2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式】九大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式】九大題型歸納（拔尖篇）（含答案）高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第二章九大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1利用作差法、作商法比較大小1．（2023下·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知x>y>1>z>0,a=1+xzz,b=A．a(chǎn)>c>b B．b>c且a>cC．b>c>a D．a(chǎn)>b且a>c2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)p=a2+a+1-1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q3．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期中）從下列三組式子中選擇一組比較大?。孩僭O(shè)x>1,M=x-x-1②設(shè)M=x+3x+4,N=③設(shè)a>b>0,M=a2-注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計分.4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.題型2題型2利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1．（2023上·山東濟(jì)寧·高一曲阜一中?？计谀┮阎?<a-b<2，2<a+b<4，則3a+b的范圍是（

）A．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,122．（2023上·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a，b滿足-3≤a+b≤-2，1≤a-b≤4，則3a-5b的取值范圍是（

）A．92,412 B．6,19 C．3．（2023上·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期中）實數(shù)a，b滿足4≤a+b≤7，2≤a-b≤3.(1)求實數(shù)a，b的取值范圍；(2)求3a-2b的取值范圍.4．（2023上·廣東佛山·高一?？计谥校┰O(shè)a∈-6,8，b∈(1)求2a+b的取值范圍．(2)求a-b的取值范圍．(3)求ab題型3題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式1．（2023上·陜西榆林·高一?？计谥校┳C明下列不等式：(1)已知a>b>c>d，求證：1a-d(2)已知a>b>0,c<d<0,e<0，求證：ea-c2．（2023·高一課時練習(xí)）閱讀材料：（1）若x>y>0，且m>0，則有y（2）若a<b,c<d，則有a+c<b+d．請依據(jù)以上材料解答問題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：ab+c3．（2023上·河南·高一階段練習(xí)）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊(yùn)含著著名的糖水不等式：yx(1)證明榶水不等式；(2)已知a,b,c是三角形的三邊，求證：ab+c4．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）（1）已知a>b,e>f,c>0，求證：f-ac<e-bc；（2）已知a>b>0,c<d<0，求證：b（3）已知bc-ad≥0,bd≥0，求證：a+b題型4題型4利用基本不等式證明不等式1．（2023上·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，證明.(1)a2(2)a2．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期末）證明下列不等式，并討論等號成立的條件．(1)若0≤x≤1，則x1-(2)若ab≠0，則ba3．（2023上·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知a>0,b>0．(1)若a-b=4，證明：a+4(2)若a2+9b4．（2023上·山東菏澤·高一?？计谀┮阎猘，b都是正數(shù).(1)若a+b=1(2)當(dāng)a≠b時，證明：aa題型5題型5基本不等式的恒成立問題1．（2023上·廣東廣州·高一?？计谀┤粽龜?shù)x,y滿足x+y=1，且不等式4x+1+1y-m≥0A．447 B．275 C．1432．（2023上·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿足a+b=3，若a5+b5≥λabA．-∞,812 B．(-∞,3．（2023上·湖北宜昌·高一校考階段練習(xí)）（1）已知a>0，b>0，若不等式3a+1（2）若關(guān)于x的不等式3x2+bx+3≥0在[0,2]4．（2023·高一課時練習(xí)）已知x>0，y>0．(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1x+a題型6題型6基本不等式的有解問題1．（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┤魞蓚€正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．(-1,4) B．(-4,1) C．(-∞,-4)∪(1,+∞2．（2023上·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若存在正實數(shù)x，y滿足于4y+1x=1，且使不等式x+A．-4,1 B．-1,4C．-∞,-4∪3．