2022年高考數(shù)學(xué)（浙江專用）總復(fù)習(xí)教師用書 8章

第八章立體幾何與空間向量

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

最新考綱1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特

征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、

圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用

斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會(huì)用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖

與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.

I基礎(chǔ)診配梳理自測，理解記憶

知識(shí)梳理

1.簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上、下底面是金笠且平行的多邊形；

(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形:

(3)棱臺(tái)可由隹于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.

2.旋轉(zhuǎn)體的形成

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形任一邊所在的直線

圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線

圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線

球半圓直任所在的直線

3.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的亞西方、亞

左方、亞上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)三視圖的畫法

①基本要求：長對正，高平齊,寬相等.

②在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.

4.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜耳測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中X軸、y軸、Z

軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、U軸的夾角為45°(或135°),z，軸與V軸、y軸

所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別必遷坐標(biāo)軸.平行于x軸和z

軸的線段在直觀圖中保持原長度丕變，平行于)，軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵?/p>

來的一半.

診斷自測

1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)用斜二測畫法畫水平放置的NA時(shí)，若NA的兩邊分別平行于x軸和y軸，且

NA=90°,則在直觀圖中，/A=45°.()

(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.()

解析(1)反例：由兩個(gè)平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.

(2)反例：如圖所示不是棱錐.

(3)用斜二測畫法畫水平放置的NA時(shí)，把X,)，軸畫成相交成45°

或135。，平行于x軸的線還平行于x軸，平行于y軸的線還平幺二

行于y軸，所以NA也可能為135°.

(4)正方體和球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側(cè)視圖相同，且為等腰三角形,

其俯視圖為圓心和圓.

答案(1)X(2)X(3)x(4)X

2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()

A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱

解析由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形,

而圓柱的正視圖不可能為三角形.

答案A

3.如圖，長方體A3CO-AEC。中被截去一部分，其中方-7.C

四〃A,.剩下的幾何體是()G

A.棱臺(tái)B.四棱柱

A

C.五棱柱D.六棱柱

解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.

答案C

4.（2016?天津卷）將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐,

得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為

)

正視圖

俯視圖

A

解析先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖.曰幾何體的正視圖和

俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)視圖為圖②.

答案B

5.正AAOB的邊長為小建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy,則它

的直觀圖的面積是.

解析畫出坐標(biāo)系voy,作出△04B的直觀圖。女夕（如圖）.0

為O7V的中點(diǎn).易知DE=3DB（D為04的中點(diǎn)），

：.S^0AB=9率3=乎乂(〃2=粗

答案將

6.（2017?浙江五校聯(lián)考）如圖，正方體ABCO-Ai跟GDi的棱長為

D,G

4,P為3c的中點(diǎn)，Q為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)（異于C點(diǎn)），過點(diǎn)A,

P,Q的平面截該正方體所得的截面記為M.

當(dāng)CQ=時(shí)（用數(shù)值表示），M為等腰梯形；

當(dāng)CQ=4時(shí)，M的面積為.

解析連接4尸交。。的延長線于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)Q為CG的中點(diǎn)，即CQ=2時(shí)，連

接DiN,則DiN過點(diǎn)Q,PQ統(tǒng)ADi,顯然AP=DQ,M為等腰梯形；當(dāng)。。=4

時(shí)，NQ交棱。Di延長線上一點(diǎn)（設(shè)為G）,且GA=4,4G過的中點(diǎn)，此時(shí)

M為菱形，其對角線長分別為4/和4啦，故其面積為8#.

答案28^6

|考點(diǎn)突破分類講練，以例求法

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【例1】（1）給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

（2）以下命題：

①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；

②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；

③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.lC.2D.3

解析（1）①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②

不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所A41J

圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾

何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，"

各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.

（2）由圓臺(tái)的定義可知①錯(cuò)誤，②正確.對于命題③，只有平行亍圓錐底面的平面截

圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，③不正確.

答案（1）A（2）B

規(guī)律方法（1）關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概

念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一

個(gè)反例即可.

（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中

各元素的關(guān)系.

