全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-立體幾何與空間向量滿分限時(shí)練

立體幾何與空間向量高考立體幾何的考查通常為一道大題和一道小題的形式．小題即選擇題或者填空題，通常為幾何體三視圖的識(shí)別或者點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷，空間幾何體表面積、體積的計(jì)算；大題即解答題，考查的內(nèi)容主要為：空間平行關(guān)系、垂直關(guān)系的證明，面積和體積的計(jì)算，線面角、二面角、面面角的計(jì)算，多數(shù)情況下需利用空間向量作為工具進(jìn)行計(jì)算．一、選擇題．1．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．①④ B．①② C．②③ D．②④【答案】A【解析】從上下方向上看，△PAC的投影為①?gòu)淖笥曳较蛏峡?，△PAC的投影為④從前后方向上看，△PAC的投影為④故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行投影和空間想象能力，關(guān)鍵是確定投影圖的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)等，再連接即可得在平面上的投影圖，主要依據(jù)平行投影的含義和空間想象來(lái)完成．屬于基礎(chǔ)題．2．下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積是（）A．12πa2 B．6πa2 C．【答案】C【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖正方體中的三棱錐A?BCD，正方體的棱長(zhǎng)等于a，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，所以外接球的直徑2R=3因此外接球的表面積為S=4πR【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了三視圖還原以及幾何體外接球的求解，屬于基礎(chǔ)題．3．過(guò)正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】解法一：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱錐A﹣A1BD是正三棱錐，直線AB、AD、AA1與平面A1BD所成角都相等，過(guò)頂點(diǎn)A作平面α∥平面A1BD，則直線AB、AD、AA1與平面α所成角都相等，同理，過(guò)頂點(diǎn)A分別作平面α與平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直線AB、AD、AA1與平面α所成的角都相等，∴這樣的平面α可以作4個(gè)，故選C．解法二：只要與體對(duì)角線垂直的平面都和正方體的所有棱所成的角相等，因?yàn)橛兴臈l體對(duì)角線，所以，可以做四個(gè)平面，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方體在平面上的投影以及直線與平面所成的角，還考查了空間想象的能力，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)m?n為兩條直線，α?β為兩個(gè)平面，則下列命題中假命題是（）A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β C．若m⊥n，，，則 D．若，m⊥α，n⊥β【答案】C【解析】A．若m⊥n，m⊥B．若，m⊥α，則n⊥α，又，則平面β內(nèi)存在直線，所以c⊥αC．若m⊥n，，，則α，β可能相交，可能平行，CD．若，m⊥α，n⊥β，則α，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩平面平行與垂直的判斷，掌握兩平面平行與垂直的和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．另外從空間向量角度出發(fā)，利用平面的法向量之間的關(guān)系判斷兩平面平行與垂直也是一種行之有效較簡(jiǎn)單的方法．5．已知直線l、m與平面α、β，l?α，A．若l//m，則必有α//β C．若l⊥β，則必有α⊥β 【答案】C【解析】A．如圖所示，設(shè)，l//c，m//c滿足條件l//mB．假設(shè)α//β，n?β，n//l，n⊥C．若l?α，l⊥D．設(shè)，若l//c，m//c，雖然α綜上可知：只有C正確，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，以及線線、線面平行垂直的判定和性質(zhì)，考查對(duì)命題的判斷和推理證明思想，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1A． B． C． D．【答案】A【解析】在平行六面體ABCD?A1B1C1D，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算屬于基礎(chǔ)題．7．如圖，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD兩兩垂直，且AB=2，若線段DE上存在點(diǎn)P使得GP⊥BP，則邊CGA．4 B．43 C．2 D．【答案】D【解析】以DA，DC，DF為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，則，即．又，，所以，，．顯然x≠0且x≠2，所以．因?yàn)閤∈0，所以當(dāng)2x?x2=1所以a的最小值為23，【點(diǎn)評(píng)】集合問(wèn)題代數(shù)化是空間向量法解決問(wèn)題的一般思路，通過(guò)向量將幾何關(guān)系建立代數(shù)式，例如兩直線垂直時(shí)即可轉(zhuǎn)為向量的數(shù)量積為0，利用向量的坐標(biāo)表示即可．8．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱CD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過(guò)B，E，D1的截面與棱A1B1交于F，若截面A．有最小值2+25 B．有最大值 C．是定值 D．