（2023上·江蘇南通·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax（1）若關(guān)于x的不等式fx>x-2在1,+∞有解，求（2）解關(guān)于x的不等式fx4．（2023上·遼寧丹東·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的不符式-x(1)若a=2，求不等式的解集．(2)若?x∈3,+∞時，不等式-x題型7題型7由一元二次不等式的解確定參數(shù)1．（2023上·遼寧沈陽·高一沈陽市第四十中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的值域為0,+∞，若關(guān)于x的不等式A．9 B．8 C．0 D．62．（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于x的不等式x2-2m+1x+4m≤0的解集中恰有4個正整數(shù)，則實數(shù)A．52,3 B．52,3 C．3．（2023上·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)fx=x2+bx+c(1)求函數(shù)fx(2)解關(guān)于x的不等式a+1x2+3ax>f4．（2022上·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）已知f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<-12(1)求f(x)的解析式；(2)不等式組f(x)>0f(x+k)<0的正整數(shù)解僅有2個，求實數(shù)k(3)若對于任意x∈[-1，1]，不等式t?f(x)?2恒成立，求t的取值范圍.題型8題型8一元二次不等式恒成立問題1．（2022上·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）若不等式2kx2+kx-38<0對一切實數(shù)A．-3<k≤0 B．-3<k<0C．k≤-3或k≥0 D．k<-3或k≥02．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-xy+y2A．m≤6 B．-6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)x∈-2,2時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a（3）當(dāng)a∈4,6時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)x4．（2023上·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2x2(1)當(dāng)a=1時，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若?x1∈0,1，?x題型9題型9一元二次不等式有解問題1．（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考期末）若命題“?x∈R，1-ax2+1-2aA．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)>1C．a(chǎn)≤-32或a≥32．（2022上·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2-6x+11-a≤0在區(qū)間2,5內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（A．6,+∞ B．C．2,+∞ D．3．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=ax(1)若y+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：(2)當(dāng)a=1時，?t>-2，關(guān)于x的不等式y(tǒng)≤-3x+3+m在[-2,t]有解，求實數(shù)m的取值范圍．4．（2023上·浙江湖州·高一期末）已知函數(shù)f(x)=x-2，g(x)=x(1)若對任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范圍；(2)若對任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得(3)若m=-1，對任意n∈R，總存在x0∈[-2,2]，使得不等式gx

高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第二章九大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1利用作差法、作商法比較大小1．（2023下·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知x>y>1>z>0,a=1+xzz,b=A．a(chǎn)>c>b B．b>c且a>cC．b>c>a D．a(chǎn)>b且a>c【解題思路】由x>y>1>z>0，得1x<1【解答過程】因為x>y>1>z>0，所以1x<所以a=x+a-b=x+1z-y-a-c=x+1z-z-c-b=z+1y-y-所以a>b且a>c.故選：D.2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)p=a2+a+1-1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q【解題思路】首先配方判斷p、q均大于零，然后作商即可比較大小.【解答過程】p=aq=a則q=a故p≤q，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時，取等號，故選：D.3．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期中）從下列三組式子中選擇一組比較大?。孩僭O(shè)x>1,M=x-x-1②設(shè)M=x+3x+4,N=③設(shè)a>b>0,M=a2-注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計分.