（3）既然棱（圓）臺(tái)是由棱（圓）錐定義的，所以在解決棱（圓）臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)

為錐”的解題策略.

【訓(xùn)練1】下列結(jié)論正確的是（）

A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線

解析如圖1知，A不正確.如圖2,兩個(gè)平行平面與底面不立行時(shí)，截得的幾何

體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確.

圖1圖2

若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六

邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯(cuò)誤.由母線的概念知，選項(xiàng)D正確.

答案D

考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖（多維探究）

命題角度一由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖

【例2一1】一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（）

I俯視

mBBn

ABCD

解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長方體，且

五面體的一個(gè)面即為長方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影

距左右兩邊距離相等，因此選項(xiàng)B適合.

答案B

命題角度二由三視圖判定幾何體

【例2—2】（1）（2014?全國I豢）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正

方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是

（）

A.三棱錐B.三棱柱

C.四棱錐D.四棱柱

⑵（2015.北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）

A.lB.^2C幣D.2

解析（1）由題知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形，經(jīng)分析可知該

幾何體為三棱柱，故選B.

⑵由題中三視圖知，此四棱隹的直觀圖如圖所示，其中PC，平

?ABCD,PC=1,底面四邊形ABCD為正方形且邊長為1,最長'

棱長如=針+12+]2=小"C

答案(1)B(2)C

規(guī)律萬法（1）由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側(cè)一樣高，正俯一

樣長，俯側(cè)一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn).

（2）根據(jù)三視圖還原幾何體.

①對柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉.

②明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.

③根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)

系及相關(guān)數(shù)據(jù).

提醒對于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要

注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的

位置，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同.

【訓(xùn)練2]⑴將正方體（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，

則該幾何體的側(cè)視圖為（）

（2）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)錐體的側(cè)視圖和俯視

圖，則該錐體的正視圖可能是（）

cD

解析（1）還原正方體后，將。I,D,4三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，AA的

射影為且為實(shí)線，被遮擋應(yīng)為虛線.故選B.

（2）由俯視圖和側(cè)視圖可知原幾何體是四棱錐，底面是長方形，內(nèi)側(cè)的側(cè)面垂直于

底面，所以正視圖為A.

答案（1）B（2）A

考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖

【例3】已知等腰梯形ABCQ,上底CD=1,腰4。=。5=啦，下底AB=3,以

下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為.

解析如圖所示，作出等腰梯形ABCO的直觀圖：

因?yàn)镺E=N（啦）2-1=1,

所以O(shè)'E=*E'/=乎，

則直觀圖夕的面積3=與乂乎=乎.

答案坐

規(guī)律方法（1）畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”（兩坐

標(biāo)軸成45°或135°）和“二測”（平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z

軸的線段長度不變）來掌握.對直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀

圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.

⑵按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S

一男

直風(fēng)田―AD&困附.

【訓(xùn)練3】（2017?余姚一中檢測）有一塊多邊形的菜地，它的水

平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），Z

ABC=45°,AB=AD=\tDCLBC,則這塊菜地的面積為

解析如圖1,在直觀圖中，過點(diǎn)A作AEJ_3C,垂足為E.

J2

在RtZkABE中，A8=l,NABE=45°,

又四邊形AEC。為矩形，AD=EC=i.

???8C=BE+￡C=^+1.

由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形46CO.

在梯形4BC。中，A'D'=1,B'C=坐+1,A'B'=2.

???這塊菜地的面積S=/vZ7+Be)?A5=：x(l+1+乎)X2=2+坐

答案2+乎

課堂總結(jié)

［思想方法］

1.畫三視圖的三個(gè)原則：

⑴畫法規(guī)則：“長對正，寬相等，高平齊”.

⑵擺放規(guī)則：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的正下方.

(3)實(shí)虛線的畫法規(guī)則：可見輪廓線和棱用實(shí)線畫出，不可見線和棱用虛線畫出.