是定值4+25【答案】A【解析】依題意，設(shè)截面在平面A1B1C在平面ABB1A設(shè)DE=t，t∈則四邊形B1MD四邊形BFA1N則，又因?yàn)??t2+12+t2+所以5≤1?t2故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體中的最值計(jì)算，解題的關(guān)鍵是得出C1利用距離關(guān)系求解．9．如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，，AC，BD相交于點(diǎn)O，平面ABCD，SO=4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在該棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)為（）A．3 B．7 C．13 D．8【答案】D【解析】取DC，SC的中點(diǎn)G，F(xiàn)，連接，F(xiàn)E，∵E是BC的中點(diǎn)，∴GE//DB，GE?平面SBD，DB?平面SBD，則GE//平面SBDFE?平面SBD，SB?平面SBD，則FE//平面SBD又GE∩FE=E，∴平面FEG//平面SBD∵平面ABCD，∴SO⊥AC又四邊形ABCD是菱形，∴DB⊥∵SO∩DB=O，∴AC⊥平面SBD，則AC⊥平面FEG，故只要?jiǎng)狱c(diǎn)P在平面FEG內(nèi)即總保持PE⊥又動(dòng)點(diǎn)P在棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)即為△FEG∵四邊形ABCD是菱形邊長(zhǎng)為6，且，∴BD=6，則OB=OD=3，又SO=4，∴SB=SD=5，故，GE=3，∴△FEG【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線面平行以及面面平行的判定定理，考查了線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理；解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)證明平面FEG//平面SBD，得到AC⊥平面FEG，進(jìn)而得到動(dòng)點(diǎn)P在平面FEG內(nèi)即總保持PE10．（多選）已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，那么下列判斷正確的是（）A．若a⊥α，a⊥β，則α//β B．若αC．若，b⊥α，則a⊥α D．若a//【答案】ABC【解析】A．根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行”，可知A正確；B．記α∩β=l，因?yàn)棣痢挺虑襛⊥α，所以aβ且a又因?yàn)閍b，且b?βC．根據(jù)“平行直線中若有一條直線垂直于某個(gè)平面，則另一條直線也垂直于該平面”，可知C正確；D．因?yàn)閍//α，b?故選ABC．【點(diǎn)評(píng)】判斷符號(hào)語(yǔ)言描述的空間中位置關(guān)系的命題的真假：（1）利用定理、定義、公理等直接判斷；（2）作出簡(jiǎn)單圖示，利用圖示進(jìn)行說(shuō)明；（3）將規(guī)則幾何體作為模型，取其中的部分位置關(guān)系進(jìn)行分析說(shuō)明．二、填空題．11．在三棱錐S?ABC中，AB=10，，AC=AS，BC=BS，若該三棱錐的體積為，則三棱錐S?ABC外接球的體積為_(kāi)_________．【答案】4【解析】取SC的中點(diǎn)O，連接OA、OB，如下圖所示：∵AC=SA，BC=BS，且，則，所以，、△SBC均為等腰直角三角形，且，所以，，所以，SC為三棱錐S?ABC的外接球直徑，設(shè)SC=2r，可得OA=OB=r，設(shè)∠AOB=θ∵AS=AC，O為SC的中點(diǎn)，則OA⊥SC∵OA∩OB=O，∴SC⊥所以，，，在△OAB中，由余弦定理可得A即2r2?2由，可得，化簡(jiǎn)可得2r4?5即2r∵r>0，解得r=3因此，三棱錐S?ABC外接球的體積為．故答案為43【點(diǎn)評(píng)】求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可．12．已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，M分別為棱AB，A1D1，D【答案】【解析】取的中點(diǎn)H，連接CH、FH，因?yàn)镕、H是A1D1、的中點(diǎn)，所以取CD中點(diǎn)P，連接AP、MP，因?yàn)锳A1//所以MA1//又因?yàn)锳E//CP，所以CE//AP，所以CE//且MA1?平面CEFH，F(xiàn)H?平面CEFH，MA設(shè)Q為EB中點(diǎn)，連接A1Q、MQ、EH，所以所以四邊形QEHM是平行四邊形，所以HE//MQ，且MQ?平面CEFH，HE所以MQ//平面CEFH又MQ∩A1M=M，所以平面CEFH所以過(guò)M點(diǎn)且與平面EFC平行的平面就是，Q點(diǎn)即是N點(diǎn)，，所以，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線面平行及面面平行的判定，關(guān)鍵點(diǎn)是取的中點(diǎn)H，證明平面CEFH為平面圖形，設(shè)Q為EB中點(diǎn)，證明平面CEFH//平面，Q點(diǎn)即是N點(diǎn)，考查了學(xué)生的空間想象力．13．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，有下列結(jié)論：①平面A1D1P⊥平面A1AP；②多面體D1③直線D1P與BC所成的角可能為；④△APD1能是鈍角三角形．其中結(jié)論正確的序號(hào)是___________(填上所有序號(hào))．【答案】①②④【解析】對(duì)于①，正方體ABCD?A1B1C，∴A1D1∵A1D1⊥平面，∴平面平面A對(duì)于②，，P到平面CDD1的距離BC=1，∴三棱錐D1?CDP的體積：，為定值，故②對(duì)于③，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)P(1，a，b)，(0<a<1，0<b<1)，，，，假設(shè)，所以a2+(b?1∵0<a<1，0<b<1，所以a2+(b?1)對(duì)于④，見(jiàn)上圖，由題得A(1，設(shè)P(1，y，1?y)，所以，當(dāng)時(shí)，，即∠APD1是鈍角，此時(shí)△APD1是鈍角三角形，故④正確，故答案為①②④．【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是判斷③④的真假，它們都是可能性問(wèn)題的判斷，判斷③的真假可以選擇向量反證法比較方便，判斷④的真假可以選擇向量直接法．