【解題思路】①利用有理根式可得M=1x+x-1>0,N=②用作差法比較即可；③用作差法或作商法比較即可.【解答過程】解：①M(fèi)>NM=x因為x+1+所以1x+1即x+1-∴M>N.②M>NM-N=x+3∴M>N.③M>N方法一（作差法）M-N==a-b因為a>b>0，所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a所以2aba-b所以a2∴M>N..方法二（作商法）因為a>b>0，所以a2所以MN所以a2∴M>N.4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.【解題思路】由題意建立不等式，利用作差法比較大小即可得證.【解答過程】（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab，加入m克糖，即證明不等式a+mb+m>ab(其中a，b，m不妨用作差比較法，證明如下：a+mb+m-ab=∵a，b，m為正實數(shù)，且a<b，∴b+m>0,b-a>0，∴mb-abb+m（2）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為cd，且ab<c證明：∵ab<cd，且b＞a∴ad<bc，即bc-ad>0，ab即abcd即a+c（3）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab，加入m克水，求證：ab>ab+m(其中b證明：ab∴a題型2題型2利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1．（2023上·山東濟(jì)寧·高一曲阜一中?？计谀┮阎?<a-b<2，2<a+b<4，則3a+b的范圍是（

）A．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,12【解題思路】首先用a-b和a+b表示3a+b，再根據(jù)條件的范圍，求解3a+b的范圍.【解答過程】設(shè)3a+b=xa-b得x+y=3y-x=1，解得：x=1所以3a+b=a-b因為0<a-b<2，2<a+b<4，所以4<2a+b<8，所有3a+b的范圍是4,10.故選：C.2．（2023上·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a，b滿足-3≤a+b≤-2，1≤a-b≤4，則3a-5b的取值范圍是（

）A．92,412 B．6,19 C．【解題思路】由3a-5b=-(a+b)+4(a-b)，再結(jié)合同向不等式的可加性求解即可.【解答過程】因為3a-5b=-(a+b)+4(a-b)，由-3≤a+b≤-2，所以2≤-a+b由1≤a-b≤4，所以4≤4a-b所以6≤3a-5b=-(a+b)+4(a-b)≤19，即3a-5b的取值范圍是6,19.故選：B.3．（2023上·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期中）實數(shù)a，b滿足4≤a+b≤7，2≤a-b≤3.(1)求實數(shù)a，b的取值范圍；(2)求3a-2b的取值范圍.【解題思路】（1）應(yīng)用不等式性質(zhì)線性運(yùn)算可得；（2）用已知式子表示所求式子結(jié)合不等式性質(zhì)線性運(yùn)算即可.【解答過程】（1）∵4≤a+b≤7，2≤a-b≤3∴3≤a≤5，12（2）3a-2b=5因為2≤a-b≤3，所以5≤5又4≤a+b≤7，所以2≤1所以3a-2b=54．（2023上·廣東佛山·高一校考期中）設(shè)a∈-6,8，b∈(1)求2a+b的取值范圍．(2)求a-b的取值范圍．(3)求ab【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)求取值范圍.【解答過程】（1）因為a∈-6,8，所以2a∈又b∈2,3，所以2a+b∈（2）因為b∈2,3，所以-b∈因為a∈-6,8，所以a-b∈（3）因為b∈2,3，所以1當(dāng)a∈0,8時，a當(dāng)a∈-6,0時，a所以ab題型3題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式1．（2023上·陜西榆林·高一?？计谥校┳C明下列不等式：(1)已知a>b>c>d，求證：1a-d(2)已知a>b>0,c<d<0,e<0，求證：ea-c【解題思路】（1）依題意可得a-d>b-c>0，再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明；（2）利用作差法證明即可.【解答過程】（1）∵a>b>c>d，即a>b,-d>-c，∴a-d>b-c>0，則1a-d（2）∵a>b>0,c<d<0,e<0，∴-c>-d>0，∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0，則ea-c∴2．（2023·高一課時練習(xí)）閱讀材料：（1）若x>y>0，且m>0，則有y（2）若a<b,c<d，則有a+c<b+d．請依據(jù)以上材料解答問題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：ab+c【解題思路】利用三角形兩邊的和大于第三邊，結(jié)合給定材料推理作答.【解答過程】因為a，b，c是三角形的三邊，則b+c>a>0，由材料（1）知，ab+c同理ba+c<2bab+c所以原不等式成立.3．（2023上·河南·高一階段練習(xí)）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊(yùn)含著著名的糖水不等式：yx(1)證明榶水不等式；(2)已知a,b,c是三角形的三邊，求證：ab+c【解題思路】（1）由作差法證明；（2）由糖水不等式變形證明．【解答過程】（1）y+mx+m因為x>y>0,m>0，所以x+m>0,x-y>0，所以mx-yxx+m（2）因為a,b,c是三角形的三邊，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c所以原不等式成立．4．