2.棱臺(tái)和圓臺(tái)是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，

所以在解決棱臺(tái)和圓臺(tái)的相關(guān)問題時(shí)，?！斑€臺(tái)為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

［易錯(cuò)防范］

1.臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一

點(diǎn).

2.空間幾何體不同放置時(shí)其三視圖不一定相同.

3.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在

三視圖中，易忽視實(shí)虛線的畫法.

課時(shí)作業(yè)分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時(shí)：30分鐘）

一、選擇題

1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱錐的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長都相等

解析根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等.

答案B

2.如圖所示的幾何體是棱柱的有（）

①②③④⑤

A.②③⑤B.③④⑤

C.③⑤D.??

解析由棱柱的定義知③⑤兩個(gè)幾何體是棱柱.

答案C

3.（2017,衡水中學(xué)月考）將長方體截去一個(gè)四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該

幾何體的側(cè)視圖為（）

解析易知側(cè)視圖的投影面為矩形，又A尸的投影線為虛線，即為左下角到右上

角的對角線，，該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)D.

答案D

4.如圖是一兒何體的直觀圖、正視圖和俯視圖，該幾何體的側(cè)視圖為（）

解析由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側(cè)視圖應(yīng)為面以，且EC

投影在面以D上且為實(shí)線，點(diǎn)E的投影點(diǎn)為心的中點(diǎn)，故B正確.

答案B

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面

體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

A.6^2B.4-V2

C.6D.4

解析如圖，設(shè)輔助正方體的棱長為4,三視圖對應(yīng)的多面體為三

棱錐4—8CD,最長的棱為（4色）2+22=6.

答案C

6.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個(gè)圖中可以作

為該幾何體的俯視圖的是（）

①④

A.①③B.①④C.②④D.①②③④

解析由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體,

故①③正確.

答案A

7.（2015?全國II卷）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分

的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

1

AIDD?7

l俯視圖

C6D-5

解析由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”

后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐.設(shè)正方體的棱長為

1,則三棱錐的體積為Vi=；xJxiXlXl=：.剩余部分的體積V>=13

32o

一!=|.因此,V1=1

V2~5'

答案D

8.（2017?東陽調(diào)研）一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖

可能為（）

解析由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面AC。，平面BCD

所以該三棱錐的側(cè)視圖可能為選項(xiàng)D.

答案D

二、填空題

9.（2017?臺(tái)州調(diào)研）直觀圖（如圖）中，四邊形0,49。為菱形且邊/>'

長為2cm,則在xOy原坐標(biāo)系中四邊形為_______（填圖形形

狀）；面積為cm2.卜X一；

解析將直觀圖恢復(fù)到平面圖形（如圖），4段3

是OA=2cm,OC=4cm的矩形，SOABC=2X4=8（cm2）.

答案矩形8d―2^

10.（2017?蘭州模擬）已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個(gè)面積|

為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為啦的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于

解析由題知此正方體的正視圖與側(cè)視圖是一樣的，正視圖的面積與側(cè)視圖的面

積相等為也.

答案y[2

11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為

12->||-H

正視圖忖視圖

L十.

▽

俯視圖

解析由題中三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖所示，其中

%J_平面ABC,M為AC的中點(diǎn)，且3M_LAC.故該二棱錐的

最長棱為PC.在RtABAC中，PC=N^2+AC2=72?+22=2Vl

答案2^2

12.如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)P是上底面

AiBiCiDi內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖的

面積的比值為.

解析三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖為底邊和高均相等

的三角形，故它們的面積相等，面積比值為1.

答案1

13.(2017?金華調(diào)研)在三棱錐P—ABC中，PB=6,AC=3,G為的重心，

過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC.則截面的周長為

解析過點(diǎn)G作E尸〃AC交出,PC于點(diǎn)E,F,過E,尸分別

作EN//PB,分別交A5,BC于點(diǎn)、N,M,連接MN,，

EF2FM

四邊形EFWN是平行四邊形，???一丁=不，即EF=MN=2,萬元=

53CD

EM1

二-=?即FM=EN=2,，截面的周長為2X4=8.

oJ

答案8

能力提升題組

(建議用時(shí)：15分鐘)

14.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—X”中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,

2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號①②③?的四個(gè)圖，則該四面體

的正視圖和俯視圖分別為()

A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②

解析如圖，在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的面圖規(guī)則判斷三棱錐

的正視圖為④，俯視圖為②.

