冪函數(shù)與二次函數(shù)（原卷版）-2025年高考數(shù)學一輪復習

第04講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................3

高頻考點一：塞函數(shù)的定義........................................3

角度1：求暴函數(shù)的值..........................................3

角度2：求塞函數(shù)的解析式......................................3

角度3：由暴函數(shù)求參數(shù)........................................3

高頻考點二：塞函數(shù)的值域........................................4

高頻考點三：幕函數(shù)圖象..........................................5

角度1：判斷幕函數(shù)圖象........................................5

角度2：募函數(shù)圖象過定點問題..................................6

高頻考點四：塞函數(shù)單調(diào)性........................................7

角度1：判斷嘉函數(shù)的單調(diào)性....................................7

角度2：由塞函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)..................................8

角度3：由幕函數(shù)單調(diào)性解不等式................................8

高頻考點五：塞函數(shù)的奇偶性......................................9

高頻考點六：二次函數(shù)............................................10

角度1：二次函數(shù)值域問題.....................................10

角度2：求二次函數(shù)解析式.....................................10

角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù).......................10

角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值(值域)求參數(shù).......................11

角度5：動軸定范圍，定軸動范圍的最值問題.....................11

第四部分：新定義題(解答題).......................................13

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)定義

一般地，形如/(%)=產(chǎn)的函數(shù)稱為累函數(shù)，其中X是自變量，a是常數(shù).

(2)五種常見暴函數(shù)

232-1

函數(shù)y二xy=xJ=xy=戶y=%

干*上擊

圖象

定義域RRR{%|x>0}{x|xw0}

值域R{yly>0)R3”。}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

性在(-oo,0］上

在(—8,0)和

質(zhì)在R上單單調(diào)遞減；在在R上單調(diào)在［0,+8)上單

單調(diào)性(0,+00)上單

調(diào)遞增(0,+8)上單遞增調(diào)遞增

調(diào)遞減

調(diào)遞增

公共點(1,1)

(3)嘉函數(shù)性質(zhì)(高頻考點)

基函數(shù)/(無)=丁,在xe(0,+oo)

①當1>0時，/(幻=/在(0,+00)單調(diào)遞增；

②當a<0時，/。)=產(chǎn)在(0,+8)單調(diào)遞減；

2、二次函數(shù)

形如/(x)=cue+bx+c(aw0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)”=1.0產(chǎn)5,6=1.01。.6,C=0.6。5,則。，ac的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：塞函數(shù)的定義

角度1:求早函數(shù)的值

典型例題

例題L（2024下?河南?高一信陽高中校聯(lián)考開學考試）已知〃x）=（左2+2左+2）產(chǎn)”+機-3是募函數(shù)，則

f（m）=（）

21

A.3B.-C.6D.—

33

例題2.（2024上?河北承德?高一統(tǒng)考期末）已知事函數(shù)“X）的圖象過點（a,8）,則孤/.

角度2：求塞函數(shù)的解析式

典型例題

例題L（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若基函數(shù)/（x）=a/（aSeR）的圖象經(jīng)過點（3,6）,則

〃x）=-

C2\

例題2.（2024上?河北保定?高一統(tǒng)考期末）已知幕函數(shù)/（X）的圖象過點（2,8）,則/.

角度3：由塞函數(shù)求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?山東威海?高一統(tǒng)考期末）已知幕函數(shù)/（x）=（r一2%-14）/在（0,+動上單調(diào)遞增，則％=

A.-3B.3C.-5D.5

例題2.（2024上?安徽阜陽?高一阜陽市第三中學校考期末）已知幕函數(shù)y=（療的圖象不

經(jīng)過第二象限，則加=（）

A.2B.一2或1C.一1或2D.-1

練透核心考點

1.（2024上?河南商丘?高一?？计谀┤簟o）=（小一3）廿是定義域為R的幕函數(shù)，則〃/=.

2.（2024上?安徽淮南?高一深圳市高級中學校聯(lián)考期末）若幕函數(shù)〃x）=（*-2祖-2W在區(qū)間（0,+8）

上單調(diào)遞減，則機=.

3.（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級中學校聯(lián)考開學考試）已知募函數(shù)〃%）=（>+機-5卜〃'包在

（0,+8）上單調(diào)遞減，貝1］加=.

4.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中校考期末）己知累函數(shù)”力的圖象過點尸（2,夜），則“4）等

于.