（2023·上海·高一專題練習(xí)）（1）已知a>b,e>f,c>0，求證：f-ac<e-bc；（2）已知a>b>0,c<d<0，求證：b（3）已知bc-ad≥0,bd≥0，求證：a+b【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐項推理、運(yùn)算，即可求解.【解答過程】（1）因為a>b,c>0，可得ac>bc，所以-ac<-bc，又因為f<e，可得f-ac<e-bc.（2）因為c<d<0，所以-c>-d>0，又因為a>b>0，所以a-c>b-d>0，可得1b-d因為a>b>0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得ab-d>b（3）因為bd>0，要證a+bb≤c+d展開得ad+bd≤bc+bd，即ad≤bc，即bc-ad≥0，又因為bc-ad≥0，所以a+bb題型4題型4利用基本不等式證明不等式1．（2023上·江西新余·高三統(tǒng)考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，證明.(1)a2(2)a【解題思路】（1）首先將不等式左邊進(jìn)行變形，利用公式2=a+b≥2ab（2）首先將不等式左邊變形為a2【解答過程】（1）a2因為a>0,b>0，2=a+b≥2ab，則0<ab≤1，則a2b所以a2（2）a=====而a2+b所以a32．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期末）證明下列不等式，并討論等號成立的條件．(1)若0≤x≤1，則x1-(2)若ab≠0，則ba【解題思路】（1）利用基本不等式即可證明；（2）討論ab>0和ab<0兩種情況，脫掉絕對值符號，結(jié)合基本不等式證明即可.【解答過程】（1）證明：因為0≤x≤1，所以0≤x≤1，所以x1-當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即（2）證明：因為ab≠0，當(dāng)ab>0時，ba當(dāng)且僅當(dāng)a=b≠0時等號成立．當(dāng)ab<0時，ba當(dāng)且僅當(dāng)a=-b≠0時等號成立．綜上，若ab≠0，則ba+a3．（2023上·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知a>0,b>0．(1)若a-b=4，證明：a+4(2)若a2+9b【解題思路】（1）由a-b=4，得a=b+4，再利用基本不等式即可得證；（2）由a2【解答過程】（1）由a-b=4，得a=b+4，所以a+4當(dāng)且僅當(dāng)b+1=4b+1，即即a+4（2）因為a2所以34(a+3b)2則a+3b≤6，所以a+3b的最大值為6．4．（2023上·山東菏澤·高一?？计谀┮阎猘，b都是正數(shù).(1)若a+b=1(2)當(dāng)a≠b時，證明：aa【解題思路】（1）根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解，（2）根據(jù)作差法即可求解.【解答過程】（1）證明：由于a，b都是正數(shù)，b=1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=14時等號成立.所以（2）證明：a=a因為a≠b，a>0,b>0，所以a-b2>0，題型5題型5基本不等式的恒成立問題1．（2023上·廣東廣州·高一?？计谀┤粽龜?shù)x,y滿足x+y=1，且不等式4x+1+1y-m≥0A．447 B．275 C．143【解題思路】將x+y=1變成x+1+y=2，可得4x+1【解答過程】解：∵x>0，y>0，x+y=1，∴x+1+y=2，∴4x+1當(dāng)且僅當(dāng)4yx+1=x+1y，即x+1=2y時等號成立，解得因為不等式4x+1所以4x+1+所以，實數(shù)m的最大值為92故選：D．2．（2023上·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿足a+b=3，若a5+b5≥λabA．-∞,812 B．(-∞,【解題思路】先參變分離得a4b+b4【解答過程】依題意，a4又a+b=3，而a≥≥a當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=32，前后兩個不等號中的等號同時成立，所以λ的取值范圍為-故選：B3．（2023上·湖北宜昌·高一校考階段練習(xí)）（1）已知a>0，b>0，若不等式3a+1（2）若關(guān)于x的不等式3x2+bx+3≥0在[0,2]【解題思路】（1）分離變量，利用基本不等式求解；（2）當(dāng)x=0時，不等式顯然成立；當(dāng)0<x≤2時，分離變量，利用基本不等式求解.【解答過程】（1）因為a>0，b>0，則3a而(3當(dāng)且僅當(dāng)9ba=a依題意，不等式m≤(3a+所以m的最大值為12；（2）當(dāng)x=0時，不等式3x2+bx+3≥0當(dāng)0<x≤2時，3x又因為3(x+1x)≥3×2所以-b≤6，即b≥-6，即實數(shù)b的取值范圍為{b|b≥－4．（2023·高一課時練習(xí)）已知x>0，y>0．(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1x+a【解題思路】（1）將x2+y2-4mx+4my≥0（2）將1x+1y+（3）根據(jù)x+y=1，a>0，利用基本不等式求解.【解答過程】（1）解：∵x>y>0，∴x-y>0，∴x2+y又xy=2，∴x2當(dāng)且僅當(dāng)x-y=4x-y，即x-y=2，即x=3∴4m≤4，∴m≤1．故實數(shù)m的取值范圍是-∞,1．（2）∵x>0，y>0，∴1x+1又x+y1x+1y∴-m≤4，即m≥-4．∴實數(shù)m的最小值為－4．（3）∵x+y=1，a>0，∴1x+ay=又1x∴a+1∴a+1≥3或a∴a≥4．故正實數(shù)a的最小值為4．題型6題型6基本不等式的有解問題1．（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┤魞蓚€正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．(-1,4) B．(-4,1) C．