重慶市南開中學(xué)高2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月初數(shù)學(xué)測試卷（含答案）

1PAGE第11頁重慶南開中學(xué)高2025級(jí)高三（上）數(shù)學(xué)測試（12.1）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.7 B.14 C.21 D.422.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.03.已知直線和，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知圓：，直線：，則當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截的弦長的最小值為，則的取值為（）A. B. C. D.5.已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，其右頂點(diǎn)為A，若橢圓上一點(diǎn)P，使得，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.47.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.18 B.16 C.6 D.48.設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（）A.不可能有無數(shù)個(gè)元素B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)元素C.當(dāng)只有2個(gè)元素時(shí)，這2個(gè)元素的乘積有可能為D.當(dāng)時(shí)，最多有個(gè)元素，且這個(gè)元素的和為0二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.在數(shù)列和中，，，，下列說法正確的有（）A. B.C.36是與的公共項(xiàng) D.10.已知橢圓，不經(jīng)過原點(diǎn)、斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）A.直線與垂直B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為，則直線方程為C.若直線方程，則點(diǎn)M坐標(biāo)為D.若直線方程為，則11.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，曲線，下列說法正確的（）A.當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為B.當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有4個(gè)C.當(dāng)直線l與曲線有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為D.存在定點(diǎn)Q，使得過Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A在第一象限，且，則直線AB的傾斜角為___________.13.已知圓，直線，直線l被圓C截得的最短弦長為________．14.橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)M為其上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓C的半徑為1，圓心既在直線上又在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程．16.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).求雙曲線的方程；以為中點(diǎn)作雙曲線的一條弦，求弦所在直線的方程.17.某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).經(jīng)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖.令，計(jì)算得到如下數(shù)據(jù).2066770200144604.203125000030821500（1）設(shè)變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)與相關(guān)性較強(qiáng)的模型.（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量.附：；樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中.18.已知橢圓（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P、Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，且四邊形的面積為.（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率不為0的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)且與橢圓C交于G、H兩點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)M、N.求證：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.19.已知函數(shù)．（1）若曲線和直線相切，求a的值；（2）若存在兩個(gè)不同a，使得的最小值為0，求證：．

重慶南開中學(xué)高2025級(jí)高三（上）數(shù)學(xué)測試（12.1）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.【答案】ACD10.【答案】BD11.【答案】ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.【答案】##13.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.【分析】(1)由圓心既在直線上又在直線上，所以條直線的交點(diǎn)即為圓心．（2）分別討論斜率存在和不存在時(shí)兩種情況，再利用相切時(shí)點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可．【詳解】（1）聯(lián)立，得，則圓C的圓C坐標(biāo)為．因?yàn)閳AC的半徑為1，所以圓的方程為：．（2）如果不存在，則方程為，是圓的切線；如果斜率存在，設(shè)切線方程為：，即．運(yùn)用距離公式，解得．方程為．綜上所述切線方程為：和．16.【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程和題意，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出，再由等軸雙曲線的性質(zhì)，以及，即可求出結(jié)果；先討論所在直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)題意，可直接排除；再討論所在直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由已知橢圓得雙曲線的焦點(diǎn)為，即，由等軸雙曲線的性質(zhì)及，則所求雙曲線的方程為當(dāng)所在直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，中點(diǎn)不可為，故此時(shí)不滿足題意;當(dāng)所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線的方程為，聯(lián)立方程組得①點(diǎn)在所在的直線上，即②.聯(lián)立①②兩式，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，直線方程即為所求.17.【解析】【分析】（1）分別將表中數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，比較大小即可判斷；（2）（i）由取對(duì)數(shù)，換元得，由表中數(shù)據(jù)分別求和，得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，即得；（ii）將代入回歸方程，利用題設(shè)條件，即可預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量.【小問1詳解】由題意知.因?yàn)?，所以，故從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，模型中與的相關(guān)性較強(qiáng).【小問2詳解】（i）由，得，即.因，所以，故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，即,所以.（ii）將代入得.，故得，解得，故預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是27.1億元.18.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義與勾股定理列式求解即可得橢圓方程；（2）直線與橢圓相交確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，又，所以.所以，由橢圓定義與勾股定理知，所以，所以，所以.又，解得.所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)椋钥稍O(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組，消去x化簡并整理得.設(shè)，，可得，.因?yàn)锳-2,0，所以直線的方程為y=y設(shè)點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)分別為，，令，可得，同理可得.所以.所以M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.19.【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為x1,fx1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得（2）求出導(dǎo)數(shù)后，分、與討論函數(shù)的調(diào)性后，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得存在兩個(gè)不同的，使得的最小值為0等價(jià)于存在兩個(gè)不同的，使得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后即可得證.【小問1詳解】由，則，設(shè)切點(diǎn)為x1,fx1，則又，即，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由，即.綜上所述，.【小問2詳解】證明：由，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，沒有最小值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，考慮這一側(cè)，有，則當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí),恒成立,f'x在R上單調(diào)遞增，取即有f'x當(dāng)時(shí)，有，則