法.

（1）與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作

它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切

點”、“按點”作出截面圖，.把空間問題化歸為平面問題.

（2）若球面上四點P,4,B,。中附，PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩

垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.

課堂總結(jié)

［思想方法］

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想：計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將

側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開

圖的形狀及平面圖形面積的求法.

2.求體積的兩種方法：（1）割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)

化成已知體積公式的幾何體進行解決.（2）等積法：等積法包括等面積法和等體積法.

等體積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利

用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高.

［易錯防范］

1.求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的

結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤.

3.底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防

出錯.

課時作業(yè)分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時：40分鐘）

一、選擇題

1.（2015?全國I卷）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)令

名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五I

尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如

圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米

堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62

立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）

A.14斛B.22斛

C.36斛D.66斛

解析設(shè)米堆的底面半徑為廠尺，則gv=8,所以〃=￥.

ZJI

（、2

所以米堆的體積為V=1X|JT?3?5=今（差）?5屋式立方尺）.

故堆放的米約有甲+1.62-22（斛）.

答案B

2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是

（）

9

2民-

A.2

解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，ES底=/（l+2）X2=

3.，丫=gx?3=3,解得x=3.

答案D

3.（2017.寧波十校聯(lián)考）一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是

A.1+SB.2+S01+2^2D.2^/2

解析四面體的直觀圖如圖所示.

側(cè)面S4C_L底面ABC,且△SAC與△ABC均為腰長是也的等

腰直角三角形，SA=SC=AB=BC=?AC=2.

設(shè)AC的中點為。，連接S。，B0,則S0J_AC,又SOu平面

SAC,平面SACA平面A8C=AC,

???SO_L平面A8C,又80u平面ABC,：.SO±BO.

又OS=OB=1,：.SB=也

故△SAB與△SBC均是邊長為6的正三角形，故該四面體的表面積為2xg義啦X

啦+2X^X（啦）2=2+小.

答案B

4.（2015?全國11卷）已知4,8是球。的球面上兩點，ZAOB=90°,C為該球面上

的動點.若三棱錐O—ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36nB.64nC.144nD.256兀

解析因為aAOB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時，三棱錐。一

ABC的體積取得最大值.由（X；R2XR=36,得R=6.從而球0的表面積S=4nR2

=144兀.

答案C

5.（2017?青島模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四

邊形，NB=2PN,則三棱錐N—與三棱錐。一出C的體積比

為（）

A.1：2B.1：8

C.1：6D.1：3

解析設(shè)點P,N在平面A8CD內(nèi)的投影分別為點P,N',則PP_L平面48CD,

NN'2

NN'_L平面ABCQ,所以PP〃NN,則在ABP產(chǎn)中，由BN=2PN得正一=%

LX。

V^^N-PAC-V三校注P-A8C-V三檢粒-PP'~

|SA4BC?NN'=GS/SRC?（PP-NN?=gs八ABC?

此史P,噎轍點。=嗅”小=露46中尸'，又???四邊形四。。

是平行四邊形，???SAABC=S"CD,??..-c=］故選D.

V^^D-PAC3

答案D

二、填空題

6.（2016?浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是

cm2,體積是cm3.

俯視圖

解析由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而

成，上面正方體的邊長為2cm,下面長方體是底面邊長為4cm,

高為2cm,其直觀圖如右圖：其表面積5=6X22+2X42+4X2X4

-2X22=80(cm2).體積V=2X2X2+4X4X2=40(cm3).

答案8040

7.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為戲的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該

球的體積為.

解析依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R,則

2/?=業(yè)2+12+(色)2=2,

解得R=l,所以曠=4亍n/?3_=亍4n.

答案上

8.(2017?沏州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

表面積為.

禽視圖

解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1,高為2

的圓柱和底面半徑為1,高為1的半圓錐拼成的組合體.??.體積

V=nX12X2+TX^nX12XI=^-n；半圓錐母線/=啦,S

表=Xl2+2JiX1X2+3JiX12+2HX1X也+；X2X1=Ji+1.

K"，也

答案畀

三、解答題

9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.

便視圖

⑴求此幾何體的表面積;

（2）如果點P,。在正視圖中所示位置，尸為所在線段中點，。為頂點，求在幾何

體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長.

解（1）由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表面積是

圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和.

S網(wǎng)籍產(chǎn)；（2Ji。）?（啦。）=啦n

SEsitfli—（2兀。＞（2。）=4n

S圓柱底=na，

所以S衣=爽口。2+4H。2+冗*=（6+5）na2.

（2）沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖.

----------iC

A1-----

22

則PQ—y/AP-hAQ—4/+（JI〃）2—周i+n2,

所以從P點到。點在側(cè)面上的最短路徑的長為小衣.

10.（2015?全國II卷）如圖，長方體5BC國一4BC1D1中，AB=16,

BC=10,A4=8,點E,尸分別在AiS,DiCi±,A\E=D\F

=4.過點E,尸的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正

方形.

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

⑵求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

解（1）交線圍成的正方形尸如圖所示.

（2）如圖，作垂足為M,則AM=4E=4,EBi=12,EM=AAi=S.

因為四邊形EHG尸為正方形，所以￡//=七/=3。=1（）.

于是MH=7EH2-EM2=6,AH=WfHB=6.

故S四邊形（4+10）X8=56,

S四邊形EBi8”=gx（12+6）X8=72.

因為長方體被平面a分成兩個高為10的直棱柱，

所以其體積的比值為翡也正確）

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

11.若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為多則該

幾何體的俯視圖可以是（）

解析若俯視圖為A,則該幾何體為正方體，其體積為1,不滿足條件.若俯視圖

為B,則該幾何體為圓柱，其體積為兀（，2乂1=亍，不滿足條件.若俯視圖為C,

則該幾何體為三棱柱，其體積為gxiXlXl=￡,滿足條件.若俯視圖為D,則該

幾何體為圓柱的"，體積為"nXl=:",不滿足條件.

答案c

12.（2017?麗水調(diào)研）在三棱錐尸一48c中，附，平面ABC,AC1BC,。為側(cè)棱PC

上的一點，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是（）

B.BO_L平面B4C且三棱錐D-ABC的體積為§

C.AO_L平面PBC且三棱錐D-ABC的體積為號

D.BO_L平面%C且三棱錐D-A