答案D

15.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值是

()

A.4B.5C.3啦D.3小

解析由三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示，計(jì)算可知線段AF\―—P

最長，且AF=y/BF2+AB2=343\、

答案D5治?支?@

16.（2017?紹興一中檢測）已知AABC的平面直觀圖△從，夕C是邊長c

為〃的正三角形，那么原△A3C的面積為.

CD=\[6a.

故S^ABC=2^B?CD=2次.

答案將

17.（2016.北京卷）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為

俯視圖

解析由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體，—?

將該幾何體還原到長方體中，如圖所示，該幾何體為四棱柱DX_；一k；

ABCD—A'B'CD'.i""R\/

13/2C'

故該四棱柱的體積V=S/z=zX(l+2)X1x1=5.

3

答案I

18.(2017?寧波檢測)正六棱柱ABCDEF-A\B\C\D\E\F\的底面邊長為啦，側(cè)棱長為

1,則動(dòng)點(diǎn)從A沿表面移動(dòng)到Ei時(shí)的最短路程是；動(dòng)點(diǎn)從A沿表面移動(dòng)

到"時(shí)的最短路程為.

解析側(cè)面展開圖如圖(1),(2),???從A沿表面到Ei的最短路

程為AEi=\(AE)2+(EEI)?='(252+1=3.從A沿表面到Di的最短路

程為ADT=7(A。)2+(DDi)(3業(yè)2+1=梅

AFEABCD

(1)(2)

答案34歷

第2講空間幾何體的表面積與體積

最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.

I基fit慘斷I梳理自測，理解記憶

知識(shí)梳理

1.多面體的表(側(cè))面積

多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積

是側(cè)面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

尸------；,八

側(cè)面展開圖孱翻，

側(cè)面積公式Sia柱側(cè)=2/HS31rlS13臺(tái)側(cè)=旦（上1±

3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S發(fā)面積=S側(cè)+2s聯(lián)V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面枳=S他+底

SV=-3S-h

V=/（Si.+5下+y/S上S下）h

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面枳=S側(cè)+S上+SF

球S=4nR2V號-R3

診斷自測

1.判斷正誤（在括號內(nèi)打“J”或“X”）

⑴錐體的體積等于底面面積與高之積.（）

⑵球的體積之比等于半徑比的平方.（）

（3）臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.（）

（4）已知球。的半徑為H,其內(nèi)接正方體的邊長為小則/?=格.（）

4

解析（1）錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.

（2）球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.

答案（1）X（2）X（3）V（4）V

2.已知圓錐的表面積等于12兀cm2,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑

為（）

3

A.lcmB.2cmC.3cmD.gcm

解析S表=n產(chǎn)+冗H=n戶+nr?2r=3五產(chǎn)=12冗，.*.r2=4,/.r=2（cm）.

答案B

3.（2017.紹興一中月考）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

）

□正視圖側(cè)□覘圖

俯視圖

A.3兀B.4nC.2n+4D.3n+4

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示.

表面積為2X2+2X^XnXl2+JiXlX2=4+3n.

答案D

4.（201)6?全國H卷）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

「

A.12n32

C.8兀D.4n

解析設(shè)正方體的棱長為m則〃=8,解得。=2.設(shè)球的半徑為R,貝U2R=W。,

即/?=小.所以球的表面積S=4nR2=i2n.

答案A

5.（2016?天津卷）已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所

示（單位：m）,則該四棱錐的體積為n?.

俯視圖

解析根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2m,高為1m的平行四邊形,

四棱錐的高為3m.

故該四棱錐的體積V=|x2XlX3=2（m3）.