高頻考點二：幕函數(shù)的值域

典型例題

例題1.（2024?全國?高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，值域為（0,+功的是（）

A./（%）=>/%B./（x）=x+—（x>0）

c.f（-^）=,^―j-D./（x）=l--^（x>l）

例題2.（2024?全國?高一假期作業(yè)）已知事函數(shù)〃%）=di，/eZ）在區(qū)間（0,+"）上是減函數(shù).

（1）求函數(shù)的解析式；

⑵討論函數(shù)〃尤）的奇偶性和單調(diào)性；

⑶求函數(shù)的值域.

練透核心考點

1.（2024?全國?高三專題練習）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（）

2（x-2,x<0

AV=—X.Q、，—一r、，一_n、，一J

2

x3,-l<x<0

2.（2024下?河北承德?高二承德縣第一中學校聯(lián)考開學考試）函數(shù)>=的值域為

2

,0<x<l

高頻考點三：塞函數(shù)圖象

角度1:判斷幕函數(shù)圖象

典型例題

例題L（2024?江蘇,高一假期作業(yè)）函數(shù)=與g（x）=：（加+1）+尤在同一平面直角坐標系中的圖

象不可能為（）

例題2.（2024?全國?高三專題練習）給定一組函數(shù)解析式：

（Dy=/；（Z）y=/；（5）y=x]；（5）y=%§；（§）y=#；（§）y=]§；（Z）y=?

如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（）

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

角度2：塞函數(shù)圖象過定點問題

典型例題

例題1.（2024上?上海?高一上海市吳淞中學?？计谀┫铝忻}中正確的是（）

A.當相=0時，函數(shù)y=的圖象是一條直線

B.幕函數(shù)的圖象都經(jīng)過（0,0）,（1,1）兩點

C.幕函數(shù)y=x"圖象不可能在第四象限內(nèi)

D.若幕函數(shù)>=/為奇函數(shù)，則y=?"是定義域內(nèi)的嚴格增函數(shù)

例題2.（2024?全國?高一專題練習）已知函數(shù)〉=J，（Vc<0）的圖象恒過定點A,若點A在一次函數(shù)

y=的圖象上，其中相，〃>0,則'的最小值為（）

mn

A.1B.72C.2D.4

練透核心考點

1（2024?全國?高三專題練習）已知幕函數(shù)尸產(chǎn)（P，"Z且P，“互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示,

則（）

A.p,q均為奇數(shù),且

q

B.4為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且/＜。

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù),且/＞。

D.q為奇數(shù),p為偶數(shù),且/＜。

2.（多選）（2024上?重慶北倍?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃力=加-2*+1與g（x）=x"在同一直角坐標系中的

3.（多選）（2024?全國?高一專題練習）已知幕函數(shù)=f的圖象經(jīng)過函數(shù)g（無）=/2一;（。＞0且"I）

的圖象所過的定點，則基函數(shù)/'（X）具有的特性是（）

A.在定義域內(nèi)單調(diào)遞減B.圖象過點（1,1）

C.是奇函數(shù)D.定義域是R

高頻考點四：幕函數(shù)單調(diào)性

角度1：判斷事函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題L（2023上?北京海淀?高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0,+S）上單調(diào)遞減的是（）

A.f（x）=yjxB.f（x）=-x\x\

C.f（x）=尤2+]D./（x）=尤'

例題2.（2023上?湖南常德?高一湖南省桃源縣第一中學校考期中）函數(shù)/（力=（_/+2了+3）-5的單調(diào)遞減

區(qū)間為（）

A.[-1,1]B.（一刃』C.（-1,1]D.（1,3）

角度2：由塞函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

例題L（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學?？茧A段練習）若丫=（〃22-2〃2-2卜/+，"是基函數(shù)，

且在（0,+8）上單調(diào)遞增，則加的值為（）

A.一1或3B.1或一3C.-1D.3

例題2.（2023上?廣東佛山?高一佛山市順德區(qū)樂從中學?？茧A段練習）已知基函數(shù)y=（加-3）/*"-3單調(diào)

遞減，則實數(shù)m=.

角度3：由塞函數(shù)單調(diào)性解不等式

典型例題

例題L（2023上?高一課時練習）已知幕函數(shù)y=x〃（peN+）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0,+⑹上單調(diào)遞

減，求滿足（°+爐<（3—2a戶的”的取值范圍.

例題2.（2023上?廣西欽州?高一校考期中）已知>=（機2+2"2一2）7箝+2〃-3是屬函數(shù).