要根據(jù)已知靈活選擇方法解答，優(yōu)化解題．14．古代中國(guó)，建筑工匠們非常注重建筑中體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，方形和圓形的應(yīng)用比比皆是，在唐、宋時(shí)期的單檐建筑中較多存在2:1的比例關(guān)系，這是當(dāng)時(shí)工匠們著意設(shè)計(jì)的常見(jiàn)比例，今天，A4紙之所以流行的重要原因之一，就是它的長(zhǎng)與寬的比無(wú)限接近2:1，我們稱這種滿足了2:1的矩形為“優(yōu)美”矩形．現(xiàn)有一長(zhǎng)方體ABCD?A1B1【答案】4【解析】由題意，該長(zhǎng)方體如圖所示：∵AD1=26，∴CC1=，∴AB=CD=2，A，，，∴此長(zhǎng)方體的表面六個(gè)矩形中，“優(yōu)美”矩形的個(gè)數(shù)為4，故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方體幾何特征的應(yīng)用及對(duì)于新概念的理解，屬于基礎(chǔ)題．15．粽子古稱“角黍”，是中國(guó)傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米等食材蒸制而成．因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形狀可以看成所有棱長(zhǎng)均為8cm的正四棱錐，則這個(gè)粽子的表面積為_(kāi)_____，現(xiàn)在需要在粽子內(nèi)部放入一顆咸蛋黃，蛋黃的形狀近似地看成球，則當(dāng)這個(gè)蛋黃的體積最大時(shí)，其半徑與正四棱錐的高的比值為_(kāi)_____．【答案】64【解析】每個(gè)側(cè)面三角形的面積均為，底面正方形的面積為64cm所以四棱錐的表面積為643球的體積要達(dá)到最大，則需要球與四棱錐五個(gè)面都相切，正四棱錐的高為，設(shè)球的半徑為r，所以四棱錐的體積，故r=223?1故答案為643+64【點(diǎn)評(píng)】在四棱錐中的內(nèi)切球，利用分割法，可分割為以球心為頂點(diǎn)的三棱錐與四棱錐，棱錐的高都為球半徑，根據(jù)等體積法即可求出球的半徑．三、解答題．16．如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，BC⊥AC，AC=PC=2M是PA的中點(diǎn)．（1）求證：PA⊥平面MBC（2）設(shè)點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，求二面角N?MC?B的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面PAC∵PA?平面PAC，∴BC∵，M是PA的中點(diǎn)，∴CM⊥PA∵CM∩BC=C，CM，BC?平面MBC，∴PA⊥（2）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PC?平面PAC，PC⊥∴PC⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CP為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(2，0，0)，，C(0，0，0)則CM=(1，0，1)由（1）知是平面MBC的一個(gè)法向量，設(shè)是平面MNC的法向量，則有，即，令y=1，則z=?2，x=2，∴，設(shè)二面角N?MC?B所成角為θ，由圖可得θ為銳角，則．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定和性質(zhì)定理，并靈活應(yīng)用，處理二面角或點(diǎn)到平面距離時(shí)，常用向量法求解，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，求得法向量坐標(biāo)，代入夾角或距離公式，即可求得答案．17．如圖1，正方形ABCD，邊長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別為AD，CD中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿對(duì)角線AC折起，折起過(guò)程中（1）求證：EF⊥（2）當(dāng)時(shí)，求平面ABC與平面所成二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：取AC中點(diǎn)O，連接OT因?yàn)锳BCD為正方形，所以AC⊥又OT∩OB=O，所以AC⊥平面OBT，而TB?平面OBT，所以AC⊥又E，F(xiàn)分別為AD，CD中點(diǎn)，所以，（2）因?yàn)椋浴鱐AB為等邊三角形，TB=a，又，∴TB2=OB如圖建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，則，，，，，平面ABC法向量，設(shè)平面法向量，由，即，解得，所以，，記平面ABC與平面所成二面角為θ，則θ為銳角，所以，即平面ABC與平面所成二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理進(jìn)行證明，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解．18．如圖，在三棱錐S?ABC中，SA=SB=SC=m．若∠BSC=θ，∠CSA=β，∠ASB=γ，且．（1）證明：平面SAB⊥平面ABC（2）若，，，試問(wèn)在線段SC上是否存在點(diǎn)D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°．若存在，請(qǐng)求出D點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析．【解析】（1）取AB的中點(diǎn)E，連接SE，CE，如圖，∵SA=SB，∴SE⊥又∵AB=2AE，∠ASB=γ，∴．同理，．∵，∴BC2+AC由，，得CE2+SE又∵SE⊥AB，AB∩CE=E，∴SE⊥平面ABC又∵SE?平面SAB．∴平面SAB⊥平面ABC（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)．平行AC的直線為x軸，平行BC的直線為y軸，ES為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：不妨設(shè)m=2，則A(?2，1，0)，B(2，設(shè)0≤λ