答案2

6.（2016?浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,貝！Jt十t十

該幾何體的表面積是_______cm2,體積是________cm3.r—APCL

]2

解析由三視圖可知，該幾何體為兩個(gè)相同長方體組合，長Fib

方體的長、寬、高分別為4cm、2cm、2cm,其直觀圖如下：

其體積V=2X2X2X4=32（cm3）,由于兩個(gè)長方體重疊部分為一個(gè)邊長為2的正

方形，所以表面積為S=2(2X2X2+2X4X4)—2X2X2=2X(8+32)—8=

72(cm2).

答案7232

|考點(diǎn)突破分類講練，以例求法

考點(diǎn)一空間幾何體的表面積

【例1】（1）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.8+2吸B.11+2^2

014+272D.15

（2）（2016?全國I卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓

2gn

及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是了,則它

的表面積是（）

A.17nB.18n

C.20nD.28n

解析(1)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面

為直角梯形，如圖所示.

直角梯形斜腰長為炳甲=、伍所以底面周長為4+也，側(cè)面

積為2X(4+也)=8+2啦，兩底面的面積和為2X；X1*(1+

2)=3.

所以該幾何體的表面積為8+2啦+3=11+2啦.

(2)由三視圖知該幾何體為球去掉了看球所剩的幾何體(如圖).

O

設(shè)球的半徑為H,

28

74五

-X-

83R=2.

73

故幾何體的表面積S=dX4兀R2+]JIR2=17Ji.

o4

答案(1)B(2)A

規(guī)律方法空間幾何體表面積的求法.

(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元

素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.

(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

【訓(xùn)練1】(2016?全國III卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫

出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()

A.18+36V5B.54+18小

C.90D.81

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體.

由題意可知該幾何體底面邊長為3,高為6,所以側(cè)棱長為嚴(yán)由=34.故該幾

何體的表面積S=32X2+（3X6）X2+（3X3?。2=54+18小.

答案B

考點(diǎn)二空間幾何體的體積

【例2】（1）（2016?山東卷）一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.

則該幾何體的體積為（）

1,2-1?小

A.g+釬B3+371

段+乎11D.l+平兀

joo

（2）（2016?浙江卷）如圖，在△ABC中，A8=8C=2,NA8C=12（T.

若平面ABC外的點(diǎn)尸和線段AC上的點(diǎn)O,滿足尸O=ZM,PB

=BA,則四面體258的體積的最大值是.八

解析（1）由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1,高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖

可得半球半徑為坐，從而該幾何體的體積為卜12乂1+卜蕓X圉="坐

(2)設(shè)PD=DA=x,

在△ABC中，AB=BC=2,ZABC=120°,

：.AC=yjAB2-hBC2-2ABBCcosZABC

=44+4—2X2X2Xcos120°=2小,

：.CD=2yl3-x,且NACB=/180°-120°)=30°,

/.SABCD=^BC?OCXsinNACB=/x2X(2小一彳)乂^=/2小一x).

要使四面體體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸到平面8CO的距離最大，而尸到平面8CO

的最大距離為X.

則聯(lián)體皿=卜，(2S一切=/一(工一小)2+3],由于04〈2S,故當(dāng)產(chǎn)木時(shí),

丫四面體P5CD的最大值為\x3=,

答案(1)C(24

規(guī)律方法空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公

式進(jìn)行求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)

形法等方法進(jìn)行求解.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后

根據(jù)條件求解.

【訓(xùn)練2】(1)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在

的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()

A.B.C.2啦nD.4啦兀

(2)(2015?浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積

是cm3.

俯視圖

解析（1）繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面

圍成的幾何體為兩個(gè)底面重合，等體積的圓錐的組合體，如圖所示.

每一個(gè)圓錐的底面半徑和高都為啦，故所求幾何體的體積V=2x|

I

「4啦n

X2n義取=弋—.

⑵由三視圖可知該幾何體是由棱長為2cm的正方體與底面邊長為2cm正方形、

高為2cm的正四棱錐組成.

又正方體的體積Vi=23=8（cm3）,

1Q

正四棱錐的體積V2=QX22X2=?（cm3）.