⑴求加、"的值;

（2）若/（2a+1）</（3-4a）,求實數(shù)。的取值范圍.

練透核心考點

1.（多選）（2024?全國?模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（）

A./（x）=-3x5B.〃x）=2*

C.=：D-/（x）=-2x5

2.（2023上?河北滄州?高一統(tǒng)考期中）若暴函數(shù)〃尤）=（蘇-9根+19）尤"I在（0,+力上單調(diào)遞增，則實數(shù)

m二

3.（2023?全國?高三專題練習）已知幕函數(shù)〃x）=（2療+租-2卜”用在（0,+e）上是增函數(shù)

⑴求〃元）的解析式；

⑵若/（G）</（g）,求實數(shù)。的取值范圍.

4.（2023上?湖南長沙?高一長沙一中?？计谥校┘褐潞瘮?shù)〃到=（2病一〃-2卜"I在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

⑴求了（力的解析式;

⑵求關(guān)于x的不等式〃尤+1）</（X2-2X+3）的解集.

高頻考點五：塞函數(shù)的奇偶性

典型例題

例題L（2024?全國?高一假期作業(yè)）"基函數(shù)〃x）=（M+m-1b'"在（0,+句上為增函數(shù)"是"函數(shù)

8（%）=2￡-加2工為奇函數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

例題2.（2024上?上海虹口?高一統(tǒng)考期末）設(shè)ae1-2,-g,|,31,若幕函數(shù)y=的圖像關(guān)于，軸對稱，

且在區(qū)間（0,y）上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù).

練透核心考點

1.（多選）（2024上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=（2根-加2）尤3，”為幕函數(shù)，則下列結(jié)論正確

的為（）

A.m=lB./（x）為偶函數(shù)

C.為單調(diào)遞增函數(shù)D.的值域為［。,+8）

2.(2024上?福建南平?高一統(tǒng)考期末)已知幕函數(shù)/(%)=(m2-3rn+l)xm-2.若/(x)是奇函數(shù),則m的值為.

高頻考點六：二次函數(shù)

角度1：二次函數(shù)值域問題

典型例題

例題L(2024上?江西?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=d-2x+3,貝打⑴在區(qū)間[0,4]的值域為()

A.[3,6]B.[2,6]

C.[2,11]D.[3,11]

例題2.(2024上?河南新鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)滿足log3〃x)=，nx,且“力的圖象經(jīng)過點。,3).

(1)求〃力的解析式；

(2)求函數(shù)g(X)=[/(切2-4/㈤+5在(-0),1]上的值域.

角度2:求二次函數(shù)解析式

典型例題

例題1.(2024?全國?高三專題練習)已知二次函數(shù)y=ox?+bx+c的圖象過點(0,0),(5,0),且最小值為一亍.

(1)求函數(shù)的解析式；

例題2.(2024上?青海西寧?高一統(tǒng)考期末)設(shè)〃耳=如2+"+6,已知函數(shù)過點(1,3),且函數(shù)的對稱軸

為x=2.

(1)求函數(shù)的表達式；

⑵若龍e[-1,3],函數(shù)的最大值為〃，最小值為N,求M+N的值.

角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)求參數(shù)

典型例題

例題L（2024下?云南紅河?高一蒙自一中?？奸_學考試）已知二次函數(shù)丁=/-2辦+1在區(qū)間（2,3）內(nèi)是單

調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-co,2]u[3,+co）B.[2,3]

C.（-OO,-3]U[-2,-HK）D.[-3,-2]

例題2.（2024上?四川宜賓?高一統(tǒng)考期末）已知事函數(shù)〃》）=（蘇-3m+3）廿M為偶函數(shù)，若函數(shù)

y=/（x）-2（a-l）尤在區(qū)間（-1,1）上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（―oo,0]B.[2,+oo）C.[0,2]D.（YO,0]U[2,+ao）

角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?廣東中山?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=--4x+5在[加,網(wǎng)上的值域是[L10],則"-m的

最大值是（）

A.3B.6C.4D.8

例題2.（2024上?江西九江?高一江西省廬山市第一中學校考期末）設(shè)二次函數(shù)/（x）=62-2x+c（aeR）的

值域是[0,+8）,則11的最小值是.

ca

角度5：動軸定范圍，定軸動范圍的最值問題

典型例題

例題L（2023上?北京?高一北京市第十二中學校考期中）已知函數(shù)/（“二%2-枕-L