(-∞,-4)∪(1,+∞【解題思路】依題意可得4y+1x=1【解答過程】解：因為x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y所以x+y當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y所以m2+3m>4，即(m+4)(m-1)>0，解得m<-4或所以m的取值范圍是(-∞故選：C.2．（2023上·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若存在正實數(shù)x，y滿足于4y+1x=1，且使不等式x+A．-4,1 B．-1,4C．-∞,-4∪【解題思路】利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到【解答過程】因為x>0，y>0且4y所以x+y當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y所以m2-3m>4，即m-4m+1>0，解得所以m的取值范圍是-∞故選：D．3．（2023上·江蘇南通·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax（1）若關(guān)于x的不等式fx>x-2在1,+∞有解，求（2）解關(guān)于x的不等式fx【解題思路】（1）利用分離常數(shù)法將fx>x-2轉(zhuǎn)化為a>x+2（2）將不等式fx≥1轉(zhuǎn)化為a-1x+1x-1≥0且x≠1【解答過程】（1）fx>x-2在1,+∞有解，即axx-1因為x>1,x-1>0，所以ax>x-1x-2，因為x+2當(dāng)且僅當(dāng)x=2所以a>22（2）axx-1≥1，a-1x+1x-1≥01）a=1時，不等式化為x-1>0，解得x>1，即原不等式的解集為1,+∞；當(dāng)a≠1時，方程a-1x+1x-1=0的兩個根為12）a>1時，-1a-1<1，所以原不等式解得x>1或x≤-3）0<a<1時，-1a-1>1，所以原不等式解得1<x≤-4）a=0時，-15）a<0時，-1a-1<1，所以原不等式解得-4．（2023上·遼寧丹東·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的不符式-x(1)若a=2，求不等式的解集．(2)若?x∈3,+∞時，不等式-x【解題思路】（1）利用一元二次不等式的解法直接求解即可，（2）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>3時，a≥(x-3)+4x-3+3有解，然后利用基本不等式求出(x-3)+【解答過程】（1）當(dāng)a=2時，-x2+5x-6>0(x-2)(x-3)<0，解得2<x<3，所以不等式的解集為(2,3)；（2）由-x2+a(x-3)≥x因為?x∈3,+∞時，不等式所以當(dāng)x>3時，a≥x因為x>3，所以x-3>0，所以x-3+4x-3+3≥2x-3所以a≥7，即實數(shù)a的取值范圍為[7,+∞題型7題型7由一元二次不等式的解確定參數(shù)1．（2023上·遼寧沈陽·高一沈陽市第四十中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的值域為0,+∞，若關(guān)于x的不等式A．9 B．8 C．0 D．6【解題思路】由題意可得b=a24，然后求出不等式fx<c【解答過程】由題意知fx因為函數(shù)fx的值域為0,+∞，所以，b-a由fx<c可知c>0，且有x+a所以，m=-a2-所以，6=m+6-m=2c故選：A.2．（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于x的不等式x2-2m+1x+4m≤0的解集中恰有4個正整數(shù)，則實數(shù)A．52,3 B．52,3 C．【解題思路】不等式化為(x-2)(x-2m)?0，討論2m?2和2m>2時，求出不等式的解集，從而求得m的取值范圍．【解答過程】原不等式可化為(x-2)(x-2m)?0，若m?1，則不等式的解是[2m，2]，不等式的解集中不可能有4個正整數(shù)，所以m>1，不等式的解是[2，2m]；所以不等式的解集中4個正整數(shù)分別是2，3，4，5；令5?2m<6，解得52所以m的取值范圍是[52，故選：B．3．（2023上·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)fx=x2+bx+c(1)求函數(shù)fx(2)解關(guān)于x的不等式a+1x2+3ax>f【解題思路】（1）由一元二次不等式的性質(zhì)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)fx（2）分類討論a的值，結(jié)合一元二次不等式的解法求解即可.【解答過程】（1）由題意知，在fx=x2∴x2+bx+c=0∴-2+3=-b,-2×3=c，解得：b=-1,c=-6∴f（2）由題意得，a∈將fx=xa+1∴a即ax+1x+3當(dāng)a=0時，不等式化為：x+3>0，解集為：{x∣x>-3}，當(dāng)a<0時，-1a>0即x+1a當(dāng)a>0時，-1a<0，不等式化為a若-1a=-3，即a=1若-1a<-3，即0<a<13，則不等式x+若-1a>-3，即a>13，則不等式x+綜上所述：當(dāng)a<0時，不等式的解集為x∣-3<x<-1當(dāng)a=0時，不等式的解集為{x∣x>-3}；當(dāng)0<a<13時，不等式的解集為{x∣x<-1當(dāng)a=13時，不等式的解集為當(dāng)a>13時，不等式的解集為x∣x<-3或4．（2022上·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）已知f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<-12(1)求f(x)的解析式；(2)不等式組f(x)>0f(x+k)<0的正整數(shù)解僅有2個，求實數(shù)k(3)若對于任意x∈[-1，1]，不等式t?f(x)?2恒成立，求t的取值范圍.【解題思路】（1）結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得b，c；（2）根據(jù)不等式組f(x)>0f(x+k)<0的正整數(shù)解僅有2個，可得到7<5-k?8（3）對t進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得t的取值范圍.