32

所以該幾何體的體積V=V\+

32

答案（1）B⑵4

考點(diǎn)三多面體與球的切、接問題（典例遷移）

【例3】（經(jīng)典母題）（2016?全國HI卷）在封閉的直三棱柱ABC—48C內(nèi)有一個(gè)體

積為V的球.若AB_L8C,AB=6fBC=8,A4i=3,則V的最大值是（）

9n32n

A.4nB.^-C.6nD.~

解析由AB_L8C,AB=6,BC=8,得AC=10.

要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)

底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.

則3乂6義8=3乂（6+8+10>/，所以/=2.

2r=4>3,不合題意.

球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑H最大.

3

即R=-

由2R=3,2

4Q

故球的最大體積R3=]n.

答案B

【遷移探究1】若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵?8C-4BG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球

。的球面上"，若AB=3,AC=4,ABA.AC,A4=12,求球。的表面積.

解將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC—

則球0是長方體ABEC-A\BiEiC\的外接球.

?,?體對角線BCi的長為球0的直徑.

因此29=^32+42+122=13.

故S球=4幾片=］69冗.

【遷移探究2】若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球。的球面上”，若

該棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的體積.

解如圖，設(shè)球心為0,半徑為八

E

則在RtZXA。尸中，（4一廠產(chǎn)+（爪）2=戶，

解得T，

44243n

則球0的體積V球/=］冗=［6.

規(guī)律方法空間幾何體與球接、切問題的求解方法.

（1）與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作

它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切

點(diǎn)”、“按點(diǎn)”作出截面圖，.把空間問題化歸為平面問題.

（2）若球面上四點(diǎn)P,4,B,。中附，PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩

垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.

課堂總結(jié)

［思想方法］

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想：計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將

側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開

圖的形狀及平面圖形面積的求法.

2.求體積的兩種方法：（1）割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)

化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.（2）等積法：等積法包括等面積法和等體積法.

等體積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利

用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高.

［易錯(cuò)防范］

1.求組合體的表面積時(shí)：組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò).

2.由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí)，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的

結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤.

3.底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防

出錯(cuò).

課時(shí)作業(yè)分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時(shí)：40分鐘）

一、選擇題

1.（2015?全國I卷）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)令

名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五I

尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如

圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米

堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62

立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）

A.14斛B.22斛

C.36斛D.66斛

解析設(shè)米堆的底面半徑為廠尺，則gv=8,所以〃=￥.

ZJI

（、2

所以米堆的體積為V=1X|JT?3?5=今（差）?5屋式立方尺）.

故堆放的米約有甲+1.62-22（斛）.

答案B

2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是

（）

9

2民-

A.2

解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，ES底=/（l+2）X2=

3.，丫=gx?3=3,解得x=3.

答案D

3.（2017.寧波十校聯(lián)考）一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是

A.1+SB.2+S01+2^2D.2^/2

解析四面體的直觀圖如圖所示.

側(cè)面S4C_L底面ABC,且△SAC與△ABC均為腰長是也的等

腰直角三角形，SA=SC=AB=BC=?AC=2.

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接S。，B0,則S0J_AC,又SOu平面

SAC,平面SACA平面A8C=AC,

???SO_L平面A8C,又80u平面ABC,：.SO±BO.

又OS=OB=1,：.SB=也

故△SAB與△SBC均是邊長為6的正三角形，故該四面體的表面積為2xg義啦X

啦+2X^X（啦）2=2+小.

答案B

4.（2015?全國11卷）已知4,8是球。的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=90°,C為該球面上

的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O—ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36nB.64nC.144nD.256兀

解析因?yàn)閍AOB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐。一

ABC的體積取得最大值.由（X；R2XR=36,得R=6.從而球0的表面積S=4nR2

=144兀.

答案C

5.（2017?青島模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四

邊形，NB=2PN,則三棱錐N—與三棱錐。一出C的體積比

為（）

A.1：2B.1：8

C.1：6D.1：3

解析設(shè)點(diǎn)P,N在平面A8CD內(nèi)的投影分別為點(diǎn)P,N',則PP_L平面48CD,

NN'2

NN'_L平面ABCQ,所以PP〃NN,則在ABP產(chǎn)中，由BN=2PN得正一=%

LX。

V^^N-PAC-V三校注P-A8C-V三檢粒-PP'~

|SA4BC?NN'=GS/SRC?（PP-NN?=gs八ABC?

此史P,噎轍點(diǎn)。=嗅”小=露46中尸'，又???四邊形四。。

是平行四邊形，???SAABC=S"CD,??..-c=］故選D.

V^^D-PAC3

答案D

二、填空題

6.（2016?浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是

cm2,體積是cm3.

俯視圖

解析由三視圖可知該幾何體由一個(gè)正方體和一個(gè)長方體組合而

成，上面正方體的邊長為2cm,下面長方體是底面邊長為4cm,

高為2cm,其直觀圖如右圖：其表面積5=6X22+2X42+4X2X4

-2X22=80(cm2).體積V=2X2X2+4X4X2=40(cm3).

答案8040

7.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為戲的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該

球的體積為.

解析依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R,則

2/?=業(yè)2+12+(色)2=2,

解得R=l,所以曠=4亍n/?3_=亍4n.

答案上

8.(2017?沏州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

表面積為.

禽視圖

解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1,高為2

的圓柱和底面半徑為1,高為1的半圓錐拼成的組合體.??.體積

V=nX12X2+TX^nX12XI=^-n；半圓錐母線/=啦,S

表=Xl2+2JiX1X2+3JiX12+2HX1X也+；X2X1=Ji+1.

K"，也

答案畀

三、解答題

9.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.

便視圖

⑴求此幾何體的表面積;

（2）如果點(diǎn)P,。在正視圖中所示位置，尸為所在線段中點(diǎn)，。為頂點(diǎn)，求在幾何

體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長.

解（1）由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其表面積是

圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和.

S網(wǎng)籍產(chǎn)；（2Ji。）?（啦。）=啦n

SEsitfli—（2兀。＞（2。）=4n

S圓柱底=na，

所以S衣=爽口。2+4H。2+冗*=（6+5）na2.

（2）沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖.

----------iC

A1-----

22

則PQ—y/AP-hAQ—4/+（JI〃）2—周i+n2,

所以從P點(diǎn)到。點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長為小衣.

10.（2015?全國II卷）如圖，長方體5BC國一4BC1D1中，AB=16,

BC=10,A4=8,點(diǎn)E,尸分別在AiS,DiCi±,A\E=D\F

=4.過點(diǎn)E,尸的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正

方形.

（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；

⑵求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.

解（1）交線圍成的正方形尸如圖所示.

（2）如圖，作垂足為M,則AM=4E=4,EBi=12,EM=AAi=S.

因?yàn)樗倪呅蜤HG尸為正方形，所以￡//=七/=3。=1（）.

于是MH=7EH2-EM2=6,AH=WfHB=6.

故S四邊形（4+10）X8=56,

S四邊形EBi8”=gx（12+6）X8=72.

因?yàn)殚L方體被平面a分成兩個(gè)高為10的直棱柱，

所以其體積的比值為翡也正確）

能力提升題組

（建議用時(shí)：25分鐘）

11.若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為多則該

幾何體的俯視圖可以是（）

解析若俯視圖為A,則該幾何體為正方體，其體積為1,不滿足條件.若俯視圖

為B,則該幾何體為圓柱，其體積為兀（，2乂1=亍，不滿足條件.若俯視圖為C,

則該幾何體為三棱柱，其體積為gxiXlXl=￡,滿足條件.若俯視圖為D,則該

幾何體為圓柱的"，體積為"nXl=:",不滿足條件.

答案c

12.（2017?麗水調(diào)研）在三棱錐尸一48c中，附，平面ABC,AC1BC,。為側(cè)棱PC

上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是（）

B.BO_L平面B4C且三棱錐D-ABC的體積為§

C.AO_L平面PBC且三棱錐D-ABC的體積為號

D.BO_L平面%C且三棱錐D-A