【解答過程】（1）因為f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<-12所以2，3是一元二次方程2x可得2+3=-b22×3=c+122（2）不等式f(x)>0f(x+k)<0，即2解得x>5,x<0-k<x<5-k可得到7<5-k?8，解得-3?k<-2，則實數(shù)k取值范圍是[-3，-2)；（3）因為對于任意x∈[-1，1]，不等式t?f(x)?2恒成立，所以tx當(dāng)t=0時，-1<0恒成立；當(dāng)t>0時，函數(shù)y=tx2-5tx-1在x∈[-1，1]上單調(diào)遞減，所以只需滿足f(-1)=t?當(dāng)t<0時，函數(shù)y=tx2-5tx-1在x∈[-1，1]上單調(diào)遞增，所以只需滿足f（1）=t?綜上，t的取值范圍是[-1題型8題型8一元二次不等式恒成立問題1．（2022上·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）若不等式2kx2+kx-38<0對一切實數(shù)A．-3<k≤0 B．-3<k<0C．k≤-3或k≥0 D．k<-3或k≥0【解題思路】由2kx2+kx-38<0對一切實數(shù)【解答過程】2kx2+kx-①k=0時，-3②k≠0時，k<0Δ=k綜上可得，-3<k≤0.故選：A.2．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-xy+y2A．m≤6 B．-6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【解題思路】令t=yx，分析可得原題意等價于對一切t∈1,3【解答過程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，則1x∴yx又∵mx2-xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，則原題意等價于對一切∵y=t-t2的開口向下，對稱軸則當(dāng)t=1時，y=t-t2取到最大值故實數(shù)m的取值范圍是m≥0.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)x∈-2,2時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a（3）當(dāng)a∈4,6時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)x【解題思路】（1）當(dāng)x∈R時，x2+ax+3-a≥0恒成立，利用判別式（2）當(dāng)x∈-2,2時，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3-a，該二次函數(shù)對稱軸為x=-a2，屬于軸動區(qū)間定的問題，需分三種情況討論：當(dāng)-a2≤-2（3）令h(a)=xa+x2+3，f(x)≥0恒成立，即h(a)≥0恒成立，函數(shù)h(a)是關(guān)于a的一次函數(shù)，只需h(4)≥0【解答過程】（1）當(dāng)x∈R時，f(x)=x2+ax+3≥a則Δ=a2-4所以實數(shù)a的取值范圍是-6,2．（2）當(dāng)x∈-2,2時，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3-a，即①當(dāng)-a2≤-2，即a≥4時，函數(shù)g(x)在-2,2上單調(diào)遞增，g②當(dāng)-2<-a2<2，即-4<a<4時，函數(shù)g(x)在-2,-a2上單調(diào)遞減，在-a2③當(dāng)-a2≥2，即a≤-4時，函數(shù)g(x)在-2,2上單調(diào)遞減，g(x)min綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是-7,2．（3）令h(a)=xa+x2+3，當(dāng)a∈4,6時，函數(shù)h(a)是關(guān)于a的一次函數(shù)，其圖像在x∈R上是單調(diào)的，所以要h(a)≥0，只需h(4)≥0h(6)≥0，即x2+4x+3≥0x2+6x+3≥0所以實數(shù)x的取值范圍是-∞,-3-64．（2023上·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2x2(1)當(dāng)a=1時，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若?x1∈0,1，?x【解題思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：構(gòu)造函數(shù)，分類討論求解二次函數(shù)最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)k=x+15（3）把問題轉(zhuǎn)化為fx【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，fx=2所以fx-gx=x2+（2）若對任意x>0，都有fx>gx成立，即x解法一：設(shè)hx=x2+1-ax+①當(dāng)a-12≤0，即a≤1時，hx在0，+②當(dāng)a-12>0，即a>1時，hx在0,所以hx>ha-12=-所以1<a<1+15綜上，a<1+15解法二：不等式可化為a-1x<x2+154，即由題意，只須a-1<kxmin，當(dāng)且僅當(dāng)x=154x即x=15所以a-1<15，即a<1+（3）若對任意x1∈0,1，存在x即只需滿足fxmin>ggx=x2-x+a2-31gxmin=g12=a①a4≤0即a≤0時，fx在0,1②0<a4<1即0<a<4時，fx在fxmin=fa4=7③a4≥1即a≥4時，fx在0,1遞減，f所以a2-a-2>a綜上：a∈-題型9題型9一元二次不等式有解問題1．（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考期末）若命題“?x∈R，1-ax2+1-2aA